Sistemi di equazioni goniometriche

[Bad90]

Esercizio 1

Primo esercizio della serie:

$ sen(x+y)=0 $
$ tg(x+y)=sqrt3 $

Ma e'giusto iniziare in questo modo?

$ x-y= 90^o +k360^o $
$ x+y= 60^o +k180^o $

E poi continuare.............
Voglio capire quale metodo conviene utilizzare per questa!
In questo caso conviene ricavare il calore degli angoli e poi lavorare come se fosse un semplice sitema............ , giusto?

Vi ringrazio!

[gio73]

procedi

[Bad90]

"gio73":procedi

$ x-y= 90^o +k360^o $
$ x+y= 60^o +k180^o $

$ x= 90^o +k360^o +y $
$ x+y= 60^o +h180^o $

$ x= 90^o +k360^o +y $
$ y= 60^o +h180^o -(90^o +k360^o +y )$

$ x= 90^o +k360^o +y $
$ 2y= h180^o -k360^o -30^o $

$ x= 90^o +k360^o +y $
$ y= h90^o -k180^o -15^o $

$ x= 75^o +k180^o +h90^o $
$ y= h90^o -k180^o -15^o $

E poi cosa devo fare

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 1

Primo esercizio della serie:

$ sen(x+y)=0 $
$ tg(x+y)=sqrt3 $

Ma e'giusto iniziare in questo modo?

$ x-y= 90^o +k360^o $
$ x+y= 60^o +k180^o $
....

Scusa, ma non ho capito da dove risulta $x-y= 90° +k360°$. Da $ sen(x+y)=0 $?

[Bad90]

Si, scusami ho sbagliato a scrivere la traccia della prima equazione, e' proprio questa:

$ sen(x-y)=0 $

[chiaraotta1]

Ma $sen alpha =0$ se $alpha=k180°$, non $90°+k360°$.
Quindi $x-y=k180°$....

[Bad90]

"chiaraotta":Ma $sen alpha =0$ se $alpha=k180°$, non $90°+k360°$.
Quindi $x-y=k180°$....

Ecco, la mia distrazione colpisce ancora! Adesso sistemo tutto!

Ti ringrazio!

[Bad90]

$ x-y= k360^o $
$ x+y= 60^o +k180^o $

Alla fine sono arrivato alle seguenti:

$ x=30^o(1+3h+6k) $
$ y= 30^o(1+3h-6k) $

Perchè il testo mi dice che deve essere:

$ x=30^o(1+3h+3k) $
$ y= 30^o(1+3h-3k) $




Va bene così

[chiaraotta1]

"Bad90":$ x-y= k360^o $
...

No: è $x-y=k180°$.

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]$ x-y= k360^o $
...

No: è $x-y=k180°$.[/quote]
Accipicchia, ecco l'errore !
Il periodo in cui si ripete che il seno diventa zero è proprio 180 gradi!

[Bad90]

Non sto capendo un semplice passaggio algebrico....
Se ho la seguente:

$ (cosx)/(senx) = sqrt(3) $

se voglio portare il secondo membro al primo, cosa resta al secondo membro Non penso che resterà zero, ma cosa bisogna fare
Non penso che sarà così:

$ (cosx)/((senx)(sqrt(3))) = 0 $

[chiaraotta1]

"Bad90":Non sto capendo un semplice passaggio algebrico....
Se ho la seguente:

$ (cosx)/(senx) = sqrt(3) $

se voglio portare il secondo membro al primo, cosa resta al secondo membro

L'equazione è elementare e si risolve direttamente:
$ (cosx)/(sinx) = sqrt(3) ->cot x=sqrt(3)->x=pi/6+kpi$.

In ogni caso da
$ (cosx)/(senx) = sqrt(3) $
puoi dividere ambedue i membri dell'equazione per $sqrt(3)$ e ottieni
$ ((cosx)/(senx))/sqrt(3) = sqrt(3)/sqrt(3) ->(cosx)/(sqrt(3)(senx))=1$,
oppure puoi sottrarre $sqrt(3) $ ad ambedue i membri dell'equazione e ottieni
$ (cosx)/(senx) -sqrt(3)= sqrt(3)-sqrt(3)-> (cosx)/(senx) -sqrt(3)= 0$ .

[Bad90]

Ok, ti ringrazio

[Bad90]

Esercizio 2

Mi sto impallando con il seguente:

$ cosx + cosy =-1 $
$ cos2x - cos2y =2 $

Alla fine sono arrivato alle seguenti:

$ x + y = +- 90^o + k360^o $
$ x - y = +- 90^o + h180^o $

Ma poi non riseco ad arrivare alla soluzione finale!
Insomma cio' che sto facendo e' questo:

$ cos(x+y)=-1 $
$ 2cos^2x -2cos^2y =2 $

[giammaria2]

Ehi, guarda che $cosx+cosy!=cos(x+y)$. Si possono fare i calcoli in più modi; il più banale è considerare come incognite i due coseni e ricavare il loro valore (dopo il calcolo che hai fatto per la seconda equazione).

[Bad90]

Adesso provo subito! Solo che non so cosa fare con la seconda equazione, intendo che non so se devo sfrutta le formule di duplicazione!
Sono riuscito e penso di aver fatto bene impostando il seguente sistema:

$ X+Y=-1 $
$ 2X+2Y=2 $

Alla fine sono arrivato a due soluzioni:
$ cosx = 0 $
$ cosy=-1 $

E quindi le soluzioni sono:

$ x=90^o +k180^o $
$ y=180^o +k360^o $

Va bene cosi'????

Ma non vanno considerate le quattro soluzioni cosi'?

$ x=+-90^o +k180^o $
$ y=+-180^o +k360^o $

[giammaria2]

Il $+-$ delle ultime due formule è inutile: i punti sono gli stessi della precedente soluzione. A me però i valori di $x,y$ risultano scambiati fra loro.

[Bad90]

"giammaria":Il $+-$ delle ultime due formule è inutile: i punti sono gli stessi della precedente soluzione. A me però i valori di $x,y$ risultano scambiati fra loro.

Allora ci sara' qualche errore che ho commesso io! Facendo nuovamente i calcoli il risultato e' sempre lo stesso che ho trovato prima!

[giammaria2]

Ecco i miei calcoli; considero la seconda equazione modificata come hai fatto tu e quindi parto da
${(cosx+cosy=-1),(2cos^2x-2cos^2y=2):}$
Posto $X=cosx$ e $Y=cosy$ e semplificando per 2 la seconda ho

${(X+Y=-1),(X^2-Y^2=1):}->{(X=-Y-1),(Y^2+2Y+1-Y^2=1):}->{(X=-1),(Y=0):}$
e quindi
${(cosx=-1),(cosy=0):}->{(x=pi+2kpi),(y=pi/2+hpi):}$

[Bad90]

Effettivamente i tuoi calcoli filano perfettamente!

[Bad90]

Esercizio 3

Non sto capendo perche' non riesco a risolvere il seguente esercizio:

$2seny + 3cosx= -(sqrt(2))/2 $
$ seny cosx= 1/2 $

Io inizio a fare in questo modo:

${(2Y + 3X = (-sqrt(2))/2 ),(YX=1/2):}$

Da questa arrivo alla fine con i risultati corretti che vuole il testo, ok, solo che non riesco a capire il perchè dall'equazione di secondo grado che ho ottenuto, un risultato è quello che mi ha portato alle giuste conclucioni, mentre il secondo risultato non viene menzionato dal testo, perchè?
Intendo questo che mi è venuto fuori dall'equazione quadratica della X:
$ X = -sqrt2/3 $

Mentre quello che mi ha portato alle giuste conclusioni è:

$ X = sqrt2/2 $

Le soluzioni finali sono:

$ x = +-45^o + k360^o $
$ x = +-45^o + k360^o $
$ y = 45^o + h360^o $
$ y = 135^o + h360^o $