Tartaglia
Esercizio 1
Usando il triangolo di Tartaglia, scrivere esplicitamente:
$(1+a)^8$ e $(2a -3b)^7$
Usando il triangolo di Tartaglia, scrivere esplicitamente:
$(1+a)^8$ e $(2a -3b)^7$
Risposte
Non hai dimenticato un $x-1$ nella parte sinistra? Dov'è sparito?
"burm87":
Non hai dimenticato un $x-1$ nella parte sinistra? Dov'è sparito?
Hai ragione, ecco il risultato corretto:
$4*(x*(x-1)*(x-2)*(x-3))/(4*3*2)=15*((x-2)*(x-3)*(x-4))/(3*2)$
$(x*(x-1)*(x-2)*(x-3))/(3*2)=5*((x-2)*(x-3)*(x-4))/(2)$
$(x*(x-1))/(6)=5*((x-4))/(2)$
$(x*(x-1))/(3)=5*(x-4)$
$x^2 -16x +60=0$
E poi si risolve l'equazione quadratica!
Va bene così?
........
"Bad90":
$x^2 -16x +60=0$
E poi si risolve l'equazione quadratica!
Va bene così?
Non ho controllato i calcoli, ma mi sembra corretto.
Aggiungo due osservazioni sull'esercizio 2.
1) Nei coefficienti binomiali, i due numeri devono essere naturali. Ne consegue che se davvero l'equazione avesse avuto come soluzione $x=37/7$ avresti dovuto scartarla perché non è un numero naturale e dire che l'equazione è impossibile.
2) Nel risolvere l'equazione hai semplificato i due membri per $(x-2)(x-3)$ ma è lecito semplificare solo per numeri certamente diversi da zero. Nel tuo caso potevi (e dovevi) acquisire quella certezza studiando il dominio; il numero in alto deve essere maggiore o uguale a quello in basso, quindi, oltre a $x in NN$, hai le limitazioni
${(x>=4),(x-2>=3):}=>{(x>=4),(x>=5):}=>x>=5$
ed è garantito che $x$ non può valere né 2 né 3.
1) Nei coefficienti binomiali, i due numeri devono essere naturali. Ne consegue che se davvero l'equazione avesse avuto come soluzione $x=37/7$ avresti dovuto scartarla perché non è un numero naturale e dire che l'equazione è impossibile.
2) Nel risolvere l'equazione hai semplificato i due membri per $(x-2)(x-3)$ ma è lecito semplificare solo per numeri certamente diversi da zero. Nel tuo caso potevi (e dovevi) acquisire quella certezza studiando il dominio; il numero in alto deve essere maggiore o uguale a quello in basso, quindi, oltre a $x in NN$, hai le limitazioni
${(x>=4),(x-2>=3):}=>{(x>=4),(x>=5):}=>x>=5$
ed è garantito che $x$ non può valere né 2 né 3.
"giammaria":
Aggiungo due osservazioni sull'esercizio 2.
2) Nel risolvere l'equazione hai semplificato i due membri per $(x-2)(x-3)$ ma è lecito semplificare solo per numeri certamente diversi da zero. Nel tuo caso potevi (e dovevi) acquisire quella certezza studiando il dominio........
${(x>=4),(x-2>=3):}=>{(x>=4),(x>=5):}=>x>=5$.
Per l'osservazione 2, Non sto riuscendo ad intravedere a quali passaggi ti riferisci!??!?
Potresti per favore evidenziarmi il punto a cui ti riferisci?
....
Nell'ultimo intervento relativo all'esercizio 2), hai semplificato nel passare dalla seconda alla terza riga di calcoli. Le limitazioni che ho scritto sono state invece ricavate dal testo iniziale, in cui c'erano $((x),(4))$ e $((x-2),(3))$.
Ti ricordo che nel quotare qualcuno non si deve riportare il suo intero intervento, ma solo le frasi veramente utili.
Ti ricordo che nel quotare qualcuno non si deve riportare il suo intero intervento, ma solo le frasi veramente utili.
Ho messo apposto il quote! 
Ok, adesso ho compreso a cosa ti riferivi!
Ti ringrazio!
Ok, adesso ho compreso a cosa ti riferivi!
Ti ringrazio!
Ritornando sull' Esercizio 1
Usando il triangolo di Tartaglia, scrivere esplicitamente:
$(1+a)^8$ e $(2a -3b)^7$
Per il primo avro':
$1+8a+28a^2 + 56a^3 + 70 a^4 + 56a^5 + 28a^6 + 8a^7 + a^8$
Non mi voglio complicare la vita, ma se fosse $(1-a)^8$ come diventerebbe????
Insomma, con tartaglia, come si gestiscono i segni negativi?
Usando il triangolo di Tartaglia, scrivere esplicitamente:
$(1+a)^8$ e $(2a -3b)^7$
Per il primo avro':
$1+8a+28a^2 + 56a^3 + 70 a^4 + 56a^5 + 28a^6 + 8a^7 + a^8$
Non mi voglio complicare la vita, ma se fosse $(1-a)^8$ come diventerebbe????
Insomma, con tartaglia, come si gestiscono i segni negativi?
Così:
$=[1+(-a)]^8=1+8(-a)+28(-a)^2+56(-a)^3+...=1-8a+28a^2-56a^3+...$
Con questa formula si dimostra la seguente scorciatoia: dopo aver calcolato il segno del primo addendo, se il binomio aveva due segni uguali lo si copia sempre; se aveva due segni diversi si alternano i segni più e meno.
$=[1+(-a)]^8=1+8(-a)+28(-a)^2+56(-a)^3+...=1-8a+28a^2-56a^3+...$
Con questa formula si dimostra la seguente scorciatoia: dopo aver calcolato il segno del primo addendo, se il binomio aveva due segni uguali lo si copia sempre; se aveva due segni diversi si alternano i segni più e meno.
Allora vediamo se ho capito perfettamente con la seguente:
$(2a -3b)^7$
Ecco cosa ho fatto:
$ 128a^7 -192a^6 b + 288a^5 b^2 -432a^4 b^3 + 648a^3b^4 -....+... $
Penso proprio che svolto bene anche i calcoli!
Cosa ne dici???
$(2a -3b)^7$
Ecco cosa ho fatto:
$ 128a^7 -192a^6 b + 288a^5 b^2 -432a^4 b^3 + 648a^3b^4 -....+... $
Penso proprio che svolto bene anche i calcoli!
Cosa ne dici???
Esercizio 3
Dimostrare le seguenti identità, sfruttando le proprietà delle sommatorie:
$ sum_(i=1)^n i = (n(n+1))/2 $
Dimostrare le seguenti identità, sfruttando le proprietà delle sommatorie:
$ sum_(i=1)^n i = (n(n+1))/2 $
Dov'è la difficoltà? I numeri 1, 2, 3,... formano una progressione aritmetica, quindi ...
Non vedo bene cosa c'entrino le proprietà delle sommatorie; forse intervengono negli esercizi successivi.
Non vedo bene cosa c'entrino le proprietà delle sommatorie; forse intervengono negli esercizi successivi.
"giammaria":
forse intervengono negli esercizi successivi.
Non lo so!
Ma allora come devo risolvere questo
Mi da un suggerimento che è:
Calcolare $ 2sum_(i=1) ^n i = sum_(i=1) ^n i + sum_(i=1) ^n i $ eseguendo nella seconda sommatoria una riflessione di indici.
Sinceramente a me viene di risolverlo in questo modo:
$ sum_(i=1)^n i = (n(n+1))/2 $
$ sum_(i=1)^(10) 1 = (10(10+1))/2 = 110/2 = 55$
Insomma, questa è la somma degli n interi partendo da 1 è la formula di Gauss, giusto?
Ma cosa vuole che gli dimostro
Cominciamo col $(2a-3b)^7$, che hai sbagliato: i calcoli giusti sono
$=(2a)^7-7*(2a)^6*3b+21*(2a)^5*(3b)^2-35*(2a)^4(3b)^3+35*(2a)^3(3b)^4-21*(2a)^2(3b)^5+$
$+7*2a*(3b)^6-(3b)^7=...$
Ed ora svolgiamo l'esercizio 3 secondo il suggerimento dato. Due avvertenze:
- uso $k$ al posto di $i$, troppo facile da confondere con $1$;
- dopo alcuni uguali vedrai una lettera maiuscola: non fa parte dei calcoli, ma è un rimando ad una nota in cui spiego cosa farò in quel passaggio.
$2sum_(k=1)^n k=sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n k=A sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n (n+1-k)=B sum_(k=1)^n(k+n+1-k)=$
$=sum_(k=1)^n (n+1)= C\ n*(n+1)$
A. Applico la riflessione di indici. Qualche giorno fa avevi postato le proprietà delle sommatorie, fotocopiandole dal tuo libro; se vai a rivedere, la trovi.
B. Applico la proprietà $sum_(k=1)^n a_k+sum_(k=1)^n b_k=sum_(k=1)^n(a_k+b_k)$; probabilmente è chiamata proprietà della somma.
C. I numeri da sommare non dipendono più da $k$, quindi sto sommando $n$ numeri uguali fra loro e questo è lo stesso che prenderne uno e moltiplicarlo per $n$.
Il punto di partenza era il doppio della somma, quindi la somma è la metà di questo risultato.
Onestamente, non mi sarebbe mai venuto in mente un metodo simile. Quello che dici sul metodo di Gauss è giusto mentre il ragionamento che io suggerivo era: "Mi sta chiedendo la somma dei primi $n$ termini di una progressione aritmetica, quindi uso la formula $S_n=(a_1+a_n)/2*n$. Nel mio caso $a_1=1$ e $a_n=n$ e li sostituisco nella formula."
$=(2a)^7-7*(2a)^6*3b+21*(2a)^5*(3b)^2-35*(2a)^4(3b)^3+35*(2a)^3(3b)^4-21*(2a)^2(3b)^5+$
$+7*2a*(3b)^6-(3b)^7=...$
Ed ora svolgiamo l'esercizio 3 secondo il suggerimento dato. Due avvertenze:
- uso $k$ al posto di $i$, troppo facile da confondere con $1$;
- dopo alcuni uguali vedrai una lettera maiuscola: non fa parte dei calcoli, ma è un rimando ad una nota in cui spiego cosa farò in quel passaggio.
$2sum_(k=1)^n k=sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n k=A sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n (n+1-k)=B sum_(k=1)^n(k+n+1-k)=$
$=sum_(k=1)^n (n+1)= C\ n*(n+1)$
A. Applico la riflessione di indici. Qualche giorno fa avevi postato le proprietà delle sommatorie, fotocopiandole dal tuo libro; se vai a rivedere, la trovi.
B. Applico la proprietà $sum_(k=1)^n a_k+sum_(k=1)^n b_k=sum_(k=1)^n(a_k+b_k)$; probabilmente è chiamata proprietà della somma.
C. I numeri da sommare non dipendono più da $k$, quindi sto sommando $n$ numeri uguali fra loro e questo è lo stesso che prenderne uno e moltiplicarlo per $n$.
Il punto di partenza era il doppio della somma, quindi la somma è la metà di questo risultato.
Onestamente, non mi sarebbe mai venuto in mente un metodo simile. Quello che dici sul metodo di Gauss è giusto mentre il ragionamento che io suggerivo era: "Mi sta chiedendo la somma dei primi $n$ termini di una progressione aritmetica, quindi uso la formula $S_n=(a_1+a_n)/2*n$. Nel mio caso $a_1=1$ e $a_n=n$ e li sostituisco nella formula."
Per quanto riguarda l'esercizio 3, devo confessarti a VOCE ALTA CHE NON HO ANCORA TROVATO UN DOCENTE CHE RIESCE A SPIEGARE IN UN MODO COSI' SEMPLICE DA COMPRENDERE I CONCETTI, COME RIESCI A FARE TE! Si diceva che le lezioni di Enrico Fermi, venivano rese facili, aveva una grande capacità di facilitare la comprensione dei concetti 
Adesso mi chiedo, ma sei mica la sua reincarnazione
Sei grandioso
Adesso mi chiedo, ma sei mica la sua reincarnazione
Sei grandioso
"giammaria":
$A sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n (n+1-k)$
A. Applico la riflessione di indici.
La cosa che ancora non mi è tanto chiara è il concetto della riflessione degli indici!
In Italiano , riflessione ha un significato bene preciso, in fisica la riflessione è il fenomeno per cui un'onda, che si propaga lungo l'interfaccia tra differenti mezzi, cambia di direzione a causa di un impatto con un materiale riflettente, ma in questo caso di una sommatoria, ancora non mi è tanto chiaro
Poi nella formula, noto che si aggiunge un $ 1 $ e si sottrae un $ k $, non capisco il senso
Ecco la formula del testo:
$ sum_(k=1)^(n) a_k = sum_(k=1)^(n) a_(k - k+ 1)= sum_(k=0)^(n -1) a_(k -k) $
Poi non capisco perchè finisce con il togliere $ 1 $ e passa sul simbolo della sommatoria $ n-1 $
Perchè?
Qual'è il significato
Hai scritto male le formule e ti conviene correggerle: qualche $k$ va sostituita da $n$ e molte scritte vanno messe nel pedice. Per ottenerlo, mettile fra parentesi; ad esempio $a_(n-k)$ si scrive a_(n-k).
Si parla di riflessione perché viene scambiato l'ordine degli addendi come nel mio seguente esempio:
$sum_(k=1)^4 a_k=a_1+a_2+a_3+a_4=a_4+a_3+a_2+a_1$
Voglio ora rappresentare quest'ultima somma in modo che al primo addendo corrisponda $k=1$, al secondo $k=2$ eccetera: quindi continuo con
$=a_(5-1)+a_(5-2)+a_(5-3)+a_(5-4)=sum_(k=1)^4 a_(5-k)$
Con lo stesso ragionamento, se al posto di $4$ ci fosse stato $n$ avrei scritto
$sum_(k=1)^n a_k=sum_(k=1)^n a_(n+1-k)$
Scritto così, ho il pregio che gli estremi della sommatoria non sono cambiati ma il difetto di un brutto pedice; a volte è meglio modificare chiedendo che, nella somma invertita, il primo addendo corrisponda a $k=0$, il secondo a $k=1$, eccetera. Riprendendo il mio esempio scriverò allora
$=a_(4-0)+a_(4-1)+a_(4-2)+a_(4-3)=sum_(k=0)^3 a_(4-k)$
e, in generale,
$sum_(k=1)^n a_k=sum_(k=0)^(n-1) a_(n-k)$
Si parla di riflessione perché viene scambiato l'ordine degli addendi come nel mio seguente esempio:
$sum_(k=1)^4 a_k=a_1+a_2+a_3+a_4=a_4+a_3+a_2+a_1$
Voglio ora rappresentare quest'ultima somma in modo che al primo addendo corrisponda $k=1$, al secondo $k=2$ eccetera: quindi continuo con
$=a_(5-1)+a_(5-2)+a_(5-3)+a_(5-4)=sum_(k=1)^4 a_(5-k)$
Con lo stesso ragionamento, se al posto di $4$ ci fosse stato $n$ avrei scritto
$sum_(k=1)^n a_k=sum_(k=1)^n a_(n+1-k)$
Scritto così, ho il pregio che gli estremi della sommatoria non sono cambiati ma il difetto di un brutto pedice; a volte è meglio modificare chiedendo che, nella somma invertita, il primo addendo corrisponda a $k=0$, il secondo a $k=1$, eccetera. Riprendendo il mio esempio scriverò allora
$=a_(4-0)+a_(4-1)+a_(4-2)+a_(4-3)=sum_(k=0)^3 a_(4-k)$
e, in generale,
$sum_(k=1)^n a_k=sum_(k=0)^(n-1) a_(n-k)$
Esercizio 4
Adesso mi suggerisce di sfruttare il risultato dell'esercizio precedente, cioè l'esercizio 3, risolvendo questo:
$ sum_(k=0) ^(n-1) (2k+1) = n^2 $
Cerco di capire qualcosa in merito alla formula scritta in quel modo.....
Penso che qui centri la proprietà della riflessione, giusto?
Come mi è stato detto nel messaggio precedente, penso di aver compreso che il senso della formula sia:
Il $k=0$ sotto il simbolo della sommatoria, significa che il punto di partenza sia lo $ 0 $ e quindi il secondo sia $k=1$ e il terzo $k=3$ ecc., eccetera. Giusto
Mentre il punto di arrivo è dato dal simbolo $ n-1 $ sopra la sommatoria, Vero
Oppure è cose se stessi dicendo che se invece di partire da $ k = 1 $, inizio da $ k = 0 $ e quindi slitto da $ n $ ad un numero che lo precede che è $ n-1 $
Segue la scritta $sum_(k=1)^n a_k=sum_(k=0)^(n-1) a_(n-k)$ (che è sommatoria invertita)
Spero di aver compreso il concetto
Adesso mi suggerisce di sfruttare il risultato dell'esercizio precedente, cioè l'esercizio 3, risolvendo questo:
$ sum_(k=0) ^(n-1) (2k+1) = n^2 $
Cerco di capire qualcosa in merito alla formula scritta in quel modo.....
Penso che qui centri la proprietà della riflessione, giusto?
Come mi è stato detto nel messaggio precedente, penso di aver compreso che il senso della formula sia:
Il $k=0$ sotto il simbolo della sommatoria, significa che il punto di partenza sia lo $ 0 $ e quindi il secondo sia $k=1$ e il terzo $k=3$ ecc., eccetera. Giusto
Mentre il punto di arrivo è dato dal simbolo $ n-1 $ sopra la sommatoria, Vero
Oppure è cose se stessi dicendo che se invece di partire da $ k = 1 $, inizio da $ k = 0 $ e quindi slitto da $ n $ ad un numero che lo precede che è $ n-1 $
Segue la scritta $sum_(k=1)^n a_k=sum_(k=0)^(n-1) a_(n-k)$ (che è sommatoria invertita)
Spero di aver compreso il concetto
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