Tartaglia
Esercizio 1
Usando il triangolo di Tartaglia, scrivere esplicitamente:
$(1+a)^8$ e $(2a -3b)^7$
Usando il triangolo di Tartaglia, scrivere esplicitamente:
$(1+a)^8$ e $(2a -3b)^7$
Risposte
"Bad90":
Il $k=0$ sotto il simbolo della sommatoria, significa che il punto di partenza sia lo $ 0 $ e quindi il secondo sia $k=1$ e il terzo $k=3$ ecc., eccetera. Giusto
Il primo valore dell'indice della sommatoria è $k=0$, il secondo $k=1$, il terzo $k=2$, ecc. Si arriva fino al valore che precede $n$, ossia $n-1$.
"burm87":
Il primo valore dell'indice della sommatoria è $k=0$, il secondo $k=1$, il terzo $k=2$, ecc. Si arriva fino al valore che precede $n$, ossia $n-1$.
Perfetto!
Perchè allora si scrive il $ -k $ al pedice di $ a $
Non si potrebbe omettere Ma vedendo la formula non penso altrimenti perderebbe il significato la formula, vero?
Nell' ultima relazione intendi? Ti mettono solo in evidenza che vale quell'uguaglianza.
"burm87":
Nell' ultima relazione intendi? Ti mettono solo in evidenza che vale quell'uguaglianza.
Ok, ho fatto un Edit. Ho compreso il perchè
Mette giustamente in evidenza quella sommatoria
Tornando sulla traccia dell' Esercizio 4
Adesso mi suggerisce di sfruttare il risultato dell'esercizio precedente, cioè l'esercizio 3, risolvendo questo:
$ sum_(k=0) ^(n-1) (2k+1) = n^2 $
Penso di aver compreso il concetto che si riferisce ad una sommatoria invertita, giusto
Scusate, ma $ 2k+1 $ indica un numero dispari
Adesso mi suggerisce di sfruttare il risultato dell'esercizio precedente, cioè l'esercizio 3, risolvendo questo:
$ sum_(k=0) ^(n-1) (2k+1) = n^2 $
Penso di aver compreso il concetto che si riferisce ad una sommatoria invertita, giusto
Scusate, ma $ 2k+1 $ indica un numero dispari
Sì, $2k+1$ indica un numero dispari, ma questo non serve a nulla. Sfruttiamo invece il risultato trovato; continuo ad indicare con lettere maiuscole il rimando a note esplicative.
$sum_(k=0)^(n-1) (2k+1)=A \ sum_(k=0)^(n-1)2k+sum_(k=0)^(n-1)1=B\ ( 2sum_(k=0)^(n-1) k)+1*n=$
$=C\ 2*((n-1+1)(n-1))/2+n=n(n-1)+n=n^2-n+n=n^2$
A. Per la proprietà $sum(a_k+b_k)=suma_k+sumb_k$. Non ho scritto gli estremi perché possono essere qualsiasi, purché uguali in tutte le sommatorie.
B. Nella prima sommatoria ho messo in evidenza il 2; nella seconda ho applicato il fatto che sto sommando $n$ termini uguali (il numero dei termini è $n$: è vero che si arriva solo fino ad $n-1$, ma si parte da 0 e non da 1). La parentesi non è necessaria, ma l'ho messa per maggiore chiarezza.
C. Ho applicato il risultato precedente, ma con alcune avvertenze. La prima è che là arrivava fino ad $n$ e qui si arriva solo fino ad $n-1$: quindi nella formula nota devo scrivere $n-1$ al posto di $n$. La seconda è che là si partiva da 1 e qui da 0, ma questo non cambia nulla: supposto di finire col numero 5, là il calcolo era 1+2+3+4+5, mentre qui è 0+1+2+3+4+5, con risultato identico.
$sum_(k=0)^(n-1) (2k+1)=A \ sum_(k=0)^(n-1)2k+sum_(k=0)^(n-1)1=B\ ( 2sum_(k=0)^(n-1) k)+1*n=$
$=C\ 2*((n-1+1)(n-1))/2+n=n(n-1)+n=n^2-n+n=n^2$
A. Per la proprietà $sum(a_k+b_k)=suma_k+sumb_k$. Non ho scritto gli estremi perché possono essere qualsiasi, purché uguali in tutte le sommatorie.
B. Nella prima sommatoria ho messo in evidenza il 2; nella seconda ho applicato il fatto che sto sommando $n$ termini uguali (il numero dei termini è $n$: è vero che si arriva solo fino ad $n-1$, ma si parte da 0 e non da 1). La parentesi non è necessaria, ma l'ho messa per maggiore chiarezza.
C. Ho applicato il risultato precedente, ma con alcune avvertenze. La prima è che là arrivava fino ad $n$ e qui si arriva solo fino ad $n-1$: quindi nella formula nota devo scrivere $n-1$ al posto di $n$. La seconda è che là si partiva da 1 e qui da 0, ma questo non cambia nulla: supposto di finire col numero 5, là il calcolo era 1+2+3+4+5, mentre qui è 0+1+2+3+4+5, con risultato identico.
Ok, ma perchè hai diviso per 2 in corrispondenza del punto seguente?
$=C\ 2*((n-1+1)(n-1))/2+n=n(n-1)+n=n^2-n+n=n^2$
Penso che nell'esercizio 3, avrai dimenticato di mettere il due fuori dalla sommatoria:
$2sum_(k=1)^n k=sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n k=A sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n (n+1-k)=B sum_(k=1)^n(k+n+1-k)=$
$=sum_(k=1)^n (n+1)= C\ n*(n+1)$
Penso debba essere così:
$2sum_(k=1)^n k=sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n k=2 sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n (n+1-k)=2 sum_(k=1)^n(k+n+1-k)=$
$=2sum_(k=1)^n (n+1)= (n*(n+1))/2$
$=C\ 2*((n-1+1)(n-1))/2+n=n(n-1)+n=n^2-n+n=n^2$
Penso che nell'esercizio 3, avrai dimenticato di mettere il due fuori dalla sommatoria:
$2sum_(k=1)^n k=sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n k=A sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n (n+1-k)=B sum_(k=1)^n(k+n+1-k)=$
$=sum_(k=1)^n (n+1)= C\ n*(n+1)$
Penso debba essere così:
$2sum_(k=1)^n k=sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n k=2 sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n (n+1-k)=2 sum_(k=1)^n(k+n+1-k)=$
$=2sum_(k=1)^n (n+1)= (n*(n+1))/2$
L'esercizio 3 era giusto. Ci sono tutti uguali, quindi il punto di partenza è uguale a quello di arrivo, cioè
$2sum_(k=1)^n k=n(n+1)->sum_(k=1)^n k=(n(n+1))/2$
Nell'esercizio successivo ho applicato la formula finale.
$2sum_(k=1)^n k=n(n+1)->sum_(k=1)^n k=(n(n+1))/2$
Nell'esercizio successivo ho applicato la formula finale.
"giammaria":
L'esercizio 3 era giusto. Ci sono tutti uguali, quindi il punto di partenza è uguale a quello di arrivo, cioè
$2sum_(k=1)^n k=n(n+1)->sum_(k=1)^n k=(n(n+1))/2$
Nell'esercizio successivo ho applicato la formula finale.
Perfettissimo
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