Studio di funzione 2

[mpulcina]

buongiorno a tutti, oggi studio un'altra funzione. E' $ y=(x+e)/(1+logx) $. inizio dal dominio, devo porre $ x>0 $ e il denominatore $ (1+logx) != 0$ allora ottengo $ x!=1/e $, quindi mi sono accorta che la funzione è definita in $ (0,1/e) U (1/e,+oo) $. ora calcolo l'intersezione con l'asse y però mi viene $ y=e/(1+log0) $ e come si risolve?

[piero_1]

un punto di discontinuità. Calcola il limite destro e sinistro e vedi che succede.

[mpulcina]

ma l'intersezione con l'asse y come si fa?

[piero_1]

"mpulcina":ora calcolo l'intersezione con l'asse y però mi viene $ y=e/(1+log0) $ e come si risolve?

non ha senso quel calcolo perchè la tua funzione in [tex]x=0[/tex] non è definita, devi calcolarti il limite per x che tende a zero da destra.

[Blackorgasm]

"mpulcina":ma l'intersezione con l'asse y come si fa?

guarda il dominio, in 0 la funzione non è definita, quindi non ha senso farlo.

[mpulcina]

quindi significa che con l'asse y non ha intersezioni?[/chesspos]

[piero_1]

non ha intersezioni, ma il limite
[tex]$\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm x} \to 0^ + } \frac{{x + e}}{{1 + \ln x}} =0 \]$[/tex]

[mpulcina]

e quindi?

[piero_1]

"mpulcina":e quindi?

scusa, ma non capisco quale sia il problema. Hai già studiato i limiti?

[mpulcina]

li ho studiati ma forse ho qualche dubbio se faccio domande!? dal risultato che mi è uscito deduco che x=0 non è un asintoto verticale. ora calcolo il $ lim_(x -> 1/e) (x+e)/(1+logx)= ((1*e^2)/e)/(1+log(1/e)) $ e ora?

[piero_1]

"mpulcina":li ho studiati ma forse ho qualche dubbio se faccio domande!?

Immagina di prendere un valore di x vicino allo zero, la tua funzione assume un valore vicino allo zero, senza mai raggiungerlo. Quindi graficamente puoi mettere un cerchiolino vuoto attorno all'rigine e da lì fai partire la tua funzione. Il pallino vuoto serve a fare capire che la tua funzione in x=0 non è definita.
Con il calcolo dei limiti che stai facendo ti trovi l'asintoto verticale. Dimmi se è chiaro.

[mpulcina]

però dal limite che abbiamo calcolato, esce 0 e non $ +- oo $ quindi da quanto ne so, e forse sbaglio, in x=0 non c'è asintoto verticale pertanto passo a calcolare il limite per x che tende a 1/e.

[piero_1]

esatto, limite sinistro e destro.

"mpulcina":$ lim_(x -> 1/e) (x+e)/(1+logx)= ((1*e^2)/e)/(1+log(1/e)) $ e ora?

questo limite è del tipo numero/zero e va all'infinito


[tex]$\[
\mathop {\lim }\limits_{{\rm x} \to \left( {\frac{1}{e}} \right)^ - } \frac{{x + e}}{{1 + \ln x}} = \frac{{numero}}{{0^ - }} = - \infty
\]
$[/tex]

[mpulcina]

forse sono un pò pesente però tutto quello su cui dubito lo devo chiedere altrimenti non chiarirò mai le mie indecisioni. come mai fa -infinito e non + infinito?

[piero_1]

"mpulcina":forse sono un pò pesente però tutto quello su cui dubito lo devo chiedere altrimenti non chiarirò mai le mie indecisioni. come mai fa -infinito e non + infinito?

fai bene a chiedere, è il modo migliore per chiarire i dubbi.
Il segno meno è dovuto al fatto che, se prendi un valore "a sinistra" di [tex]1/e[/tex] cioè un po' più piccolo di [tex]1/e[/tex] ottieni un valore al denominatore che è un po' più piccolo di zero. dimmi se ti è chiaro

[piero_1]

[tex]$
\[
\begin{array}{l}
1 + \ln \frac{1}{e} = 1 - 1 = 0 \\
1 + \ln \left( {\frac{1}{e}} \right)^ - = 0^ - \\
1 + \ln \left( {\frac{1}{e}} \right)^ + = 0^ + \\
\end{array}
\]
$[/tex]

[mpulcina]

perchè 1/e fa 1?

[piero_1]

"mpulcina":perchè 1/e fa 1?

veramente è il logaritmo naturale di [tex]1/e[/tex] che fa [tex]-1[/tex]
cioè:

[tex]$\[\ln \frac{1}{e} =\ln(e)^{(-1)}=-1\]$[/tex]

[mpulcina]

ok, ho capito. quindi x=1/e è un asintoto verticale. ora devo vedere se ci sono asintoti obliqui o orizzontali. calcolo $ lim_(x -> -oo) (x+e)/(1+logx)= (-oo)/(1+log(-oo))= ? $

[piero_1]

"mpulcina":calcolo $ lim_(x -> -oo) (x+e)/(1+logx)= (-oo)/(1+log(-oo))= ? $

Solo a [tex]+\infty[/tex] perchè la tua funzione è definita per valori di x positivi.

[Blackorgasm]

guarda il dominio, il logaritmo non è definito a $-oo$