Un po di limiti
Buonasera, volevo scrivere su questo messaggio un po di limiti perchè non so se sono giusti....ogni consiglio da parte vostra è sempre gradito
1)$lim_(x->(pi^-)/2)(1-senx)(tanx)^2$
$(cosxsenx-(senx)^3)/(cosx)^2=(0(1)-1)/0=-oo$
2)$lim_(x->1)(log(x^2+x-1))/(sqrtx-1)$ FI, uso de l'hopital$=1/(x^2+x-1)(2x+1):1/(2sqrtx)=3$
3)$lim_(x->0)(1-(cosx)^(1/4))/(xsenx)=0/0$(FI)
uso de l'hopital
$((-1)/(4(cosx)^(3/4))/cosx=-1/4$
4)$lim_(x->(pi^-)/2)(tanx)^(cosx)=e^(cosxlog(tanx))$
lo giro in un modo equivalente$e^((cosx)/(1/(logtanx)))=e^((-senx)/((1/(tagx)(1/(cosx)^2))$=$e^((-senx)/(senx)/(cosx)^3)=+oo$
5)$lim_(x->(pi^-)/2)(cosx)^(cosx)=e^(cosx(logcosx))=e^(-(oo/oo))$ dato che il logaritmo è piu lento di un $+oo$ normale dovrebbe essere $e^(-oo)=0$
6)$lim_(x->0^+)(1/(sen7x))^x=e^(xlog(1/(sen7x)))=e^(x/1/(log(1/(sen7x))))=e^(0/(+oo))=e^0$
7)$lim_(x->0^-)xe^((-1)/x)$ FI$0(oo)$ $e^(-1/x)/(1/x)=e^(-1/x)/x=-oo$
8)$lim_(x->1)(logx)/(sen(pi/x))=0/0=1/x/(cos(pi/x)pi)=1/(-pi)$
Grazie
Cordiali saluti
1)$lim_(x->(pi^-)/2)(1-senx)(tanx)^2$
$(cosxsenx-(senx)^3)/(cosx)^2=(0(1)-1)/0=-oo$
2)$lim_(x->1)(log(x^2+x-1))/(sqrtx-1)$ FI, uso de l'hopital$=1/(x^2+x-1)(2x+1):1/(2sqrtx)=3$
3)$lim_(x->0)(1-(cosx)^(1/4))/(xsenx)=0/0$(FI)
uso de l'hopital
$((-1)/(4(cosx)^(3/4))/cosx=-1/4$
4)$lim_(x->(pi^-)/2)(tanx)^(cosx)=e^(cosxlog(tanx))$
lo giro in un modo equivalente$e^((cosx)/(1/(logtanx)))=e^((-senx)/((1/(tagx)(1/(cosx)^2))$=$e^((-senx)/(senx)/(cosx)^3)=+oo$
5)$lim_(x->(pi^-)/2)(cosx)^(cosx)=e^(cosx(logcosx))=e^(-(oo/oo))$ dato che il logaritmo è piu lento di un $+oo$ normale dovrebbe essere $e^(-oo)=0$
6)$lim_(x->0^+)(1/(sen7x))^x=e^(xlog(1/(sen7x)))=e^(x/1/(log(1/(sen7x))))=e^(0/(+oo))=e^0$
7)$lim_(x->0^-)xe^((-1)/x)$ FI$0(oo)$ $e^(-1/x)/(1/x)=e^(-1/x)/x=-oo$
8)$lim_(x->1)(logx)/(sen(pi/x))=0/0=1/x/(cos(pi/x)pi)=1/(-pi)$
Grazie
Cordiali saluti
Risposte
ops scusa pardon avevi gia risposto non avevo visto
Ok, vedi un po' se ti è chiaro.
si ok però scusa...dell'altro $lim_(x->(pi^-)/2)(cosx)^(cosx)$ credo di aver fatto il procedimento giusto con il risultato sbagliato....cerco di ridirtelo vediamo se almeno il procedimento è giusto: $e^((cosx)logcosx)$
lo riscrivo(solo l'esponente)
$(logcosx)/(1/cosx)$ ora vedendo che la FI è $-(oo/oo)$ il meno fuori dalla parentesi è dato dal fatto che è $+*(-)=-oo$ la penso in questo modo: $(1/cosx)$genera un $+oo$ 'normale' mentre il $logcosx$ genera un $-oo$ lento rispetto agli altri ordini di grandezza...quindi prevale il denomiantore che mi porta a $0$, cosi ho $e^0=1$ giusto?
lo riscrivo(solo l'esponente)
$(logcosx)/(1/cosx)$ ora vedendo che la FI è $-(oo/oo)$ il meno fuori dalla parentesi è dato dal fatto che è $+*(-)=-oo$ la penso in questo modo: $(1/cosx)$genera un $+oo$ 'normale' mentre il $logcosx$ genera un $-oo$ lento rispetto agli altri ordini di grandezza...quindi prevale il denomiantore che mi porta a $0$, cosi ho $e^0=1$ giusto?
Personalmente, io non mi fiderei di considerazioni sulla velocità degli infiniti quando sono coinvolte funzioni "strane" (ad esempio trigonometriche)... Qui basta applicare Hopital e risolvi subito:
\[
\Large
\frac
{-\frac{\sin x}{\cos x}}
{\frac{\sin x}{\cos^2 x}} = -\frac{\cancel{\sin x}}{\cancel{\cos x}}\frac{\cos^{\cancel{2}} x}{\cancel{\sin x}} = -\cos x
\] Quando passi al limite questo tende a $0$, quindi il risultato è $e^0 = 1$.
\[
\Large
\frac
{-\frac{\sin x}{\cos x}}
{\frac{\sin x}{\cos^2 x}} = -\frac{\cancel{\sin x}}{\cancel{\cos x}}\frac{\cos^{\cancel{2}} x}{\cancel{\sin x}} = -\cos x
\] Quando passi al limite questo tende a $0$, quindi il risultato è $e^0 = 1$.
ok allora niente osservazioni sulla velocita degli infiniti quando ci sono le funzioni trigonometriche...cmq va be il $6$ e il $7$ quando hai tempo mi dirai tu se lo svolgimento è giusto, per quanto concerne l'ultimo invece non trovo l'errore, cioè credo che stia nella derivata cmq...la derivata di $sen(pi/x)$ allora non è $picos(pi/x)$ perchè la $x$ sarebbe $x^(-1)$, forse è $-cos(x^(-1)pi)pi(x^(-2))$?
La derivata di quel seno è $cos(pi/x)*(-pi/(x^2))$.
be si è uguale no?
Sì esatto. Allora applicando Hopital ottieni
\[
\Large
\frac{\frac{1}{x}}
{\cos\frac{\pi}{x}\left(-\frac{\pi}{x^2}\right)} = -\frac{x^\cancel{2}}{\pi\cancel{x}\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}
\] Quando passi al limite ottieni $-(1)/(pi*(-1)) = 1/pi$.
\[
\Large
\frac{\frac{1}{x}}
{\cos\frac{\pi}{x}\left(-\frac{\pi}{x^2}\right)} = -\frac{x^\cancel{2}}{\pi\cancel{x}\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}
\] Quando passi al limite ottieni $-(1)/(pi*(-1)) = 1/pi$.
ok grz, quando puoi con tutta tranquillita fammi sapere poi che mi dici del 6 e del 7...dicevi che i risultati sono giusti ma non sai se va bene anche lo svokgimento...
"ramarro":
6)$lim_(x->0^+)(1/(sen7x))^x=e^(xlog(1/(sen7x)))=e^(x/1/(log(1/(sen7x))))=e^(0/(+oo))=e^0$
Ciao,
allora... ho controllato questo ma secondo me c'è qualcosa che non va. Quando "giri" l'esponente secondo me volevi scrivere
\[
\Large
e^{\frac{x}
{\frac{1}{\log\left(\frac{1}{\sin 7x}\right)}}}
\]Ora la $x$ tende a $0^+$, quindi il numeratore della frazione tende a $0$ (come dicevi). Invece per il numeratore hai il seno che tende a $0$, quindi $1/sin$ tende a $+oo$ così come il suo logaritmo. Ma poi fai il reciproco di questa quantità, che tende nuovamente a $0$. In definitiva hai $e^(0/0)$ che è una forma indeterminata. Quindi il limite non è risolto.
Invece credo che ti convenga "portare sotto" la $x$ e poi applicare Hopital.
Quando hai la forma indeterminata $0/0$ ricorda che puoi anche ricorrrere alla scomposizione in fattori, per esmpio il n. 1)
$lim_(x->(pi^-)/2)(1-senx)(tanx)^2=lim_(x->(pi^-)/2)(1-senx)((sen^2x)/(cos^2x))=lim_(x->(pi^-)/2)(1-senx)(sen^2x)/((1-senx)(1+senx))=$
$=lim_(x->(pi^-)/2)(sen^2x)/(1+senx)=1/2$
6)$lim_(x->0^+)(1/(sen7x))^x=lim_(x->0^+)e^(xlog(1/(sen7x)))$
Semplifico l'esponente
$xlog(1/(sen7x))=x(log1-log(sen7x))=-xlog(sen7x)=-log(sen7x)/(-1/x)$
applico De l'Opital per calcolare il limite
$-((1/(sen7x))cos7x*7)/(-(1/x^2))=(7x^2cos7x)/(sen7x)=(7x)/(sen7x)xcos7x$
$lim_(x->0^+)(7x)/(sen7x)xcos7x=1*0*1=0$
Di conseguenza
$lim_(x->0^+)e^(xlog(1/(sen7x)))=e^0=1$
$lim_(x->(pi^-)/2)(1-senx)(tanx)^2=lim_(x->(pi^-)/2)(1-senx)((sen^2x)/(cos^2x))=lim_(x->(pi^-)/2)(1-senx)(sen^2x)/((1-senx)(1+senx))=$
$=lim_(x->(pi^-)/2)(sen^2x)/(1+senx)=1/2$
6)$lim_(x->0^+)(1/(sen7x))^x=lim_(x->0^+)e^(xlog(1/(sen7x)))$
Semplifico l'esponente
$xlog(1/(sen7x))=x(log1-log(sen7x))=-xlog(sen7x)=-log(sen7x)/(-1/x)$
applico De l'Opital per calcolare il limite
$-((1/(sen7x))cos7x*7)/(-(1/x^2))=(7x^2cos7x)/(sen7x)=(7x)/(sen7x)xcos7x$
$lim_(x->0^+)(7x)/(sen7x)xcos7x=1*0*1=0$
Di conseguenza
$lim_(x->0^+)e^(xlog(1/(sen7x)))=e^0=1$
Nell'esercizio n.7 sei partito bene ma arrivato male
$lim_(x->0^-)xe^((-1)/x)=lim_(x->0^-)(e^(-1/x))/(1/x)=lim_(x->0^-)(e^(-1/x)1/(x^2))/(-1/x^2)=lim_(x->0^-)(-e^(-1/x))=-e^(+oo)=-oo$
$lim_(x->0^-)xe^((-1)/x)=lim_(x->0^-)(e^(-1/x))/(1/x)=lim_(x->0^-)(e^(-1/x)1/(x^2))/(-1/x^2)=lim_(x->0^-)(-e^(-1/x))=-e^(+oo)=-oo$
Sì, diciamo che per ramarro sui limiti c'è ancora parecchio lavoro da fare.
x@minomic
Volevo porre l'attenzione al limite credo n.8), $lim_(x->1)(logx)/(sin(pi/x))$, pensavo che si poteva risolvere senza far ricorso a De l'Hopital, ma usando solo archi associati, ed asintotici,ti illustro qui il procedimento , potresti cortesemente controllare se lo svolgimento è corretto?
Allora, ho osservato che $sin(pi-pi/x)=sin(pi/x)$ ed che $lim_(x->1)(sin(pi/x))/(pi-pi/x)=1$ pertanto nell'intorno $x=1$,ad $sin(pi/x)$ si può sostituire la forma asintoticamente equivalente $(pi-pi/x)$, inoltre, posso scrivere $(1+(x-1))=x$, ed $lim_(x->1)(1+(x-1))^(1/(x-1))=e$, da qui deduco che per $x->1$ ad $logx$ posso sostituire la forma asintoticamente equivalente $(x-1)$ in quanto $((1+(x-1))^(1/(x-1)))^(x-1)=1+(x-1)=x$, da qui sostituendo e calcolando avremo $lim_(x->1)(logx)/(sin(pi/x))=lim_(x->1)(x-1)/(pi-pi/x)=lim_(x->1)(x-1)/(pi(x-1)/x)=lim_(x->1)x/pi=1/pi$;
Resto in attesa di una riposta.
Saluti!
Volevo porre l'attenzione al limite credo n.8), $lim_(x->1)(logx)/(sin(pi/x))$, pensavo che si poteva risolvere senza far ricorso a De l'Hopital, ma usando solo archi associati, ed asintotici,ti illustro qui il procedimento , potresti cortesemente controllare se lo svolgimento è corretto?
Allora, ho osservato che $sin(pi-pi/x)=sin(pi/x)$ ed che $lim_(x->1)(sin(pi/x))/(pi-pi/x)=1$ pertanto nell'intorno $x=1$,ad $sin(pi/x)$ si può sostituire la forma asintoticamente equivalente $(pi-pi/x)$, inoltre, posso scrivere $(1+(x-1))=x$, ed $lim_(x->1)(1+(x-1))^(1/(x-1))=e$, da qui deduco che per $x->1$ ad $logx$ posso sostituire la forma asintoticamente equivalente $(x-1)$ in quanto $((1+(x-1))^(1/(x-1)))^(x-1)=1+(x-1)=x$, da qui sostituendo e calcolando avremo $lim_(x->1)(logx)/(sin(pi/x))=lim_(x->1)(x-1)/(pi-pi/x)=lim_(x->1)(x-1)/(pi(x-1)/x)=lim_(x->1)x/pi=1/pi$;
Resto in attesa di una riposta.
Saluti!
Ciao, bel modo di risolverlo! Mi sembra tutto sensato, anche se non sono certo un'autorità della quale ti puoi fidare... Eventualmente vediamo se giammaria o @melia confermano.
Buonasera,sono tornato....grazie molte a tutti, volevo scrivere ancora due limiti, uno ce l'ho gia ricopiato (ma secondo me cè un segno sbagliato, un $-$ invece che un $+$)l altro l'ho fatto io.
1)$lim_(x->+oo)sqrt(x^2+2)-x$ questa è una forma di indecisione
quindi faccio la razionalizzazione al numeratore
$lim_(x->+oo)(sqrt(x^2+2)-x)((sqrt(x^2+2)+x)/(sqrt(x^2+2)+x))$
$(x^2-2-x^2)/(sqrt(x^2+2)+x))=-2/oo=0$ecco secodo me ci dovrebbe essere a numeratore$(x^2+2-x^2)$vedte il segno...poi mi direte voi, mentre l'altroè:
2)$lim_(x->+oo)(sqrt(x+1)-sqrtx)sqrtx$ abbiamo una forma di indecisione $0(+oo)$
faccio la razionalizzzaazione $(sqrt(x+1)-sqrtx)sqrtx(((sqrt(x+1)+sqrtx)/(sqrt(x+1)+sqrtx))$
$(sqrtx((x+1)-x))/(((sqrt(x+1)+sqrtx))$
$sqrtx/(2sqrtx)$=$1/2$
1)$lim_(x->+oo)sqrt(x^2+2)-x$ questa è una forma di indecisione
quindi faccio la razionalizzazione al numeratore
$lim_(x->+oo)(sqrt(x^2+2)-x)((sqrt(x^2+2)+x)/(sqrt(x^2+2)+x))$
$(x^2-2-x^2)/(sqrt(x^2+2)+x))=-2/oo=0$ecco secodo me ci dovrebbe essere a numeratore$(x^2+2-x^2)$vedte il segno...poi mi direte voi, mentre l'altroè:
2)$lim_(x->+oo)(sqrt(x+1)-sqrtx)sqrtx$ abbiamo una forma di indecisione $0(+oo)$
faccio la razionalizzzaazione $(sqrt(x+1)-sqrtx)sqrtx(((sqrt(x+1)+sqrtx)/(sqrt(x+1)+sqrtx))$
$(sqrtx((x+1)-x))/(((sqrt(x+1)+sqrtx))$
$sqrtx/(2sqrtx)$=$1/2$
Ciao,
per il primo hai ragione: ci vuole $+2$.
Per il secondo il risultato è corretto ma lo svolgimento non mi convince. In particolare alla fine avresti
\[
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}
\] che è ancora una forma indeterminata... Tu invece semplifichi e ottieni subito $1/2$. Ripeto: il risultato è corretto, ma prova a sistemare i passaggi in modo che siano logicamente giusti.
per il primo hai ragione: ci vuole $+2$.
Per il secondo il risultato è corretto ma lo svolgimento non mi convince. In particolare alla fine avresti
\[
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}
\] che è ancora una forma indeterminata... Tu invece semplifichi e ottieni subito $1/2$. Ripeto: il risultato è corretto, ma prova a sistemare i passaggi in modo che siano logicamente giusti.
credo che dovrei ragionare dicendo $sqrt(x+1)$ è simile a $qrt(x)$ quindi abbreviare il tutto, invece che scrivere $(sqrt(x))/(sqrt(x+1)+sqrt(x))$ scrivo $(sqrt(x))/(2sqrt(x))$
In realtà è vero perché andando all'infinito quel $+1$ è trascurabile, però non è rigoroso e qualche insegnante potrebbe contarlo come un errore. Se invece raccogli $sqrt(x)$ sopra e sotto... 
Per il n°3 ( giusto per curiosità):
$L=-lim_{x->0}[((1+(-sin^2x))^{1/8}-1}/{(-sin^2x)}\cdot (-{sinx}/{x})]=-(1/8)\cdot(-1)=1/8$
N.B.
$lim_{u->0}{(1+u)^p-1}/u=p,lim_{u->0}{sinu}/u=1$
$L=-lim_{x->0}[((1+(-sin^2x))^{1/8}-1}/{(-sin^2x)}\cdot (-{sinx}/{x})]=-(1/8)\cdot(-1)=1/8$
N.B.
$lim_{u->0}{(1+u)^p-1}/u=p,lim_{u->0}{sinu}/u=1$
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