Sistemi di disequazioni in senx, cosx e tgx.

[Bad90]

Ho studiato le disequazioni trigonometriche e adesso mi trovo a risolvere questa:

$ senx>1/2 $

So benissimo che l'arco che mi interessa e' incluso tra $ alpha =30^o $ e $ alpha =150^o $, non mi e' tanto chiaro come impostare il sistema....
Elementarmente mi viene di dire il punto della circonferenza associato ad x, dovra' appartenere all'arco PP', quindi:

$ 150^o<= x <= 30^o $

Estendendo a tutto $ R $ sara':

$ 150^o + k360^o <= x <= 30^o + k360^o $

Giusto?

[chiaraotta1]

....
$ 30^o< x < 150^o $

Estendendo a tutto $ RR $ sara':

$ 30^o + k360^o < x < 150^o + k360^o $

[Bad90]

Ho risolto questa:

$ cosx+1>0 $

che diventa

$ cosx> -1 $

Ma perche' bisogna dire che

$ x!= 180^o + k360^o $

[Bad90]

Per la tangente e' un po piu' complicato............
Se ho $ tgx<0 $, qual'e' il ragionamento da fare???? Ho pensato di dire che l'angolo x della tangente quando essa e' uguale a zero sara' $ x=k180^o $ e allora le soluzioni saranno che:

$ x=k180^o $
$ x= 90^o + k180^o $

solo in questi casi sara' uguale a zero, quindi l'arco che mi interessa e' proprio quello incluso in questo intervallo!

[chiaraotta1]

"Bad90":Ho risolto questa:
$ cosx+1>0 $

$cos x$ assume i valori compresi tra $-1$ e $+1$ inclusi. In particolare è uguale a $-1$ per $x=180° + k 360°$.
Quindi $cos x > -1$ per tutti gli angoli, tranne che per $x=180° + k 360°$ e le soluzioni della disequazione $cos x > -1$ sono appunto $x!=180° + k 360°$.

[chiaraotta1]

"Bad90":..
$ tgx<0 $

La tangente è $<0$ nel secondo e nel quarto quadrante. Quindi le soluzioni della disequazione $tan x < 0$ sono $-pi/2+kpi

Cita

Segnala

[Bad90]

Ho risolto la seguente e riesco a comprendere solo un risultato:

$ 2cos(x-60^o)<1 $

Il testo mi dice che dece essere:

$ 60^o +k360^o
Io non sto capendo perche' a scritto che $ 180^o + k360^o $
Insomma, io scriverei solo questo:

$ 120^o +k360^o

Cita

Segnala

[giammaria2]

A me viene un risultato completamente diverso: non avrai scritto male il testo? La mia soluzione è
$cos(x-60°)<1/2$
$60°+k*360° $120°+k*360°
P.S. Per scrivere i gradi non occorre più il ^o: basta il ° (quello che usi senza il compilatore, sullo stesso tasto di à)

[Bad90]

Sara' un errore di stampa! Comunque non stavo capendo perche' deve essere $ .... Ma adesso ho capito grazie al tuo messaggio il perche' Ti ringrazio!

[Bad90]

Ho risolto la seguente:

$ cos(2x - 45^o)
io scriverei il risultato in questo modo:

$ 45^o + k360^o < x < k180^o $

Dici che va bene? Il testo scrive che

$ 45^o + k360^o < x < 180^o + k180^o $

Cosa cambia?
Per quanto riguarda il simbolo dei gradi non sto riuscendo a trovare il modo, sto utilizzando il mio Iphone, il PC e' rotto!

[Bad90]

Risolvo la seguente:

$ tg^2 x >3 $

L'equazione associata sara' $ tg x= -+ sqrt(3) $ ma essendo una disuguaglianza allora le due soluzioni sono:

$ tgx > sqrt3 ^^ tgx > - sqrt3 $

Va bene quanto ho detto? Ma come si risolve questa???

[giammaria2]

Penultimo post) La soluzione giusta è $45°+k*180°
Ultimo post) Correggi il $^^$ in $vv$: ti ve bene una soluzione oppure l'altra. Trascurando per ora la periodicità, la prima soluzione va bene fra 60°e 90° e la seconda fra 90° e 120°, quindi la soluzione è
$60°+k*180° che può anche essere scritta come
$60°+k*180° Ti faccio notare il diverso uso dei simboli $^^$ e $vv$

[Bad90]

"giammaria":Penultimo post) La soluzione giusta è $45°+k*180°

Ho capito come funziona il discorso del $ k $ ........... , ma non sto capendo il perche' se ho la periodicita' ............ al primo membro, devo poi riportarla al terzo membro?????

[Bad90]

Esercizio 1

Ho risolto il seguente esercizio:

$ 4sen^2 x - 1> 0 $

Sono arrivato alla prima solizione che comprendo perfettamente:

$ 30^o + k360 < x < 150^o + k 360^o $

Questa e' la sola che mi dice il testo e quindi e' ok!
Ma perche non e' soluzione la seguente?

$ -30^o + k360 < x < 210^o + k 360^o $

[Bad90]

Esercizio 2

Ho risolto il seguente:

$ cos^2x -2cosx +1>0 $

Unica soluzione dell'equazione associata che e' $ x=k360^o $, il testo dice he la soluzione della disequazione deve essere $ x != k360^o $ , sara' banale ma non mi e' chiaro il risultato!

Io so che l'angolo e' zero e il coseno sara' uno, bene, ma perche' allora deve essere $ x != k360^o $

Va bene se penso che la disequazione essendo $ cosx>1 $ allora potranno essere tutti gli angoli tranne l'angolo zero! Solo che ci sono anche angoli che danno il coseno negativo!

[Zero87]

"Bad90":Unica soluzione dell'equazione associata che e' $ x=k360^o $, il testo dice he la soluzione della disequazione deve essere $ x != k360^o $ , sara' banale ma non mi e' chiaro il risultato!

Se poni $cos(x)=t$, per esempio, cosa ottieni?

[Bad90]

Che $ t>1 $

[Zero87]

"Bad90":Che $ t>1 $

Calma, fai tutti i passaggi: parti da $cos^2(x)-2 cos(x)+1>0$ che diventa (con la suddetta sostituzione $^1$)...

____
$^1$ La sostituzione non è "strettamente necessaria", è solo per farti vedere se il polinomio che ottieni ti dà suggerimenti.

[Bad90]

Ma il mio problema non e' come risolvere il polinomio, e' l'argomento della disequazione!

[Zero87]

"Bad90":Ma il mio problema non e' come risolvere il polinomio, e' l'argomento della disequazione!

Meglio così: suppongo, dunque, che sai che ottieni
$(cos(x)-1)^2>0$
dalla disequazione precedente allora

[Bad90]

E si! E allora come posso giustificare il risultato?