Studio di funzione 2
buongiorno a tutti, oggi studio un'altra funzione. E' $ y=(x+e)/(1+logx) $. inizio dal dominio, devo porre $ x>0 $ e il denominatore $ (1+logx) != 0$ allora ottengo $ x!=1/e $, quindi mi sono accorta che la funzione è definita in $ (0,1/e) U (1/e,+oo) $. ora calcolo l'intersezione con l'asse y però mi viene $ y=e/(1+log0) $ e come si risolve?
Risposte
mi hai detto "Solo a + infinito perchè la tua funzione è definita per valori di x positivi" e ho capito, ma perchè a +infinito e non a 0 per esempio. a me esce $ (-oo)/(1+log(-oo)) $ e come si risolve?
???
stai facendo il limite a $-oo$ così.
il $lim_(x->0^+) (x+e)/(1+log(x))=e/-oo=0$
stai facendo il limite a $-oo$ così.
il $lim_(x->0^+) (x+e)/(1+log(x))=e/-oo=0$
sì ok, ora xò dovrei risolvere $ lim_(x -> -oo) f(x) $ , e la mia domanda è: se a $ -oo $ la funzione non è definita, il limite lo devo fare lo stesso?
no, i limiti li devi fare agli estremi di definizione, sempre, quindi nel tuo caso devi fare solo limite a $0$, $1/e$, $+oo$
allora faccio $ lim_(x -> +oo) f(x) =(+oo+e)/(1+log(+oo))=?$ per favore spiegami lentamente tutte le operazioni che fai
si tratta di un confronto tra infinitesimi: $lim_(x->+oo) (x+e)/(1+log(x))$ è circa uguale a $lim_(x->+oo) x/log(x)=+oo$ perchè la funzione $y=x$ va all'infinito più velocemente di $y=log(x)$
ps: è il reciproco di un limite notevole, dacci un'occhiata per convincitene
ps: è il reciproco di un limite notevole, dacci un'occhiata per convincitene
non capisco come hai risolto, puoi spiegarmi lentamente passaggio per passaggio?
i passaggi sono quelli, praticamente quando fai limite all'infinito, "puoi" togliere i numeri e lasciare le incognite (ho tolto la $e$ ed $1$) perchè non influenzano il risultato (infatti $+oo+-e=+oo$) a quel punto si tratta del reciproco di un limite notevole (guarda su wikipedia, c'è scritto tutto alla voce "limiti notevoli")
se il limite ad infinito esce infinito, vado a calcolare "m", e quand'è che l'asintoto orizzontale non c'é? Che valore deve assumere m affinchè non esista l'asintoto orizzontale?
"mpulcina":
Che valore deve assumere m affinchè non esista l'asintoto orizzontale?
che vuol dire? se $lim_(x->+-oo)f(x)=+-oo$ allora l'asintoto orizzontale non c'è. Fine.
ho sbagliato, volevo dire asintoto obliquo
ah ecco, comunque la m deve assumere ancora una volta $+-oo$ (esempio banale, $y=x^2$ non ha asintoti obliqui)
come si svolge ora questo limite? $ lim_(x -> +-oo) ((x+e)/(1+logx))/x $ perchè a me esce una forma indeterminata $ oo/oo $
svolgilo così: $lim_(x->+oo) (x+e)/(1+logx)*1/x$
e scusa così fa $ oo*0 $
$lim_(x->+oo) (x+e)/(1+logx)*1/x=lim_(x->+oo) (x+e)/x*1/(1+logx)$
Ora riesci a vedere quanto viene?
Ora riesci a vedere quanto viene?
ah sì ok, non ci sono asintoti obliqui. Ora ho calcolato la derivata prima, nmi viene una cosa un pò lunga ma credo che sia giusta. mi viene $ y'=(x*logx+e*x+e*x*logx-e)/(x+x*log^2x+2*x*logx) $
dopo aver trovato massimi e minimi, mi calcolo la derivata seconda e mi viene $ y^2=(3sen^3x +4sen^2x+12senx+6senx*cos^2x+12cos^2x)/(sen^4x+8sen^3x+24sen^2x+24senx+16) $, è corretta? perchè a me sembra un pò troppo complessa!
è sbagliata anche la derivata prima, e poi seni e coseni come hanno fatto a venirti fuori dai logaritmi?
Ripartiamo da capo: $f(x)=((x+e)/(1+logx))/x$
Puoi anche vederla così: $f(x)=(x+e)/(x(1+logx))=(x+e)/(x+xlogx)$
A questo punto $f'(x)$ sarà semplicemente la derivata di un quoziente
In generale, se $f(x)=g(x)/(h(x))$, allora $f'(x)=(g'(x)h(x)-h'(x)g(x))/(h^2(x))$
Nel nostro caso $g(x)=x+e$, $h(x)=x+xlogx$
Meglio adesso?
Puoi anche vederla così: $f(x)=(x+e)/(x(1+logx))=(x+e)/(x+xlogx)$
A questo punto $f'(x)$ sarà semplicemente la derivata di un quoziente
In generale, se $f(x)=g(x)/(h(x))$, allora $f'(x)=(g'(x)h(x)-h'(x)g(x))/(h^2(x))$
Nel nostro caso $g(x)=x+e$, $h(x)=x+xlogx$
Meglio adesso?
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