Studio di funzioni 1
$y= - e^x/(x-2)$
Problema: giunta al calcolo dei limiti risulta esserci solo asintoto obliquo ( e ciò esclude la presenza di quello orizzontale visto che il numeratore è di grado superiore al denominatore, almeno così ho capito); solo che nella verifica grafica mi sono accorta che l asintoto pare sia orizzontale.... Sbaglio?
Poi ho calcolato la derivata prima: $(-e^x*(x-2)-e^x)/(x-2)^2$ e pare si annulli in un punto di coordinate $(1;e)$ che graficamente non vedo nemmeno
why?
Grazie in anticipo
Problema: giunta al calcolo dei limiti risulta esserci solo asintoto obliquo ( e ciò esclude la presenza di quello orizzontale visto che il numeratore è di grado superiore al denominatore, almeno così ho capito); solo che nella verifica grafica mi sono accorta che l asintoto pare sia orizzontale.... Sbaglio?
Poi ho calcolato la derivata prima: $(-e^x*(x-2)-e^x)/(x-2)^2$ e pare si annulli in un punto di coordinate $(1;e)$ che graficamente non vedo nemmeno
why?Grazie in anticipo
Risposte
"Myriam92":
... Non capisco per tutti quei passaggi sotto $h'$ ...
Perché ho fatto un gran casino ...
... ho derivato la funzione che serviva per calcolare l'asintoto invece di quella originaria ...Quella giusta è questa $y'=1/(1+1/e^x)*e^(-x)*(-1)=-1/e^x*1/((e^x+1)/e^x)=-1/e^x*e^x/(e^x+1)=-1/(e^x+1)$
L'avevo calcolata e scritta, ho revisionato il post ed ho visto quella $x$ al denominatore e pensando di averla dimenticata, ho rifatto la derivata al volo, ho postato il tutto, chiuso il pc e via ... che ero già in ritardo ... mi sono accorto subito della svista ma ormai ero già lontano ... e vabbè ...
Il limite per il calcolo dell'asintoto l'ho manipolato per rendere più "evidente" la risoluzione ma non era necessario ... mentre mi sembra chiaro che se $x->+infty$ allora $e^x+1~e^x$ ... no?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
... il Limite per il calcolo dell'asintoto l'ho manipolato per rendere più "evidente" la risoluzione ma non era necessario ... mentre mi sembra chiaro che se $ x->+infty $ allora $ e^x+1~e^x $ ... no?
Cordialmente, Alex
No problem
Noooo un attimo non manipolare nulla per ora perché mi perdo sennò..... mi spiegheresti senza manipolazione che dovrei fare!?
Da dove è uscito il valore che mi hai scritto all'ultimo rigo!? Aaaah mi sa che quel simbolo doveva essere.la frazione.... A più infinito abbiamo un asintoto orizzontale
"Myriam92":
Aaaah mi sa che quel simbolo doveva essere.la frazione.... A più infinito abbiamo un asintoto orizzontale
Quel simbolo è la tilde che si usa generalmente per "asintotico" (o quando si vuole dire "equivalenza approssimata" ...)
Se $x$ tende a più infinito allora $e^x+1$ e $e^x$ sono praticamente equivalenti (quel $1$ sparisce ...)
Quella sostituzione secondo me rende più facile il calcolo cmq se $x->-infty$ allora $e^x->0$ e di conseguenza $1/e^x->+infty$
Si fino ai limiti ci sono arrivata... Ma in quello che risulta $-oo$ io so che devo verificare il valore di m ( coefficiente angolare ) che io lo trovo come :
$ lim_(x -> +oo) f(x)/x$ che viene $0/oo=0$
e q ( termine noto):
$lim_(x -> +oo) f(x)-mx=0$
Cosa nn va?
$ lim_(x -> +oo) f(x)/x$ che viene $0/oo=0$
e q ( termine noto):
$lim_(x -> +oo) f(x)-mx=0$
Cosa nn va?
Mostra i calcoli ...
$ m= log(1+0)/(x)=0/(+oo)=0 $
......
......
Ma questo è l'asintoto per $x->+infty$ e va bene, si parlava dell'altro, quello per $x->-infty$ ...
ma il mio problema è verificare l'esistenza dell'asintoto obliquo, che per il calcolo che ho fatto nemmeno dovrebbe esistere! ma...aspetta risula zero pure!...come puo' essere?? il grafico da quel lato dice l'app che va a $+oo$.... 
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A sx c'è l'asintoto obliquo, non a destra!
A destra (cioè per $x->+infty$) c'è un asintoto orizzontale che vale $y=0$ (come hai giustamente calcolato)
A sinistra (cioè per $x->-infty$) c'è un asintoto obliquo con $m=-1$ come ho dimostrato qui:
Ok?
A destra (cioè per $x->+infty$) c'è un asintoto orizzontale che vale $y=0$ (come hai giustamente calcolato)
A sinistra (cioè per $x->-infty$) c'è un asintoto obliquo con $m=-1$ come ho dimostrato qui:
"axpgn":
Il limite per l'asintoto obliquo verso $ -infty $ non è così banale ...
$ lim_(x->-infty) ln(1+1/e^x)/x $ ... sostituisco $ t=-x $, quindi $ lim_(t->+infty) -ln(1+1/e^(-t))/t=lim_(t->+infty) -ln(1+e^t)/t $
che è asintotico a $ lim_(t->+infty) -ln(e^t)/t $ da cui $ lim_(t->+infty) -(t*lne)/t=-lne=-1 $
Ok?
"Myriam92":
$ lim_(x -> +oo) f(x)/x $ che viene $ 0/oo=0 $
io non capisco perchè se faccio sta stessa cosa tua per trovare m, con limite a $+oo$ come io penso di sapere che si faccia (e tu non mi hai corretto)...risulta zero!...se devo per forza farlo così lo faccio, ma se lo facessimo come ho fatto che problema ci sarebbe? Perche cambia?
La funzione va a zero verso $+infty$ cioè $lim_(x->+infty) f(x)=lim_(x->+infty) ln(1+1/e^x)=0$ ; ne deduciamo che verso $+infty$ la funzione ha un asintoto orizzontale.
Di conseguenza è inutile cercare un asintoto obliquo da quel lato perché non esisterà ma se lo volessimo calcolare otterremo che $lim_(x->+infty) f(x)/x=lim_(x->+infty) ln(1+1/e^x)/x=0$ che coincide con quanto già visto ...
Adesso facciamo la stessa cosa dall'altro lato ...
La funzione va a $+infty$ verso $-infty$ cioè $lim_(x->-infty) f(x)=lim_(x->-infty) ln(1+1/e^x)=+infty$ ; ne deduciamo che verso $-infty$ la funzione potrebbe avere un asintoto obliquo.
Proviamo a calcolarlo ...
$lim_(x->-infty) f(x)/x=lim_(x->-infty) ln(1+1/e^x)/x=lim_(x->-infty) ln(1+e^(-x))/x=lim_(x->-infty) ln(e^(-x))/x=lim_(x->-infty) ln(e^(-x))/x=lim_(x->-infty) (-xln(e))/x=-lne=-1$
Ne deduciamo che esiste un asintoto obliquo con coefficiente angolare $m= -1$.
Ok?
Di conseguenza è inutile cercare un asintoto obliquo da quel lato perché non esisterà ma se lo volessimo calcolare otterremo che $lim_(x->+infty) f(x)/x=lim_(x->+infty) ln(1+1/e^x)/x=0$ che coincide con quanto già visto ...
Adesso facciamo la stessa cosa dall'altro lato ...
La funzione va a $+infty$ verso $-infty$ cioè $lim_(x->-infty) f(x)=lim_(x->-infty) ln(1+1/e^x)=+infty$ ; ne deduciamo che verso $-infty$ la funzione potrebbe avere un asintoto obliquo.
Proviamo a calcolarlo ...
$lim_(x->-infty) f(x)/x=lim_(x->-infty) ln(1+1/e^x)/x=lim_(x->-infty) ln(1+e^(-x))/x=lim_(x->-infty) ln(e^(-x))/x=lim_(x->-infty) ln(e^(-x))/x=lim_(x->-infty) (-xln(e))/x=-lne=-1$
Ne deduciamo che esiste un asintoto obliquo con coefficiente angolare $m= -1$.
Ok?
Adesso mi è chiaro il motivo per cui la formula che pensavo fosse con $x->+oo$ dipende invece dal limite in cui potremmo avere l asintoto obliquo, e nello specifico dalla $x$ , in base se si dirige a $+ oo o -oo$ .
Ti ringrazio ancora, sempre gentilissimo
Ti ringrazio ancora, sempre gentilissimo
Riepilogando.....
se$ m!=-+oo$ è una condizione sufficiente affinché ci sia l asintoto obliquo? (Mentre se valesse zero ovviamente no perché non è obliquo..)
Nn dobbiamo trovare anche q? Deve rientrare anche quest'ultimo in certi valori?
se$ m!=-+oo$ è una condizione sufficiente affinché ci sia l asintoto obliquo? (Mentre se valesse zero ovviamente no perché non è obliquo..)
Nn dobbiamo trovare anche q? Deve rientrare anche quest'ultimo in certi valori?
Diciamo meglio ... se $lim_(x->+infty) f(x)/x = m_1$ o $lim_(x->-infty) f(x)/x = m_2$ dove $m_1, m_2$ sono numeri "finiti" diversi da zero allora avremo uno (o due) asintoti obliqui ... nel caso esistano per determinare la retta esatta devi calcolare anche $q$ (perché l'asintoto è una retta ... a cui la funzione si avvicina senza mai raggiungerla ...)
EDIT: avevo dimenticato la $x$ ...
... oggi non è giornata ...
EDIT: avevo dimenticato la $x$ ...
... oggi non è giornata ...
Quindi devo accertarmi che pure n rispetti le condizioni, se così nn fosse nn avremmo lasintoto obliquo!
Cioè?
Ho corretto il post precedente ...
Ho corretto il post precedente ...
No in genere non è richiesto il calcolo dell' asintoto obliquo basta sapere se c'è . Infatti mi chiedevo se per la sua esistenza fosse anche necessario verificare se q risulti finito e diverso da zero.
Non ti preoccupare, mi rincuora, non sono solo io a sbagliare, anche se in continuazione :p
Non ti preoccupare, mi rincuora, non sono solo io a sbagliare, anche se in continuazione :p
"Myriam92":
... Infatti mi chiedevo se per la sua esistenza fosse anche necessario verificare se q risulti finito e diverso da zero.
Se esiste $m$ finito e diverso da zero (cioè esiste finito e diverso da zero almeno uno dei due limiti di cui sopra) l'asintoto obliquo c'è ...
Ok chiaro!
Proseguo e Vediamo se ne posso uscire...
La tua derivata prima non si annulla mai ed essendo negativa cala sempre;
La derivata seconda nemmeno si annulla; poiché sempre.positiva sarài convessa.
Va bene ?
Risposta finale vera: non ha flessi.
Proseguo e Vediamo se ne posso uscire...
La tua derivata prima non si annulla mai ed essendo negativa cala sempre;
La derivata seconda nemmeno si annulla; poiché sempre.positiva sarài convessa.
Va bene ?
Risposta finale vera: non ha flessi.
Ok.
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