Un po di limiti
Buonasera, volevo scrivere su questo messaggio un po di limiti perchè non so se sono giusti....ogni consiglio da parte vostra è sempre gradito
1)$lim_(x->(pi^-)/2)(1-senx)(tanx)^2$
$(cosxsenx-(senx)^3)/(cosx)^2=(0(1)-1)/0=-oo$
2)$lim_(x->1)(log(x^2+x-1))/(sqrtx-1)$ FI, uso de l'hopital$=1/(x^2+x-1)(2x+1):1/(2sqrtx)=3$
3)$lim_(x->0)(1-(cosx)^(1/4))/(xsenx)=0/0$(FI)
uso de l'hopital
$((-1)/(4(cosx)^(3/4))/cosx=-1/4$
4)$lim_(x->(pi^-)/2)(tanx)^(cosx)=e^(cosxlog(tanx))$
lo giro in un modo equivalente$e^((cosx)/(1/(logtanx)))=e^((-senx)/((1/(tagx)(1/(cosx)^2))$=$e^((-senx)/(senx)/(cosx)^3)=+oo$
5)$lim_(x->(pi^-)/2)(cosx)^(cosx)=e^(cosx(logcosx))=e^(-(oo/oo))$ dato che il logaritmo è piu lento di un $+oo$ normale dovrebbe essere $e^(-oo)=0$
6)$lim_(x->0^+)(1/(sen7x))^x=e^(xlog(1/(sen7x)))=e^(x/1/(log(1/(sen7x))))=e^(0/(+oo))=e^0$
7)$lim_(x->0^-)xe^((-1)/x)$ FI$0(oo)$ $e^(-1/x)/(1/x)=e^(-1/x)/x=-oo$
8)$lim_(x->1)(logx)/(sen(pi/x))=0/0=1/x/(cos(pi/x)pi)=1/(-pi)$
Grazie
Cordiali saluti
1)$lim_(x->(pi^-)/2)(1-senx)(tanx)^2$
$(cosxsenx-(senx)^3)/(cosx)^2=(0(1)-1)/0=-oo$
2)$lim_(x->1)(log(x^2+x-1))/(sqrtx-1)$ FI, uso de l'hopital$=1/(x^2+x-1)(2x+1):1/(2sqrtx)=3$
3)$lim_(x->0)(1-(cosx)^(1/4))/(xsenx)=0/0$(FI)
uso de l'hopital
$((-1)/(4(cosx)^(3/4))/cosx=-1/4$
4)$lim_(x->(pi^-)/2)(tanx)^(cosx)=e^(cosxlog(tanx))$
lo giro in un modo equivalente$e^((cosx)/(1/(logtanx)))=e^((-senx)/((1/(tagx)(1/(cosx)^2))$=$e^((-senx)/(senx)/(cosx)^3)=+oo$
5)$lim_(x->(pi^-)/2)(cosx)^(cosx)=e^(cosx(logcosx))=e^(-(oo/oo))$ dato che il logaritmo è piu lento di un $+oo$ normale dovrebbe essere $e^(-oo)=0$
6)$lim_(x->0^+)(1/(sen7x))^x=e^(xlog(1/(sen7x)))=e^(x/1/(log(1/(sen7x))))=e^(0/(+oo))=e^0$
7)$lim_(x->0^-)xe^((-1)/x)$ FI$0(oo)$ $e^(-1/x)/(1/x)=e^(-1/x)/x=-oo$
8)$lim_(x->1)(logx)/(sen(pi/x))=0/0=1/x/(cos(pi/x)pi)=1/(-pi)$
Grazie
Cordiali saluti
Risposte
Ciao,
per il momento considero solo il primo, che non è corretto.
Abbiamo
\[
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}{\frac{\left(1-\sin x\right)\sin^2 x}{\cos^2 x}}
\] Per prima cosa facciamo la seguente sostituzione
\[
x-\frac{\pi}{2} = y \quad\Rightarrow\quad x = y+\frac{\pi}{2}
\] e poi utilizziamo le formule degli archi associati che ti piacciono tanto...
Otteniamo
\[
\lim_{y\to 0}{\frac{\left(1-\cos y\right)\cos^2 y}{\sin^2 y}}
\] Ovviamente la forma indeterminata è rimasta, ma ora possiamo riscrivere tutto come
\[
\lim_{y\to 0}{\left[\frac{1-\cos y}{y^2} \cdot\cos^2 y\cdot \frac{y}{\sin y}\cdot \frac{y}{\sin y}\right]}
\] e applicando i limiti notevoli abbiamo
\[
\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot 1 = \frac{1}{2}
\]
per il momento considero solo il primo, che non è corretto.
Abbiamo
\[
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}{\frac{\left(1-\sin x\right)\sin^2 x}{\cos^2 x}}
\] Per prima cosa facciamo la seguente sostituzione
\[
x-\frac{\pi}{2} = y \quad\Rightarrow\quad x = y+\frac{\pi}{2}
\] e poi utilizziamo le formule degli archi associati che ti piacciono tanto...
Otteniamo
\[
\lim_{y\to 0}{\frac{\left(1-\cos y\right)\cos^2 y}{\sin^2 y}}
\] Ovviamente la forma indeterminata è rimasta, ma ora possiamo riscrivere tutto come
\[
\lim_{y\to 0}{\left[\frac{1-\cos y}{y^2} \cdot\cos^2 y\cdot \frac{y}{\sin y}\cdot \frac{y}{\sin y}\right]}
\] e applicando i limiti notevoli abbiamo
\[
\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot 1 = \frac{1}{2}
\]
O.O''' no aspetta aspetta, ci credo che il risulatato è giusto perchè ormai so che fai bene matematica, ma ti dico gia che è impossibile che il prof voglia darci una cosa cosi, ci dev'essere una via piu facile, magari provo a trovarla io adesso ti risp dopo....
Confermo che il risultato è corretto perché l'ho controllato al calcolatore.
Per quanto riguarda la difficoltà, questo limite mi sembra piuttosto in linea con altri che avevamo già visto: sostituzione, archi associati e limiti notevoli. Sicuramente ci saranno altre vie, ma non credo che saranno molto più facili...
Per quanto riguarda la difficoltà, questo limite mi sembra piuttosto in linea con altri che avevamo già visto: sostituzione, archi associati e limiti notevoli. Sicuramente ci saranno altre vie, ma non credo che saranno molto più facili...
Purtroppo devo darti brutte notizie: ho controllato al calcolatore anche il secondo, il terzo e il quarto e sfortunatamente sono tutti sbagliati. I risultati corretti sono $6, 1/8, 1$. Mi sono fermato qui perché mi sembra evidente che tu li debba riguardare con calma.
capito, adesso li riguardo, ma tornando al primo, il metodo di sostituzione in realta non lo abbiamo neanche fatto quest anno, stavo pensando se si fa $lim_(x->(pi^-)/2)((senx)^2-(senx)^3)/(cosx)^2$ poi avremmo FI$=0/0$...posso fare de l'hopital....solo che io facendolo sbalgio qualcosa perchè mi viene $-2$ non $1/2$...indicami l'errore per fav:
la derivata di $(cosx)^(-2)=-2(cosx)^(-1)senx$
riscrivo:
$2((senx)/(cosx))(cosx)(2senx-3(senx)^2)$
qui dovrebbe venire $2(2-3)$
quali sono gli errori?
la derivata di $(cosx)^(-2)=-2(cosx)^(-1)senx$
riscrivo:
$2((senx)/(cosx))(cosx)(2senx-3(senx)^2)$
qui dovrebbe venire $2(2-3)$
quali sono gli errori?
Perché derivi $(cos x)^(-2)$? Devi derivare $(cos x)^2$! Il fatto che sia a denominatore non vuol dire nulla. De l'Hopital ti dice che in caso di forma indeterminata $0/0$ o $oo/oo$ il limite di $N/D$ è uguale al limite di $(N')/(D')$. Nel tuo caso, derivando si ottiene
\[
\frac{2\sin x\cos x-3\sin^2 x\cos x}{-2\cos x\sin x} = \frac{2-3\sin x}{-2}
\] e quando passi al limite hai $(2-3)/(-2) = 1/2$.
\[
\frac{2\sin x\cos x-3\sin^2 x\cos x}{-2\cos x\sin x} = \frac{2-3\sin x}{-2}
\] e quando passi al limite hai $(2-3)/(-2) = 1/2$.
porca miseria è vero non mi ricordavo....ecco era questa la via piu semplice, il nostro corso NON è al livello della soluzione da te proposta, lo so che è giusta come l'hai detto tu, ma non è richiesto un livello cosi avanzato....il secondo ora l'ho visto è giusto lo svolgimento di cui sopra...ma avevo perso la moltiplicazione del $2$....$3(2)=6$(quest'ultimo conto dovrebbe essere giusto)
Perfetto, allora primo e secondo sono sistemati.
Per quanto riguarda la soluzione semplice, hai ragione: De l'Hopital è molto spesso più veloce. So però che alcuni professori in sede d'esame richiedono espressamente che non sia utilizzato, per verificare che gli studenti abbiano imparato ad utilizzare gli altri strumenti come sostituzioni, limiti notevoli, ecc. Però se nel tuo esame è permesso utilizzarlo... sotto con De l'Hopital!
Per quanto riguarda la soluzione semplice, hai ragione: De l'Hopital è molto spesso più veloce. So però che alcuni professori in sede d'esame richiedono espressamente che non sia utilizzato, per verificare che gli studenti abbiano imparato ad utilizzare gli altri strumenti come sostituzioni, limiti notevoli, ecc. Però se nel tuo esame è permesso utilizzarlo... sotto con De l'Hopital!
ok, allora il 3)non capisco l'errore, cioè $lim_(x->0)(1-(cosx)^(1/4))/(xsenx)$ allora anche qui de l'hopital perchè è una forma di indecisione:
la derivata di $(cosx)^(1/4)=-(senx)/(4(cosx)^(3/4))$
riscrivoil tutto:
$-(senx)/(4(cosx)^(3/4)/cosx=0$indicami l'errore come prima
la derivata di $(cosx)^(1/4)=-(senx)/(4(cosx)^(3/4))$
riscrivoil tutto:
$-(senx)/(4(cosx)^(3/4)/cosx=0$indicami l'errore come prima
Applicando una volta Hopital si arriva a
\[
\frac{\frac{1}{4}\left(\cos x\right)^{-\frac{3}{4}}\sin x}{\sin x+x\cos x}
\] ma è ancora una forma indeterminata $0/0$. Allora applico nuovamente l'Hopital e ottengo
\[
\frac{\frac{1}{4}\left[
\left(-\frac{3}{4}\right)\left(\cos x\right)^{-\frac{7}{4}}\left(-\sin x\right)\sin x+\left(\cos x\right)^{-\frac{3}{4}}\cos x
\right]}{\cos x+\cos x+x\left(-\sin x\right)}
\] Passando al limite si ha $(1/4(0+1))/(1+1+0) = 1/8$.
\[
\frac{\frac{1}{4}\left(\cos x\right)^{-\frac{3}{4}}\sin x}{\sin x+x\cos x}
\] ma è ancora una forma indeterminata $0/0$. Allora applico nuovamente l'Hopital e ottengo
\[
\frac{\frac{1}{4}\left[
\left(-\frac{3}{4}\right)\left(\cos x\right)^{-\frac{7}{4}}\left(-\sin x\right)\sin x+\left(\cos x\right)^{-\frac{3}{4}}\cos x
\right]}{\cos x+\cos x+x\left(-\sin x\right)}
\] Passando al limite si ha $(1/4(0+1))/(1+1+0) = 1/8$.
Aggiunta al mio post di prima: dopo la prima passata con Hopital si può anche raccogliere un seno sopra e sotto, semplificare e applicare un semplice limite notevole. Altrimenti, se proprio non vuoi, si riapplica l'Hopital come abbiamo visto.
ma scusa....stavolta hai usato la regola della derivazione per la moltiplicazione a denominatore, mica quando si usa de l'hopital non si usa niente e si deriva direttamente sul posto?a questo punto cè un errore in quello che ho studiato, dimmi tu che è meglio,per usare de l'hopital prima hai detto che si fa $N'/D'$ e li ok, ma poi credo che ci sia qualos'altro che dovrei sapere a sto punto
No, quello che abbiamo visto prima si usa anche qui e non c'è altro. Derivo SEPARATAMENTE il numeratore e il denominatore. Poi quello che c'è... c'è! Il denominatore contiene un prodotto? Benissimo: vorrà dire che quando deriverò il denominatore utilizzerò la regola di derivazione del prodotto!
In questo caso il denominatore era $sin x+x cos x$, la cui derivata è appunto $cos x+cos x-x sin x$, che infatti ho messo come denominatore della nuova frazione.
In questo caso il denominatore era $sin x+x cos x$, la cui derivata è appunto $cos x+cos x-x sin x$, che infatti ho messo come denominatore della nuova frazione.
ah, capito, quindo de l'hopital diciamo che 'manda a quel paese' solo la regola di dreviazione della frazione $(f'g-fg')/g^2$, il resto lo tiene buono giusto?Cmq pensando a quello di prima potevo fare:$(1-(cosx)^(1/4))/(x^2(senx)/x)$
$-(cosx)/((8(cosx)^(3/4)+8x(3/4(cosx)^(-1/4))(-senx))$
$-(cosx)/((8(cosx)^(3/4)+8x(3/4(cosx)^(-1/4))(-senx))$
Sì, comunque attenzione. Nel caso sfortunato in cui il numeratore o il denominatore fossero a loro volta delle frazioni... allora devi utilizzare anche quella regola.
Io veramente intendevo dire che si poteva raccogliere un seno sopra e sotto DOPO la prima applicazione di Hopital.
Io veramente intendevo dire che si poteva raccogliere un seno sopra e sotto DOPO la prima applicazione di Hopital.
capito ora sto provando a rifare il quarto....
Ok, se non riesci dimmelo che ti posto la soluzione.
$e^((cosx)/1/(logtanx))$
riscrivo la $tanx=senx/(cosx)$ quindi all'esponente abbiamo $(cosx)/(1/(logsenx-logcosx))$ che fa $0/1/+oo$ quindi FI $0/0$
poi non so se va bene...
$(-senx)/(-1(logtanx)^(-2)(1/(tanx))(1/(cosx)^2)$
poi semplifico
$(-senx)/(1/((senx)/(cosx)))1/(1/(cosx)^2)$
poi mi sono perso...mi puoi dire almeno se algebricamnente è giusto?
riscrivo la $tanx=senx/(cosx)$ quindi all'esponente abbiamo $(cosx)/(1/(logsenx-logcosx))$ che fa $0/1/+oo$ quindi FI $0/0$
poi non so se va bene...
$(-senx)/(-1(logtanx)^(-2)(1/(tanx))(1/(cosx)^2)$
poi semplifico
$(-senx)/(1/((senx)/(cosx)))1/(1/(cosx)^2)$
poi mi sono perso...mi puoi dire almeno se algebricamnente è giusto?
Dunque: l'inizio è corretto e riscriviamo come
\[
\Large
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}e^{\cos x\cdot \ln\left(\tan x\right)}
\] Concentriamoci ora sull'esponente e riscriviamolo come
\[
\Large
\frac{\ln\left(\tan x\right)}{\frac{1}{\cos x}}
\] Ora applichiamo Hopital derivando separatamente il numeratore e il denominatore
\[
\Large
\frac{\frac{1}{\tan x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sin x}{\cos^2 x}} = \frac{1}{\tan x}\frac{1}{\cancel{\cos^2 x}}\frac{\cancel{\cos^2 x}}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin^2 x}
\] Passando al limite, questo tende a $0$. Quindi il risultato è $e^0 = 1$.
Ti segnalo inoltre che il limite numero 5 è sbagliato: il risultato corretto è $1$. Il 6 e il 7 hanno il risultato corretto ma non ho controllato gli svolgimenti. Infine il risultato dell'8 dovrebbe venire $1/pi$ mentre tu hai anche un meno: probabilmente un banale errore di segno.
\[
\Large
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}e^{\cos x\cdot \ln\left(\tan x\right)}
\] Concentriamoci ora sull'esponente e riscriviamolo come
\[
\Large
\frac{\ln\left(\tan x\right)}{\frac{1}{\cos x}}
\] Ora applichiamo Hopital derivando separatamente il numeratore e il denominatore
\[
\Large
\frac{\frac{1}{\tan x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sin x}{\cos^2 x}} = \frac{1}{\tan x}\frac{1}{\cancel{\cos^2 x}}\frac{\cancel{\cos^2 x}}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin^2 x}
\] Passando al limite, questo tende a $0$. Quindi il risultato è $e^0 = 1$.
Ti segnalo inoltre che il limite numero 5 è sbagliato: il risultato corretto è $1$. Il 6 e il 7 hanno il risultato corretto ma non ho controllato gli svolgimenti. Infine il risultato dell'8 dovrebbe venire $1/pi$ mentre tu hai anche un meno: probabilmente un banale errore di segno.
ma si semplificando il $cos^2x$ con il $cosx$ viene $+oo$ alla fine no?
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