Teoria delle funzioni
C’è un punto oscuro nella mia comprensione nella teoria delle funzioni. Vorrei appunto capire meglio quindi ve lo presento, sperando che il vostro aiuto possa aiutarmi
Partiamo dalla definizione di funzione:
Fin qui sembra filare tutto liscio ma poi la teoria presenta tre classificazioni, tre tipi di funzione:
- iniettiva
- suriettiva
- biunivoca
Ora, la funzione biunivoca mi sembra essere l’unica che rispetta la definizione di funzione di cui sopra. La funzione biunivoca è definita:
Di conseguenza la funzione iniettiva può lasciare che elementi dell’insieme di arrivo non siano associati ad elementi dell’insieme di arrivo. Questo mi sembra un controsenso, se l’insieme di arrivo è l’insieme degli elementi “associati” come è possibile che ce ne siano di “non associati”?
Perché mai l’insieme di arrivo non coincide con il codominio, e l’insieme di partenza non coincide con il dominio?
Partiamo dalla definizione di funzione:
Siano X e Y due insiemi; si dice funzione da X a Y una relazione che associa a ogni elemento di X un solo elemento di Y.
Fin qui sembra filare tutto liscio ma poi la teoria presenta tre classificazioni, tre tipi di funzione:
- iniettiva
- suriettiva
- biunivoca
Ora, la funzione biunivoca mi sembra essere l’unica che rispetta la definizione di funzione di cui sopra. La funzione biunivoca è definita:
Una funzione in cui ogni elemento del codominio ha un’unica contro-immagine si dice biunivoca.
Di conseguenza la funzione iniettiva può lasciare che elementi dell’insieme di arrivo non siano associati ad elementi dell’insieme di arrivo. Questo mi sembra un controsenso, se l’insieme di arrivo è l’insieme degli elementi “associati” come è possibile che ce ne siano di “non associati”?
Perché mai l’insieme di arrivo non coincide con il codominio, e l’insieme di partenza non coincide con il dominio?
Risposte
ad esempio questa
vi è raffigurato un elemento [w] che non è associato a nessun elemento dell'insieme X
quindi - per logica - questa non dovrebbe essere una funzione...
Perché invece il testo la presenta come una funzione?
vi è raffigurato un elemento [w] che non è associato a nessun elemento dell'insieme X
quindi - per logica - questa non dovrebbe essere una funzione...
Perché invece il testo la presenta come una funzione?
Perché invece il testo la presenta come una funzione?Perché è una funzione; stai interpretando male la definizione. (Confondendo, tra l'altro, il codominio della funzione con la sua immagine)
Una funzione da $X$ a $Y$ è un sottoinsieme \(f\subseteq X\times Y\) con la proprietà che per ogni \(x\in X\) l'intersezione \( (\{x\}\times Y)\cap f\) ha esattamente un elemento. Questo elemento, scritto $f(x)$, è l'immagine di $x$ mediante $f$. Da nessuna parte c'è scritto che ogni elemento di $Y$ sia della forma $f(x)$ per qualche $x$, questo renderebbe $f$ una particolare funzione.
"Gregorius":
C’è un punto oscuro nella mia comprensione nella teoria delle funzioni. Vorrei appunto capire meglio quindi ve lo presento, sperando che il vostro aiuto possa aiutarmi
Partiamo dalla definizione di funzione:
Siano X e Y due insiemi; si dice funzione da X a Y una relazione che associa a ogni elemento di X un solo elemento di Y.
...
Di conseguenza la funzione iniettiva può lasciare che elementi dell’insieme di arrivo non siano associati ad elementi dell’insieme di arrivo. Questo mi sembra un controsenso, se l’insieme di arrivo è l’insieme degli elementi “associati” come è possibile che ce ne siano di “non associati”?
Perché mai l’insieme di arrivo non coincide con il codominio, e l’insieme di partenza non coincide con il dominio?
Nella definizione di funzione che hai citato non dice nulla riguardo all'insieme di arrivo (o l'insieme $Y$) ma solo che se prendi un elemento dall'insieme $X$ esso può essere associato, tramite una relazione ben definita, ad un solo elemento dell'insieme $Y$. Questo vuol dire che più elementi dell'insieme $X$ possono essere associati allo stesso elemento. Ti trovi fin qui?
Ora considera la definizione di funzione iniettiva, in che modo agisce sulla scelta degli elementi di $X$? Anche in questo caso è possibile che diversi elementi dell'insieme $X$ siano associati allo stesso elemento di $Y$?
Dunque può essere che l'insieme codominio non coincida con l'insieme immagine?
"Gregorius":
Dunque può essere che l'insieme codominio non coincida con l'insieme immagine?
Certamente.
Secondo te, quando il codominio coincide con l'insieme immagine? Quale delle tre tipologie di funzioni (o più di una) di quelle che hai elencato prima ti consente di avere il codominio e l'immagine uguali?
Il fatto è che in molti libri "moderni" si afferma che il codominio e l'insieme delle immagini sono la stessa cosa 
"axpgn":
Il fatto è che in molti libri "moderni" si afferma che il codominio e l'insieme delle immagini sono la stessa cosa
Per questo forum di confronto come questo sono una vera miniera d'oro e approdo sicuro dalla tempesta di cattive informazioni. Specialmente per autodidatti come me.
Vi ringrazio per le vostre osservazioni, mi rendo ora conto che facevo confusione tra:
- l’insieme di partenza e il dominio (insieme delle contro-immagini)
- l’insieme di arrivo, il codominio, e l’insieme delle immagini
Il dominio e il codominio sono "insiemi numerici" (ad esempio: N, Z, Q, R, ecc.). Dico bene?
Rispondo a DavidGnomo
Sì, certo, mentre non può essere vero il contrario.
No, perché - nel caso della funzione iniettiva - ciascuna delle varie immagini ha solo una contro-immagine nel dominio.
Il codominio coincide con l’insieme immagine nel caso della funzione suriettiva.
- l’insieme di partenza e il dominio (insieme delle contro-immagini)
- l’insieme di arrivo, il codominio, e l’insieme delle immagini
Il dominio e il codominio sono "insiemi numerici" (ad esempio: N, Z, Q, R, ecc.). Dico bene?
Rispondo a DavidGnomo
"DavidGnomo":
Questo vuol dire che più elementi dell'insieme X possono essere associati allo stesso elemento. Ti trovi fin qui?
Sì, certo, mentre non può essere vero il contrario.
"DavidGnomo":
Ora considera la definizione di funzione iniettiva, in che modo agisce sulla scelta degli elementi di X? Anche in questo caso è possibile che diversi elementi dell'insieme X siano associati allo stesso elemento di Y?
No, perché - nel caso della funzione iniettiva - ciascuna delle varie immagini ha solo una contro-immagine nel dominio.
"DavidGnomo":
Secondo te, quando il codominio coincide con l'insieme immagine? Quale delle tre tipologie di funzioni (o più di una) di quelle che hai elencato prima ti consente di avere il codominio e l'immagine uguali?
Il codominio coincide con l’insieme immagine nel caso della funzione suriettiva.
@DavidGnomo
Mah, più che "cattive informazioni" in questo caso mi pare una scelta, una tendenza; mi piacerebbe veramente molto capire com'è nata e perché...
Mah, più che "cattive informazioni" in questo caso mi pare una scelta, una tendenza; mi piacerebbe veramente molto capire com'è nata e perché...
"Gregorius":
Il dominio e il codominio sono "insiemi numerici" (ad esempio: N, Z, Q, R, ecc.). Dico bene?
No.
"axpgn":
[quote="Gregorius"]Il dominio e il codominio sono "insiemi numerici" (ad esempio: N, Z, Q, R, ecc.). Dico bene?
No.[/quote]
E nel caso di "funzioni numeriche"?
Prova a pensare a un esempio di questo tipo: prendi l'insieme $P$ di tutte le persone vive in questo momento e definisci la funzione $f:P to NN$ mandando la persona $x in P$ nella sua età. Cioè $f(x)$ è uguale all'età di $x$. Questa è una funzione numerica? È una funzione iniettiva? Suriettiva? Biiettiva?
Poi un esercizio più divertente: definisci $P$ come sopra e $g:P to NN$, con $g(x)$ uguale al numero di capelli che la persona $x$ ha in testa. Questa funzione è iniettiva? È suriettiva?
Poi un esercizio più divertente: definisci $P$ come sopra e $g:P to NN$, con $g(x)$ uguale al numero di capelli che la persona $x$ ha in testa. Questa funzione è iniettiva? È suriettiva?
"Gregorius":
...
Il dominio e il codominio sono "insiemi numerici" (ad esempio: N, Z, Q, R, ecc.). Dico bene?
Il concetto di funzione è riferito a particolari relazioni su insiemi. Questi insiemi possono anche essere non-numerici.
"Gregorius":
[quote="DavidGnomo"]Secondo te, quando il codominio coincide con l'insieme immagine? Quale delle tre tipologie di funzioni (o più di una) di quelle che hai elencato prima ti consente di avere il codominio e l'immagine uguali?
Il codominio coincide con l’insieme immagine nel caso della funzione suriettiva.[/quote]
Giusto. Secondo te vale anche se la funzione è biettiva (o anche detta biunivoca)?
"DavidGnomo":
[quote="axpgn"]Il fatto è che in molti libri "moderni" si afferma che il codominio e l'insieme delle immagini sono la stessa cosa
Per questo forum di confronto come questo sono una vera miniera d'oro e approdo sicuro dalla tempesta di cattive informazioni. Specialmente per autodidatti come me.[/quote]
Per la verità non credo che siano 'cattive informazioni', sono convenzioni terminologiche diverse.
Vedo che spesso codominio e immagine sone la stessa cosa nei libri più scolastici, mentre nei libri universitari codominio e immagine sono cose diverse.
Però ho l'impressione che usare interscambiabilnente 'codominio' o 'immagine' sia non tanto una abitudine scolastica, ma una abitudine più retró, ad esempio io ho un testo di Analisi I di Carlo Ciliberto, per la facoltà di matematica, del 1973, e anche lì immagine e codominio sono la stessa cosa, quello che chiamiamo ora 'codominio' viene detto 'insieme cui appartengono i valori della funzione'.
@gabriella
A me sembra una tendenza molto moderna; io libri delle Superiori con l'affermazione "codominio=immagine" ho iniziato a vederli da non più di 6/7 anni, prima mai; ho un libro della Open University del 1973 che distingueva nettamente tra le due cose (e spiegava anche perché "conviene" tenerli separati)
A me sembra una tendenza molto moderna; io libri delle Superiori con l'affermazione "codominio=immagine" ho iniziato a vederli da non più di 6/7 anni, prima mai; ho un libro della Open University del 1973 che distingueva nettamente tra le due cose (e spiegava anche perché "conviene" tenerli separati)
Non so, Carlo Ciliberto così fa, ed era un matematico rinomato, e io ho ricordi vaghi di questa abitudine ai tempi dell'università.
I libri scolastici non so, non li conosco granché, ho visto alcune cose su internet del genere.
Se nel '73 la Open University parlava della necessità di distinguere vuol dire che c'era l'abitudine di non distinguere.
Altro libro di analisi vecchiotto dove non c'è distinzione è Ghizzetti-Rosati, quello che noi chiamiamo immagine lo chiama codominio o coinsieme.
Sui libri più recenti il codominio non è l'immagine.
I libri scolastici non so, non li conosco granché, ho visto alcune cose su internet del genere.
Se nel '73 la Open University parlava della necessità di distinguere vuol dire che c'era l'abitudine di non distinguere.
Altro libro di analisi vecchiotto dove non c'è distinzione è Ghizzetti-Rosati, quello che noi chiamiamo immagine lo chiama codominio o coinsieme.
Sui libri più recenti il codominio non è l'immagine.
"gabriella127":
Se nel '73 la Open University parlava della necessità di distinguere vuol dire che c'era l'abitudine di non distinguere.
No, non lo scrivevano per quello.
Il capitolo andrebbe riportato per intero ma in sostanza si ponevano una domanda (perché distinguerli?) che scaturiva dagli esempi fatti e si davano una risposta.
Rispondo
a Martino
La funzione $f(x)$ che fa dipendere l’età dalle persone vive mi mette in difficoltà:
Si parla di insieme $P$ quello che comprende tutte le persone vive, e questi mi sembrano essere elementi di tipo “persone” e non elementi di tipo “numeri”. Gli elementi $x in P$ però possono anche essere “contati” quindi trattati come numeri naturali, no?
In questo caso sembra allora essere una funzione che ha $N$ (numeri naturali) come insieme di partenza e come insieme di arrivo. Quindi è una funzione numerica ma:
non è iniettiva, perché ci possono essere più persone che hanno la stessa età
non è suriettiva, perché verosimilmente non ci sono ad esempio persone che hanno 300 anni
non è nemmeno biunivoca, perché già non era iniettiva
L’altra funzione $g(x)$, quella che fa dipendere il numero di capelli dalle persone vive, potrebbe essere trattata allo stesso modo. Anche qui ci sono più persone che hanno lo stesso numero di capelli, e persone che non possono averne un numero infinitamente alto.
a DavidGnomo
Sì, vale anche se la funzione è biunivoca, perché se è vero che nelle suriettive il codominio coincide con l’insieme immagine, e se è vero che in una funzione biunivoca ogni elemento del codominio ha un’unica contro-immagine, e se è vero che la funzione in generale associa un immagine ad ogni elemento del dominio, allora la funzione biunivoca ha un codominio che coincide non l’immagine.
a Martino
"Martino":
Prova a pensare a un esempio di questo tipo: prendi l'insieme $P$ di tutte le persone vive in questo momento e definisci la funzione $f:P to NN$ mandando la persona $x in P$ nella sua età. Cioè $f(x)$ è uguale all'età di $x$. Questa è una funzione numerica? È una funzione iniettiva? Suriettiva? Biiettiva?
La funzione $f(x)$ che fa dipendere l’età dalle persone vive mi mette in difficoltà:
Si parla di insieme $P$ quello che comprende tutte le persone vive, e questi mi sembrano essere elementi di tipo “persone” e non elementi di tipo “numeri”. Gli elementi $x in P$ però possono anche essere “contati” quindi trattati come numeri naturali, no?
In questo caso sembra allora essere una funzione che ha $N$ (numeri naturali) come insieme di partenza e come insieme di arrivo. Quindi è una funzione numerica ma:
non è iniettiva, perché ci possono essere più persone che hanno la stessa età
non è suriettiva, perché verosimilmente non ci sono ad esempio persone che hanno 300 anni
non è nemmeno biunivoca, perché già non era iniettiva
"Martino":
Poi un esercizio più divertente: definisci $P$ come sopra e $g:P to NN$, con $g(x)$ uguale al numero di capelli che la persona $x$ ha in testa. Questa funzione è iniettiva? È suriettiva?
L’altra funzione $g(x)$, quella che fa dipendere il numero di capelli dalle persone vive, potrebbe essere trattata allo stesso modo. Anche qui ci sono più persone che hanno lo stesso numero di capelli, e persone che non possono averne un numero infinitamente alto.
a DavidGnomo
"DavidGnomo":
Giusto. Secondo te vale anche se la funzione è biettiva (o anche detta biunivoca)?
Sì, vale anche se la funzione è biunivoca, perché se è vero che nelle suriettive il codominio coincide con l’insieme immagine, e se è vero che in una funzione biunivoca ogni elemento del codominio ha un’unica contro-immagine, e se è vero che la funzione in generale associa un immagine ad ogni elemento del dominio, allora la funzione biunivoca ha un codominio che coincide non l’immagine.
"Gregorius":No, che possano essere contati non c'entra. Non sono numeri. Non puoi cambiare gli elementi di un insieme, se sono persone sono persone.
Gli elementi $x in P$ però possono anche essere “contati” quindi trattati come numeri naturali, no?
In questo caso sembra allora essere una funzione che ha $N$ (numeri naturali) come insieme di partenza e come insieme di arrivo.
"Martino":No, che possano essere contati non c'entra. Non sono numeri. Non puoi cambiare gli elementi di un insieme, se sono persone sono persone.[/quote]
[quote="Gregorius"]Gli elementi $x in P$ però possono anche essere “contati” quindi trattati come numeri naturali, no?
In questo caso sembra allora essere una funzione che ha $N$ (numeri naturali) come insieme di partenza e come insieme di arrivo.
La funzione c'è comunque? Anche se associa persone ad un numero (l'età)?
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