Uno dei quesiti della Maturità 1991-1992
mi ci sto rompendo il capo da un po' e allora ho detto perchè non chiedere ai ragazzi del forum?
ovvio che non è un modo per poter dire prof io ho fatto l'esercizio e gli altri no,anzi..sono curioso di capire come si risolve,dato che io non ci riesco e piuttosto che aspettare venerdì pomeriggio vorrei saperlo un pochetto prima*_*
Ecco quindi il testo; per me è risultato difficile,anche se non credo che in fin dei conti lo sia:
Data una circonferenza gamma di raghgio unitario e centro nell'Origine del sistema Cartesiano,tracciare una semiretta s usente dall'origine e interesecante gamma in un punto Q. Indicando con P un generico punto di s esterno alla Circonferenza,tracciare da esso le due tangenti ala circonferenza; siano A e B i punti di tangenza. Indicata con x la lunghezza del segmento PQ, trovare il limite per x che tende a infinito del rapporto tra la somma di AQ e QB, e AB
scusate la scrittura ma ancora non ho capito come usare il programma proposto in questa cartella
ovvio che non è un modo per poter dire prof io ho fatto l'esercizio e gli altri no,anzi..sono curioso di capire come si risolve,dato che io non ci riesco e piuttosto che aspettare venerdì pomeriggio vorrei saperlo un pochetto prima*_*
Ecco quindi il testo; per me è risultato difficile,anche se non credo che in fin dei conti lo sia:
Data una circonferenza gamma di raghgio unitario e centro nell'Origine del sistema Cartesiano,tracciare una semiretta s usente dall'origine e interesecante gamma in un punto Q. Indicando con P un generico punto di s esterno alla Circonferenza,tracciare da esso le due tangenti ala circonferenza; siano A e B i punti di tangenza. Indicata con x la lunghezza del segmento PQ, trovare il limite per x che tende a infinito del rapporto tra la somma di AQ e QB, e AB
scusate la scrittura ma ancora non ho capito come usare il programma proposto in questa cartella
Risposte
cosa non ti e' chiaro?
ehm il metodo di risoluzione...io ho capito intuitivamente cosa si potrebbe fare,anche se non c'è nemmeno una formula che psosa giustificare il mio ragionamento( o almeno io non riesco a trovarla)
in pratico io ho pensato che:
se x,quindi QP tende a infinito,vuol dire che P sta lontanissimo dalla circonferenza goniometrica. Se è così vuol dire che le tangenti che traccio da P ai punti A e B tendono al parallelismo.Se è così vuol dire che i punti di tangenza A e B tendono ad essere gli estremi del diametro e se è così il triangolo AQB, i cui lati sono implicati nel rapporto, è un triangolo rettangolo isosciele.
Quindi il risultato sarebbe radice di 2.
Il risultato del libro è invece radice del rapporto tra il prodotto di 2 e x+1.e x+2(e se si fa il limite del risultato credo venga radice di 2)
in pratico io ho pensato che:
se x,quindi QP tende a infinito,vuol dire che P sta lontanissimo dalla circonferenza goniometrica. Se è così vuol dire che le tangenti che traccio da P ai punti A e B tendono al parallelismo.Se è così vuol dire che i punti di tangenza A e B tendono ad essere gli estremi del diametro e se è così il triangolo AQB, i cui lati sono implicati nel rapporto, è un triangolo rettangolo isosciele.
Quindi il risultato sarebbe radice di 2.
Il risultato del libro è invece radice del rapporto tra il prodotto di 2 e x+1.e x+2(e se si fa il limite del risultato credo venga radice di 2)
P e' sulla retta OQ?
si si..
credo che devi scrivere l'espressione del rapporto per un punto generico giacente sulla retta ed esterno alla circo... dopodiche' ne fai il limite per x-> oo , cioe' il limite non lo fai in modo intuitivo ma seguendo le regole dei limiti su di una espressione algebrica ... a questo punti il significato geometrico non lo consideri
aspè non ho capito..il limite dovrei farlo al rapporto tra la somma di AQ e QB, e AB..in che senso dovrei usare l'espressione di un punto generico esterno alla circonferenza e giacente sulla retta?
"Grishnya":
aspè non ho capito..il limite dovrei farlo al rapporto tra la somma di AQ e QB, e AB..in che senso dovrei usare l'espressione di un punto generico esterno alla circonferenza e giacente sulla retta?
per esempio se scegli la retta y=x, il you punto generico ha coordinate (x,x)
con queste coordinate calcoli tutto quello che e' citato nell'espressione di cui poi dovrai fare il limite...
quindi nell'espressione comparira' solo la variabile x .
esattamente è quello che volevo tentare di fare,esprimere tutto in funzione di quella x che mi da il problema,cioè QP..
non so se si possa fare lo stesso usando la x del punto di P che è quello che va a infinito...
però se tengo presente QP,la x, come faccio ad esprimere tutto in funzione di QP?
non so se si possa fare lo stesso usando la x del punto di P che è quello che va a infinito...
però se tengo presente QP,la x, come faccio ad esprimere tutto in funzione di QP?
secondo me ti conviene fare 2 scelte preliminari prima di scrivere l'espressione del rapporto:
1) visto che il problema non cambia variando i lpunto Q sulla circonferenza, lo fissiami e, par comodita' lo poniamo Q(1,0)
2) a questo punto il generico punto P e' del tipo (x+1,0)
inoltre e' chiaro che:
lim rapporto(dove scelgo P(x+1,0) per x->oo
e' uguale a
lim rapporto(dove scelgo P(t,0) per t->oo
in quanto per entrambi si tratta di mandare il punto all'infinito verso destra.
in verita' si puo' anche calcolarsi il tutto senza fare le scelte preliminari 1) e 2), ma si complicano i calcoli nutilmente
spero sia chiaro, se no posta
alex
1) visto che il problema non cambia variando i lpunto Q sulla circonferenza, lo fissiami e, par comodita' lo poniamo Q(1,0)
2) a questo punto il generico punto P e' del tipo (x+1,0)
inoltre e' chiaro che:
lim rapporto(dove scelgo P(x+1,0) per x->oo
e' uguale a
lim rapporto(dove scelgo P(t,0) per t->oo
in quanto per entrambi si tratta di mandare il punto all'infinito verso destra.
in verita' si puo' anche calcolarsi il tutto senza fare le scelte preliminari 1) e 2), ma si complicano i calcoli nutilmente
spero sia chiaro, se no posta
alex
no quello che dici tu chiarissimo ok allora ci provo tra un pochetto^_*
La soluzione intuitiva proposta e' esatta ma purtroppo nei quesiti
di maturita' e' consigliabile attenersi strettamente alla traccia.
Si ha:
$OP=OQ+QP=1+x,BP=sqrt(OP^2-OB^2)=sqrt((1+x)^2-1^2)=sqrt(x^2+2x)$
$BH=(OB*BP)/(OP)=sqrt(x^2+2x)/(x+1),AB=2*BH=2*sqrt(x^2+2x)/(x+1),OH=(OB^2)/(OP)=1/(x+1),HQ=|OQ-OH|=x/(x+1)$
$AQ=BQ=sqrt(BH^2+HQ^2)=sqrt((2x)/(x+1))$
ED infine:
$(AQ+BQ)/(AB)=2*(BQ)/(AB)=2*sqrt((2x)/(x+1))*(x+1)/2*1/(sqrt(x^2+2x))=sqrt((2(x+1))/(x+2))$
Passando al limite per $x->oo$ si ha appunto $sqrt2$ come risultato.
karl
contavo di farmi portare un libro di geometria oggi a scuola da una mia amica ma non lo trova a casa e ha detto che me lo porta domani. Cmq volevo capire che regola è quella usata per trovare BH,l'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo BOP. Sicuramente è una regola d'Euclide,ma ecco contavo di ridar loro un'occhiata e invece non ho potuto..spero possiate illuminarmi^^
In questo caso non serve scomodare Euclide. 
Poiché il triangolo BOP è rettangolo in B l'area $A_{BOP}$ si può calcolare nei due seguenti modi:
$A_{BOP}=(OB * BP)/2$
e
$A_{BOP}=(OP * BH)/2$
Uguagliando i secondi membri delle due relazioni si ottiene
$(OP*BH)/2=(OB * BP)/2$ da cui $BH=(OB*BP)/(OP)$
Giusto, karl?
Poiché il triangolo BOP è rettangolo in B l'area $A_{BOP}$ si può calcolare nei due seguenti modi:
$A_{BOP}=(OB * BP)/2$
e
$A_{BOP}=(OP * BH)/2$
Uguagliando i secondi membri delle due relazioni si ottiene
$(OP*BH)/2=(OB * BP)/2$ da cui $BH=(OB*BP)/(OP)$
Giusto, karl?
ti ringrazio*_* si il ragionamento fila:p
Giusta indicazione quella di Cozza Taddeo.
Euclide comunque c'entra nel calcolo di $OH$
Dal triangolo rettangolo OBP , per il 1° di Euclide,si ha infatti:
$OP:OB=OB:OH$ da cui appunto $ OH=(OB^2)/(OP)$
Rinnovo ,ancora una volta,l'esortazione a non deviare dalla
traccia d'esame:come ad esempio adoperare una incognita
diversa da quella espressamente indicata dal problema.
Come e' il caso in esame.
Questo perche' e' chiara l'intenzione degli estensori della traccia
di voler indagare sulla conoscenza (o meno !!!) che il candidato
ha di certe regole e di certi teoremi.
Occhio dunque ed in bocca al lupo.
karl
Euclide comunque c'entra nel calcolo di $OH$
Dal triangolo rettangolo OBP , per il 1° di Euclide,si ha infatti:
$OP:OB=OB:OH$ da cui appunto $ OH=(OB^2)/(OP)$
Rinnovo ,ancora una volta,l'esortazione a non deviare dalla
traccia d'esame:come ad esempio adoperare una incognita
diversa da quella espressamente indicata dal problema.
Come e' il caso in esame.
Questo perche' e' chiara l'intenzione degli estensori della traccia
di voler indagare sulla conoscenza (o meno !!!) che il candidato
ha di certe regole e di certi teoremi.
Occhio dunque ed in bocca al lupo.
karl
"karl":
Giusta indicazione quella di Cozza Taddeo.
Euclide comunque c'entra nel calcolo di $OH$
Dal triangolo rettangolo OBP , per il 1° di Euclide,si ha infatti:
$OP:OB=OB:OH$ da cui appunto $ OH=(OB^2)/(OP)$
Rinnovo ,ancora una volta,l'esortazione a non deviare dalla
traccia d'esame:come ad esempio adoperare una incognita
diversa da quella espressamente indicata dal problema.
Come e' il caso in esame.
Questo perche' e' chiara l'intenzione degli estensori della traccia
di voler indagare sulla conoscenza (o meno !!!) che il candidato
ha di certe regole e di certi teoremi.
Occhio dunque ed in bocca al lupo.
karl
non sono d'accordo con questo metodo di valutazione del candidato.
in fondo, parafrasando de gregori, non e' dal teorema di Euclide che si giudica un candidato...
alessandro
Conoscere i teoremi di Euclide non e' opzionale ad un esame di maturita'.
Lo puo' essere al festival di Sanremo,forse.
E' come se uno andasse all'esame di Teoria dell'Elettromagnetismo e ,
alla richiesta di scrivere "l'equazione dei telegrafisti" ,rispondesse che non
e' su questo che si vede l'uomo!!!
O in un qualsiasi altro esame dove si richiede di superare certe prove.
Pertanto prendo le considerazioni di codino75 come una simpatica battuta...
karl
Lo puo' essere al festival di Sanremo,forse.
E' come se uno andasse all'esame di Teoria dell'Elettromagnetismo e ,
alla richiesta di scrivere "l'equazione dei telegrafisti" ,rispondesse che non
e' su questo che si vede l'uomo!!!
O in un qualsiasi altro esame dove si richiede di superare certe prove.
Pertanto prendo le considerazioni di codino75 come una simpatica battuta...
karl
"codino75":
[quote="karl"]Giusta indicazione quella di Cozza Taddeo.
Euclide comunque c'entra nel calcolo di $OH$
Dal triangolo rettangolo OBP , per il 1° di Euclide,si ha infatti:
$OP:OB=OB:OH$ da cui appunto $ OH=(OB^2)/(OP)$
Rinnovo ,ancora una volta,l'esortazione a non deviare dalla
traccia d'esame:come ad esempio adoperare una incognita
diversa da quella espressamente indicata dal problema.
Come e' il caso in esame.
Questo perche' e' chiara l'intenzione degli estensori della traccia
di voler indagare sulla conoscenza (o meno !!!) che il candidato
ha di certe regole e di certi teoremi.
Occhio dunque ed in bocca al lupo.
karl
non sono d'accordo con questo metodo di valutazione del candidato.
in fondo, parafrasando de gregori, non e' dal teorema di Euclide che si giudica un candidato...
alessandro[/quote]
Hmm, puoi non essere d'accordo, ma è così. Conviene che Gryshnia segua i consigli di karl, se vuole avere voti soddisfacenti all'esame.
quello che voglio dire e' che l'importante e' risolvere il problema giustificando bene tutti i passaggi.
se il prof vuole vedere se il candidato conosce il teorema di euclide puo' fare una domanda specifica.
vieppiu' in questo caso in cui si poteva risolvere con la geometria analitica.
alessandro
se il prof vuole vedere se il candidato conosce il teorema di euclide puo' fare una domanda specifica.
vieppiu' in questo caso in cui si poteva risolvere con la geometria analitica.
alessandro
E' pacifico che il problema si possa risolvere in molti modi.
Io stesso avrei potuto farlo per via trigonometrica ma l'incognita
e' lì, pronta per l'uso.Non tenerne conto se da un lato puo' essere
indice di ...libera creativita',dall'altro e' un po' come andare
fuori traccia al tema d'Italiano.
Ma se a giugno qualcuno volesse rischiare, si accomodi.
Tanto piu' che questa volta la Commissione e' per meta'
formata da prof. esterni...
karl
Io stesso avrei potuto farlo per via trigonometrica ma l'incognita
e' lì, pronta per l'uso.Non tenerne conto se da un lato puo' essere
indice di ...libera creativita',dall'altro e' un po' come andare
fuori traccia al tema d'Italiano.
Ma se a giugno qualcuno volesse rischiare, si accomodi.
Tanto piu' che questa volta la Commissione e' per meta'
formata da prof. esterni...
karl
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