Studio di funzioni 1

[myriam.92]

$y= - e^x/(x-2)$
Problema: giunta al calcolo dei limiti risulta esserci solo asintoto obliquo ( e ciò esclude la presenza di quello orizzontale visto che il numeratore è di grado superiore al denominatore, almeno così ho capito); solo che nella verifica grafica mi sono accorta che l asintoto pare sia orizzontale.... Sbaglio?

Poi ho calcolato la derivata prima: $(-e^x*(x-2)-e^x)/(x-2)^2$ e pare si annulli in un punto di coordinate $(1;e)$ che graficamente non vedo nemmeno why?

Grazie in anticipo

[axpgn]

Premesso che l'asintoto obliquo non c'è (almeno per me), i "posti" dove cercare asintoti orizzontali o obliqui sono due: a $-infty$ e a $+infty$, se li cerchi da un lato solo è difficile che tu veda l'altro ...

La derivata è corretta (anche se io l'avrei scritta così $((3-x)*e^x)/(2-x)^2$) che si annulla nel punto $x=3$

Il fatto che tu non lo veda, purtroppo dipende dal fatto che le rappresentazione dei grafici (non i grafici stessi) fatte da qualsiasi sw sono limitate ... per poter vedere la funzione "oltre $x=2$" devi rimpicciolire il grafico un bel po' ... (quel punto si trova più o meno a $y=-20$ ed è un max ...)

[myriam.92]

Io pensavo ci fosse asintoto obliquo nel limite di $+oo$ che fa $-oo$ perché nn lo è allora?

La derivata come può avere al numeratore $3-x$?
Ecco, non solo sbaglio tutto, nemmeno i programmi mi vengono incontro

[axpgn]

Prima dimmi con che metodo determini l'esistenza di un asintoto obliquo ...

La derivata l'ho calcolata così ...

Ho riscritto la funzione $f(x)=-e^x/(x-2)=e^x/(2-x)$ da cui ...

$f'(x)=(e^x*(2-x)-e^x*(-1))/(2-x)^2=(e^x(2-x)+e^x)/(2-x)^2=(e^x*(2-x+1))/(2-x)^2=(e^x*(3-x))/(2-x)^2$

[myriam.92]

Sorry non ricordavo che se il coefficiente angolare risulta infinito l asintoto obliquo non c'è...

Cmq ho notato che tra gli studi che ho sul quaderno, il prof nn ci ha mai fatto calcolare le derivate , lo sto facendo io per pura esercitazione. In questo caso per esempio non ci sono . Tu ritieni che in effetti siano indispensabili? Mi sembrano troppo ingarbugliate (già a pensare la derivata seconda mi metto le mani nei capelli ) tu che dici?

[axpgn]

"Myriam92":Tu ritieni che in effetti siano indispensabili?

Direi ...

In uno studio di funzione son tanti gli elementi che si possono investigare (ne ho fatto un elenco in uno dei tanti post precedenti) e se vuoi (o devi) fare uno studio completo devi passarli tutti ... e sicuramente le derivate non sono all'ultimo posto ...

[myriam.92]

Secondo me il prof nn le.faceva svolgere perché avendo 90 minuti è impossibile completare lo studio con altre 9 domande che ci sono. Magari lui si regola secondo me in base alle opzioni di risposta presenti....

Perché nello studiare la derivata prima.risulta il numeratore $x>3$ quindi a sx decrescente a dx crescente!?! T.T

Ho svolto la derivata seconda ma nn so se posso raccogliere effettivamente, forse è sbagliato pero da principio perché occorrerebbe svolgere la derivata del prodotto al numeratore ( e viene ancora più lunga!!!)
Tra gli ultimi passaggi qst ti risulta esserci?

$( e^x(2-x)^2+(-2x^2+10x-12)-e^x)/(2-x)^4$

[axpgn]

"Myriam92":Perché nello studiare la derivata prima.risulta il numeratore $x>3$ quindi a sx decrescente a dx crescente!?! T.T

A me pare il contrario ...

Per quanto riguarda la derivata seconda, un modo alternativo per calcolarla è questo ...

La derivata prima è $F(x)=(e^x*(3-x))/(2-x)^2 $

Invece di usare la regola di derivazione del quoziente, utilizzo quella del prodotto dato che abbiamo
$F(x)=f(x)*g(x)*h(x)=e^x*[3-x]*[1/(2-x)^2]$

Dalla regola di derivazione del prodotto (di due funzioni) si ricava velocemente quella con tre fattori:

$F'(x)=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$ da cui

$f(x)=e^x\ ->\ f'(x)=e^x$

$g(x)=3-x\ ->\ g'(x)=\ -1$

$h(x)=1/(2-x)^2=(2-x)^(-2)\ ->\ h'(x)=\ -2(2-x)^(-3)*(-1)=2/(2-x)^3$

Rimettiamo insieme il tutto ...

$F'(x)=[e^x*(3-x)*1/(2-x)^2]+[e^x*(-1)*1/(2-x)^2]+[e^x*(3-x)*2/(2-x)^3]$

Aggiustiamo un attimo ...

$F'(x)=([e^x*(3-x)(2-x)]-[e^x(2-x)]+[2e^x(3-x)])/(2-x)^3$

$F'(x)=(e^x[6-5x+x^2-2+x+6-2x])/(2-x)^3$

$F'(x)=(e^x[x^2-6x+10])/(2-x)^3$

Il numeratore è sempre positivo quindi la derivata seconda è positiva per $x<2$ e negativa per $x>2$, mai nulla quindi niente flessi ...

[myriam.92]

Hai ragione è un modo equivalente ma pur.sempre lungo... Mi potresti dire nel primo passaggio dove hai " aggiustato " , come fai ad ottenere quei $[2-x]$ al numeratore?

Quindi il flesso non c'è perché la.derivata seconda nn possiamo annullarla visto che a causa dell esponenziale non è possibile, ok. Ma sbaglio, o non possiamo.nemmeno dire.che la concavità a sx di 2 è verso l'alto e a dx verso il basso? Perché io non la sto vedendo la corrispondenza sul grafico ...( Lo so che è un valore dela derivata e non della funzione, ma negli esercizi prima riuscivo ad avere sempre riscontro grafico in tale caso)

[axpgn]

"Myriam92":... come fai ad ottenere quei $[2-x]$ al numeratore? ...

Dal m.c.m. dei denominatori ... come in qualsiasi somma di frazioni ...

"Myriam92":... Ma sbaglio, o non possiamo.nemmeno dire.che la concavità a sx di 2 è verso l'alto e a dx verso il basso?

Ma se te l'ho appena dimostrato?

Comunque ...

Le vedi le due concavità? (a sx e a dx di $x=2$ ...)

Non mi pare un metodo troppo lungo, comunque il vantaggio è in un maggior ordine, una maggiore "pulizia", meno confusione ... calcoli le derivate una alla volta, più semplicemente, poi le rimetti insieme ordinatamente e poi semplifichi (in teoria neppure necessario ma in pratica sì ...) ... e solo un tecnica in più ...

[ot]Ho scaricato Easy Resizer (su Android) e mi funziona regolarmente ...[/ot]

[myriam.92]

Si, ma dopo il mcm della somma dei tre fattori, come fai il raccoglimento che ti consente quella semplificazione? Io mi perderei sicuro al 99,9% perché nn ho dimestichezza coi calcoli e sbagliare anche un solo segno è semplicissimo..

L'altra volta dicevi che la concavità verso l'alto non implica che la funzione sia strettamente crescente ( e in qst caso lo è visto che $f(x_1)

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[axpgn]

"Myriam92":Si, ma dopo il mcm della somma dei tre fattori, come fai il raccoglimento che ti consente quella semplificazione?

Pongo per comodità $a=2-x$ allora i denominatori delle tre frazioni sono $a^2, a^2, a^3$ che danno come m.c.m. $a^3$, perciò i tre numeratori saranno moltiplicati rispettivamente per $a, a, 1$, ok?

"Myriam92":Io mi perderei sicuro al 99,9% perché nn ho dimestichezza coi calcoli ...

Eh, capisco ma in Matematica i calcoli capita di farli ... (e pure in Economia mi dicono ... ) ... ti direi di esercitarti anche in quello (ma non credo ci sia tempo ...)

"Myriam92":L'altra volta dicevi che la concavità verso l'alto non implica che la funzione sia strettamente crescente ( e in qst caso lo è visto che $ f(x_1)) per cui pensavo di sbagliare, allora avevo capito male io?

Il fatto che non lo implichi non significa che non lo sia ... può essere strettamente crescente come no ... e in questa funzione lo vedi bene ... per $x<2$ hai concavità verso l'alto e funzione strettamente crescente, per $x>2$ hai concavità verso il basso e funzione che prima cresce poi si ferma e poi decresce quindi né crescente né decrescente ...

[myriam.92]

Capito, grazie!

Comunque Sì, ma esistono calcoli e calcoli. Questi non hanno nulla a che vedere per esempio con quelli di ragioneria e statistica, che in confronto li ho sempre definiti °tanto carini e coccolosi ° . Assolutamente un altro mondo rispetto alla matematica "pura"...

Cmq tirando le somme di sto studio di funzione mi sto rendendo conto che avrei fatto solo danni:
Il punto di max (3) pensavo fosse assoluto ma dalle opzioni di risposta che sto vedendo direi proprio di no
Nel limite di x che tende a 2 da dx, graficamente ma anche dalle risposte, nn sembra ci sia un secondo asintoto verticale. Ma risultando il limite $-oo$ io avrei detto di siiiii

[axpgn]

I limiti in $x=2$ sono diversi da sx ($+infty$) e da dx ($-infty$) ma l'asintoto verticale è uno solo, $x=2$ per l'appunto ...

[myriam.92]

Come avrei dovuto capire che l asintoto era solo da sinistra? Tramite lo studio di funzione della derivata prima e seconda?

La curva concava verso il basso non ha un punto di max assoluto?

[axpgn]

L'asintoto verticale è uno solo, non è di sx o di dx ... l'asintoto è una retta (in questo caso verticale $x=2$) alla quale si avvicina indefinitamente la funzione senza mai toccarla (in questo caso la funzione si avvicina all'asintoto da entrambi i lati ma in versi opposti).

La parte di curva a dx di $x=2$ ha la concavità verso il basso ed ha un massimo relativo (non è assoluto perché l'altra parte di curva a sx di $x=2$ va a $+infty$).

[myriam.92]

Perfetto grazie.
La curva a dx di 2 invece è non invertibile perché nn iniettiva, lo possiamo dire?

$y=x^2logx^2$ questa funzione se derivata più mcm viene $(2x^3logx^2+2x^3)/x^2 $poi ho raccolto $2x^2$ e resta $2(xlogx^2+x)$
Ma dove si annulla!?Ho portato $x$ ad esponente dell'argomento del log( nn so se mi conviene) quindi
$-x=e^x$

Grazie mille

[axpgn]

"Myriam92":La curva a dx di 2 invece è non invertibile perché nn iniettiva, lo possiamo dire?

Sì.

Per quest'altra $ y=x^2logx^2 $ la derivata è corretta (ma l'hai fatta più lunga di quel che era necessario) ed è meglio scriverla così $2x(log(x^2)+1)$, in tal modo è evidente che si annulla per $2x=0$ e $2log|x|+1=0$; i punti in cui si annulla sono $x=0$ e $x=\ +-1/sqrt(e)$ ... essendo una curva pari puoi studiarla solo per $x>=0$ e poi ribaltare i risultati sull'altra parte ...

[myriam.92]

Giusto! Grazie x la dritta
Invece la derivata seconda $(2logx^2+2+4x^2)/x^2$ posso raccogliere solo 2... E poi nn saprei dove si annulla...( Penso in zero si annulli, ma mi tocca dimostrarlo almeno formalmente:)) scherzavo c'è il termine notoò. Forse non è mai verificata?
Vabbè che non ha flessi perché è una parobola..No?

Che è limita inferiormente lo deduco dal limite di x tendente a zero che è zero?

F ristretta a $ (0;1/sqrte^3) $ è convessa non concava , no?

[myriam.92]

Studio segno: derivata seconda sempre positiva ergo convessa !
Il resto sopra l'ho scritto giusto?

[axpgn]

Calma ...

La derivata seconda è $2log(x^2)+6$ è NON è sempre positiva ...

$2log(x^2)+6>0\ ->\ 4log(x)>\ -6\ ->\ log(x)=-3/2\ ->\ x>1/sqrt(e^3)$

quindi tra zero e quel valore è negativa (concavità verso il basso), in quel punto è nulla, per valori maggiori di quello è positiva (concavità verso l'alto) ... e c'eri pure arrivata ...