Syllabus [Concorso Marina Militare]
allora prima di tutto voglio ringraziare tutti coloro che mi aiuteranno e che mi stanno già aiutando..
Risposte
"cntrone":
[quote="WiZaRd"]Non ce n'è bisogno, anzi, con le formule di duplicazione ti complicheresti la vita (queste, normalmente, si usano per eliminare le funzioni goniometriche di troppo, non per aggiungerne di nuove).
Esegui il cambio di variabile $2x to y$, ottenendo l'equazione $seny=1/2$, quindi risolvi in $y$, infine, ricordandoti dello shift fatto, trovi $x$.
si in effetti lo avevo fatto, ma mi sono confuso..posso chiederti un'altra cosa??
ho visto che è più giusto scrivere
$x°=1/2 +k360°$
ma a volte ho trovato 360, altre volte 180..mi potresti spiegare meglio?? grazie
e un ultima semplice cosa ..
mi sono trovato a risolvere questo esercizio.
"Si riconosca che l’equazione $cos (cosx)=0$ è impossibile, mentre l’equazione
$sen(senx)=0$ ammette soluzioni (quali?)."
ma le funzioni $cos$ e $sen$ hanno valori compresi tra 1 e -1..come faccio a fare di questi valori il $cos$?? non sono angoli..[/quote]
Per quanto riguarda la questione $360°$ e $180°$, probabilmente hai trovato due diverse scitture o perché è stato messo in evidenza un $2$ (i.e., se la soluzione è $x=30°+k360°$ te l'hanno passata in $x=30°+2k180°$), oppure perché c'è qualche divisione da fare (i.e., tornando all'equazione del tuo precedente post, hai che, dopo lo shift, risulta $y=60° + k360° \ vv \ x=120° + k360°$, ma avendo posto $2x=y$ risulta, in realtà, $2x=60°+k360° \ vv \ 2x=120°+k360°$, quindi, dividendo per $2$ si ottiene $x=30°+k180° \ vv \ x=60°+k180°$).
Per quanto riguarda invece la questione delle equazioni $cos(cosx)=0$ e $sin(sinx)=0$, devi pensare al fatto che le funzioni goniometriche sono definite non solosui valori angolari, ma anche su $RR$, esprimento le misure delle ampiezze degli angoli in radianti.
"WiZaRd":
Per quanto riguarda invece la questione delle equazioni $cos(cosx)=0$ e $sin(sinx)=0$, devi pensare al fatto che le funzioni goniometriche sono definite non solosui valori angolari, ma anche su $RR$, esprimento le misure delle ampiezze degli angoli in radianti.
no non mi è chiaro..allora ti espongo i miei dubbi.. in $cos(cosx)=0$ io ho posto $cosx=y$ poi ho risolto $cosy=0$ che ha due soluzioni $pi/2$ e $3pi/2$..come dicevo ottengo come risultati due angoli..ora dovrei fare $cosx=y$ che non ha senso!! dove sbaglio??
per quanto riguarda la mia richiesta di chiarimento vorrei una conferma..da quello che ho capito..ad esempio in questa equazione:
$sen5x-sen3x=senx$
ho come risultato $4x=pi/3 + 2kpi$ che potrò scrivere $x=pi/12+kpi/2$..giusto?? come ho notato che quando si risolve con la tangente si usa sempre 180°..
"cntrone":
no non mi è chiaro..allora ti espongo i miei dubbi.. in $cos(cosx)=0$ io ho posto $cosx=y$ poi ho risolto $cosy=0$ che ha due soluzioni $pi/2$ e $3pi/2$..come dicevo ottengo come risultati due angoli..ora dovrei fare $cosx=y$ che non ha senso!! dove sbaglio??
Tu hai da risolvere l'equazione $cos(cosx)=0$. Per semplicità, limitiamoci al primo giro (*): data la periodicità della funzione coseno (di periodo $T=2pi$), se ci sono delle soluzioni queste ci sono senz'altro al primo giro (e le rimanenti si ottengono aggiungendo la periodicità) e se non ci sono, allora non ci sono nemmeno al primo giro.
Posto $cosx=y$ si ha da risolvere $cosy=0$. Quando il coseno di un angolo $y$ è nullo? Quando l'angolo è $90°$ oppure $270°$; quindi deve essere $y=90° vv y=270°$. Detto questo, ci si riduce, quindi, a dovere risolvere $cosx=y=90° \ vv \ cosx=y=270°$: messe così le cose, le equazioni non hanno alcun senso, poiché il codominio della funzione coseno è $RR$. Se però si risolve la cosa usando i radianti, si può dare un senso alle richieste avanzate: posto sempre $cosx=y$, si ha che deve essere $y=pi/2 \ vv \ y=3pi/2$, quindi risulta da risolvere $cosx=y=pi/2 \ vv \ cosx=y=3pi/2$.
Poiché $pi/2$ e $3pi/2$ altro non sono che semplici numeri (infatti, il radiante è una misura adimensionale, è semplicemente un numero reale, invece la misura sessagesimale non è un semplice numero, ma è un numero accompagnato da una grandezza), le equazioni hanno senso. Assodato che hanno senso, si pone il problema di risolverle: a questo punto, essendo il codominio del coseno l'intervallo $[-1;1]$ ed essendo $pi/2, 3pi/2 notin [-1;1]$, è chiaro ed evidente che soluzioni non ce ne sono.
Allo stesso modo si procede per l'altra.
"cntrone":
per quanto riguarda la mia richiesta di chiarimento vorrei una conferma..da quello che ho capito..ad esempio in questa equazione:
$sen5x-sen3x=senx$
ho come risultato $4x=pi/3 + 2kpi$ che potrò scrivere $x=pi/12+kpi/2$..giusto?? come ho notato che quando si risolve con la tangente si usa sempre 180°..
Più che potere scriverla in quel modo, io direi che dovresti scriverla in quel modo: la soluzione non è $4x$, ma $x$.
Quando si risolve qualche cosa usando la funzione goniometrica tangente, bisogna usare $pi$ in luogo del $2pi$ per il semplice fatto che la periodicià della tangente è la metà di quella delle funzioni seno e coseno, i.e. il periodo della tangente è $T=pi$.
(*) Quando si parla di "soluzioni nel primo giro" si intende nei primi $360°$ gradi o nei primi $2pi$ radianti.
perfetto..ho risolto facilmente l'altra..non vorrei approfittare ma ho un altro dubbio..nell'esercizio:
$\{(sqrt(sen^2(x))>senx),(sqrt(cos^2(x))>cosx):}$
il risultato dovrebbe essere un insieme vuoto..perchè in entrambe le disequazioni i due termni si eguagliano..sbaglio?? perchè se ho ragione non avrebbe molto senso l'esercizio..grazie ancora..ciao
$\{(sqrt(sen^2(x))>senx),(sqrt(cos^2(x))>cosx):}$
il risultato dovrebbe essere un insieme vuoto..perchè in entrambe le disequazioni i due termni si eguagliano..sbaglio?? perchè se ho ragione non avrebbe molto senso l'esercizio..grazie ancora..ciao
esatto..però stai attento al segno. Nel primo $sqrt(sen^2x)>senx$ devi porre il seno maggiore di zero,poi puoi elevare e vedere che si equagliano. Poi poni il seno minore di zero,elevi cambiando segno e trovi sempre un insieme vuoto. Lo stesso per il secondo.
"cntrone":
perfetto..ho risolto facilmente l'altra..non vorrei approfittare ma ho un altro dubbio..nell'esercizio:
$\{(sqrt(sen^2(x))>senx),(sqrt(cos^2(x))>cosx):}$
il risultato dovrebbe essere un insieme vuoto..perchè in entrambe le disequazioni i due termni si eguagliano..sbaglio?? perchè se ho ragione non avrebbe molto senso l'esercizio..grazie ancora..ciao
Beh, diciamo che, forse, l'esercizio è teso a mettere in luce una cosa differente dalla mera uguaglianza tra LHS e RHS.
Effettivamente il motivo per il quale l'insieme delle soluzioni è vuoto è che LHS=RHS, ma detto così, non mi pare giusto.
Mi spiego: $sqrt(sin^2 x)=|sinx|$, quindi la disequazione $sqrt(sin^2 x)>sinx$ diventa $|sinx|>sinx$ e questa non porta necessariamente all'uguaglianza: basta prendere $x=3pi/2$ ed ottenere $|sin 3pi/2|=1> -1=sin 3pi/2$. Se però noti che, perché abbia senso porre la precedente disequazione, deve essere $sinx>=0$, dacché si chiede che un radicale di indice pari sia maggiore di questa quantita e un radicale siffatto sta in $RR_0 ^+$, allora la disequazione col modulo è effettivamente impossibile, dacché, con questa osservazione, risulta $|sinx|=sinx>sinx$, il che è impossibile.
Ora, già il fatto che la prima delle due disequazioni del sistema non abbia soluzioni comporta che l'insieme delle soluzioni del sistema stesso è vuoto.
Ragionando anche sulla seconda, si trova che anche per questa vale quanto detto per la prima.
Inoltre, ragionando anche sulla seconda, si nota che le eventuali soluzioni andrebbero ricercate nel primo quadrante.
"kekko89":
esatto..però stai attento al segno. Nel primo $sqrt(sen^2x)>senx$ devi porre il seno maggiore di zero,poi puoi elevare e vedere che si equagliano. Poi poni il seno minore di zero,elevi cambiando segno e trovi sempre un insieme vuoto. Lo stesso per il secondo.
scusa ma non ho capito bene..potresti rispiegarmelo?? perchè devo fare questo procedimentO?? non si può semplicemente elevare al quadrato??(premetto che questi argomenti non li ho studiati quindi potrei non conoscere anche cose banali)..grazie..ciao
Data una disequazione del tipo $sqrt(f(x))>g(x)$, questa si passa nella forma ${(f(x)>g^2 (x)),(f(x)>=0),(g(x)>=0):}$, dove $f(x)>=0$ si impone per l'esistenza del radicale e $g(x)>=0$ per dare senso alla richiesta della disuguaglianza (se fosse $g(x)<0$, che senso avrebbe chiedersi "quando una quantità che risulterà certamente non negativa, è minore di una quantità negativa?").
se hai $sqrt(f(x)) ${[f(x)=0], [g(x)>0] :}$, mentre nel caso che hai
$sqrt(f(x))>g(x)$, è possibile che si abbia $g(x)<0$, in tal caso la disequazione è verificata per ogni x tale che $f(x)>=0$.
in tal caso la disequazione si trasforma nell'unione di due sistemi:
${[f(x)>g^2(x)], [g(x)>=0] :} vv {[f(x)>=0], [g(x)<0] :}$
ciao.
$sqrt(f(x))>g(x)$, è possibile che si abbia $g(x)<0$, in tal caso la disequazione è verificata per ogni x tale che $f(x)>=0$.
in tal caso la disequazione si trasforma nell'unione di due sistemi:
${[f(x)>g^2(x)], [g(x)>=0] :} vv {[f(x)>=0], [g(x)<0] :}$
ciao.
Chiedo scusa a cntrone se gli ho confuso un poco le idee conle mie risposte. Mi sono incasinato coi segni delle disequazioni.
ho risolto questo quesito e volevo conferma per il risultato
"si descriva il luogo geometrico dei centri della circonferenze di equazioni $(x-cos alpha)^2+(y-sen alpha)^2=1 , 0<=alpha<2pi$
Si riconosca che tali circonferenze passano tutte per uno stesso punto;quale??"
allora il luogo dei centri è ovviamente $C(cos alpha, sen alpha)$
il punto per le quali passano è l'origine..avendo come raggio uno..e ciò è anche dimostrato dal fatto che il termine noto si annulla sempre..
$cos^2 alpha+sen^2 alpha=1$ (prima relazione fondamentale)
ciao
"si descriva il luogo geometrico dei centri della circonferenze di equazioni $(x-cos alpha)^2+(y-sen alpha)^2=1 , 0<=alpha<2pi$
Si riconosca che tali circonferenze passano tutte per uno stesso punto;quale??"
allora il luogo dei centri è ovviamente $C(cos alpha, sen alpha)$
il punto per le quali passano è l'origine..avendo come raggio uno..e ciò è anche dimostrato dal fatto che il termine noto si annulla sempre..
$cos^2 alpha+sen^2 alpha=1$ (prima relazione fondamentale)
ciao
"cntrone":
perfetto..ho risolto facilmente l'altra..non vorrei approfittare ma ho un altro dubbio..nell'esercizio:
$\{(sqrt(sen^2(x))>senx),(sqrt(cos^2(x))>cosx):}$
il risultato dovrebbe essere un insieme vuoto..perchè in entrambe le disequazioni i due termni si eguagliano..sbaglio?? perchè se ho ragione non avrebbe molto senso l'esercizio..grazie ancora..ciao
Ma tutti gli angoli del terzo quadrante non sono soluzioni del sistema? Ad esempio, se prendi $x=7/6pi$, ottieni:
$sin(7/6pi) = -1/2$
$cos (7/6pi) = -sqrt(3)/2$
da cui sostituendo
$sqrt((-1/2)^2)=1/2 > -1/2$
$sqrt((-sqrt(3)/2)^2) = sqrt(3)/2 > -sqrt(3)/2$
"cntrone":
allora il luogo dei centri è ovviamente $C(cos alpha, sen alpha)$
Io espliciterei meglio questo punto. Per il resto mi sembra perfetto
"qqwert":
[quote="cntrone"]perfetto..ho risolto facilmente l'altra..non vorrei approfittare ma ho un altro dubbio..nell'esercizio:
$\{(sqrt(sen^2(x))>senx),(sqrt(cos^2(x))>cosx):}$
il risultato dovrebbe essere un insieme vuoto..perchè in entrambe le disequazioni i due termni si eguagliano..sbaglio?? perchè se ho ragione non avrebbe molto senso l'esercizio..grazie ancora..ciao
Ma tutti gli angoli del terzo quadrante non sono soluzioni del sistema? Ad esempio, se prendi $x=7/6pi$, ottieni:
$sin(7/6pi) = -1/2$
$cos (7/6pi) = -sqrt(3)/2$
da cui sostituendo
$sqrt((-1/2)^2)=1/2 > -1/2$
$sqrt((-sqrt(3)/2)^2) = sqrt(3)/2 > -sqrt(3)/2$[/quote]
Sì, abbiamo fatto confusione. L'errore è mio nella risposta che ho dato a cntrone.
"qqwert":
[quote="cntrone"]perfetto..ho risolto facilmente l'altra..non vorrei approfittare ma ho un altro dubbio..nell'esercizio:
$\{(sqrt(sen^2(x))>senx),(sqrt(cos^2(x))>cosx):}$
il risultato dovrebbe essere un insieme vuoto..perchè in entrambe le disequazioni i due termni si eguagliano..sbaglio?? perchè se ho ragione non avrebbe molto senso l'esercizio..grazie ancora..ciao
Ma tutti gli angoli del terzo quadrante non sono soluzioni del sistema? Ad esempio, se prendi $x=7/6pi$, ottieni:
$sin(7/6pi) = -1/2$
$cos (7/6pi) = -sqrt(3)/2$
da cui sostituendo
$sqrt((-1/2)^2)=1/2 > -1/2$
$sqrt((-sqrt(3)/2)^2) = sqrt(3)/2 > -sqrt(3)/2$[/quote]
non saprei risponderti e aspetto incuriosito la risposta di qualcuno che ne sappia più di me..
intanto mi opermetto di chiedervi un'altra cosa..stavo risolvendo questo quesito
"servendosi della interpretazione geometrica si riconosca che il sistema
$\{(x^2+y^2=1),(y=m(x+2)):}$"
ha soluzioni per $-sqrt(3)/3<=m<=sqrt(3)/3$
intuitivamente sono convinto che bisogna ragionare sulla tangente attraverso le formule goniometriche..allora so per certo che le rette tangenti alla circonferenza passano per il $P(2,0)$ ma non riesco a proseguire..mi date una mano?? grazie..
perché nel terzo quadrante seno e coseno sono negativi, e quindi necessariamente minori della radice quadrata dei loro quadrati...
vedi intervento precedente... ciao.
vedi intervento precedente... ciao.
"cntrone":
"servendosi della interpretazione geometrica si riconosca che il sistema
$\{(x^2+y^2=1),(y=m(x+2)):}$"
ha soluzioni per $-sqrt(3)/3<=m<=sqrt(3)/3$
intuitivamente sono convinto che bisogna ragionare sulla tangente attraverso le formule goniometriche..allora so per certo che le rette tangenti alla circonferenza passano per il $P(2,0)$ ma non riesco a proseguire..mi date una mano?? grazie..
Non ho capito bene la tua affermazione riguardo le rette tangenti se devo essere sincero...
In ogni caso provo a darti qualche "hint" facendo però risolvere il problema a te.
Se consideri un riferimento cartesiano quelle due equazioni rappresentano ben noti luoghi geometrici. Il primo non ha nulla di misterioso. Il secondo invece è legato a un parametro: fissato il valore di m ottieni una retta. Cosa accomuna tutte le rette che puoi ottenere? Partendo da questo, ricordando il significato geometrico di quella m e facendo qualche piccolo calcolo ottieni il risultato...
spero di essere stato comprensibile
il punto esterno è $P(-2, 0)$. la tangente alla circonferenza (con m>0) passante per P tocca la circonferenza stessa in un punto T tale che PT è un cateto del triangolo rettangolo POT con ipotenusa=PO=2 e l'altro cateto=raggio(OT)=1. quindi POT è la metà di un triangolo equilatero e l'angolo che la tangente PT forma con l'asse x è 30°. dunque il suo coefficiente angolare è $tg(pi/6)=sqrt(3)/3$. analogamente l'altra tangente ha coefficiente angolare $-sqrt(3)/3$ ed il sistema ammette soluzioni reali se m è compreso tra questi due valori. ciao.
"adaBTTLS":
il punto esterno è $P(-2, 0)$. la tangente alla circonferenza (con m>0) passante per P tocca la circonferenza stessa in un punto T tale che PT è un cateto del triangolo rettangolo POT con ipotenusa=PO=2 e l'altro cateto=raggio(OT)=1. quindi POT è la metà di un triangolo equilatero e l'angolo che la tangente PT forma con l'asse x è 30°. dunque il suo coefficiente angolare è $tg(pi/6)=sqrt(3)/3$. analogamente l'altra tangente ha coefficiente angolare $-sqrt(3)/3$ ed il sistema ammette soluzioni reali se m è compreso tra questi due valori. ciao.
si per $P$ è stato un errore da testiera..allora il tuo discorso è chiaro..non ho capito una cosa..come fai a dire che l'angolo è di 30°?? è quello che non riesco a capire..ho pensato al fatto che il triangolo POT fosse la metà di uno equilatero, ma non mi trovo comunque..grazie..
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