Sistemi di disequazioni in senx, cosx e tgx.

[Bad90]

Ho studiato le disequazioni trigonometriche e adesso mi trovo a risolvere questa:

$ senx>1/2 $

So benissimo che l'arco che mi interessa e' incluso tra $ alpha =30^o $ e $ alpha =150^o $, non mi e' tanto chiaro come impostare il sistema....
Elementarmente mi viene di dire il punto della circonferenza associato ad x, dovra' appartenere all'arco PP', quindi:

$ 150^o<= x <= 30^o $

Estendendo a tutto $ R $ sara':

$ 150^o + k360^o <= x <= 30^o + k360^o $

Giusto?

[Bad90]

Perfetto

Mentre per l'esercizio 9, dici che e' fatto bene

[Bad90]

Scusami, per zone comuni intendevo le zone in cui sono entrambi verificate! Per quanto riguarda l'errore sull'ultimo risultatonho compreso il perche'!

[giammaria2]

"Bad90": $ (1-2senx)/(cosx)<=0 $
E' vero che in questo caso bisogna sempre imporre che il $ N>=0 $ e anche $ D>=0 $

E' quasi vero: deve essere $D>0$, senza l'uguale. La domanda che ci poniamo è il segno di $N,D$ e per questo ci chiediamo quando sono positivi: la linea continua rappresenterà il più e la tratteggiata il meno. Alla fine ricorderemo che volevamo che il rapporto avesse il meno e sceglieremo le zone in cui capita.
Nel seguito ci sono numerosi errori; li correggo tralasciando il $+k*360°$.

1) Moltiplicando per $-1$ si ottiene $ (2senx-1)/(cosx)>=0 $ e non quello che hai scritto tu; per tenermi aderente al tuo successivo svolgimento, tralascio questa moltiplicazione e mi riferisco sempre e solo alla disequazione iniziale.
2) Il numeratore si annulla nei punti che indichi; da dove spunta il 270°? Inoltre da $1-2sinx>=0$ ricavi $sinx<=1/2$ (non $>=$): ti va quindi bene la parte di cerchio sotto a questo valore. Limitando l'attenzione al primo giro, dobbiamo dividerla in due pezzi: quello fino a 30° e quello dopo i 150°. Scriviamo quindi
$0°<=x<=30° vv 150°<=x<=360°$
3) Per il denominatore non ci vogliono gli uguali perché non può annullarsi, ma è sbagliato scrivere $90° $0°<=x<90°vv270° Se invece non ci limitiamo al primo giro, potevamo anche scriverla come
$-90°+k*360°
Non posso vedere come hai fatto il disegno: forse è giusto. Il numeratore dovrebbe essere rappresentato da un arco continuo, che copre interamente terzo e quarto quadrante, nonché parzialmente primo e secondo; il denominatore è un arco continuo su quarto e primo. Il ragionamento finale sui segni è giusto se riferito alla disequazione che indichi dopo la moltiplicazione per $-1$; riferendosi alla disequazione iniziale devi però ottenere il seno meno.

[Bad90]

Per la moltiplicazione per -1 ho solo sbagliato a fare un copia e incolla,

[giammaria2]

Allora però va modificato quello che segue: da $N>=0$ ottieni
$2senx-1>=0->sinx>=1/2->30°+k*360°<=x<=150°+k*360°$
e risultano diversi sia il grafico finale che la scelta del segno conclusivo.

[Bad90]

Esercizio 10

Sto cercando di capire la seguente:

$ (2senx - sqrt2)/(cos^2 x +1) <0 $

$ N >= 0 $

$ senx >=sqrt2/2 $ allora $ x=45^o + k360^o $ e $ x=135^o + k360^o $

$ 45^o + k360^o <=x<=135^o +k360^o $

$ D>0 $

$ cos^2 x +1>0=> cos^2 x > -1=>cos x > 1 $ (Ho un dubbio se effettivamente possa essere maggiore di uno)

$ x=k360^o $

$ x=k360^o $

Se ho fatto bene, allora so che la soluzione iniziale cerca il segno meno e quindi:

$ k360^o<=x<45^o + k360^o $ $ ^^ $ $ 135^o + k360^o
Va bene così?

[giammaria2]

Il denominatore è sempre positivo perché un quadrato è sempre maggiore di un numero negativo. Se fosse giusto il tuo $cosx>1$ la risposta sarebbe invece "sempre falso" (cioè il denominatore non è mai positivo) perché un coseno non può essere maggiore di 1. Il resto va bene.

[Bad90]

"giammaria":Il denominatore è sempre positivo perché un quadrato è sempre maggiore di un numero negativo. Il resto va bene.

Grazie

[Bad90]

Esercizio 11

Ho risolto la seguente disequazione:

$ 1-1/(tgx)>0 $

Sono arrivato alla seguente:

$ (tgx -1)/(tgx)>0 $

Adesso impongo il $ N>0 $ ed ho $ x= 45^o + k180^o $

Impongo il $ D>0 $ ed ho $ x= k180^o $

Adesso avro' il numeratore che sara' verificato $ 45^o Il denominatore che sara' verificato per tutto l'arco $ 0^o
Adesso la disequazione vuole i settori quando e' positiva, quindi ho:

$ 45^o + k180^o
Ma il testo e' d'accordo solo con la mia prima soluzione, mentre con la seconda no, in fatti per la seconda dice che:

$ 90^o + k180^o
Non sto riuscendo a capire il perche'! Un'attimo...............
Mi sta ingannando la soluzione perche' penso sia giusto il risultato del testo in quanto tra 90 gradi e 180 gradi ho due archi tratteggiati e quindi danno una soluzione positiva, giusto????

[Bad90]

Esercizio 12

Ho risolto il seguente esercizio:

$ (senx)/(cosx+1)>=0 $

Ho fatto in questo modo:

$ N>=0 $ $ senx=0 $ quando $ 0<=x<=180^o $

$ D>0 $ $ cosx+1>0=>cosx> -1 $ quando $ x=+-180^o +k360^o $ allora $ k360^o < x< 180^o +k360^o $

Adesso cerco i settori in cui la disequazione e' positiva e mi sembra ovvio che si tratta di un angolo che va da $ k360^o < x< 180^o +k360^o $ ma non sono convinto del perche' si ha quel $ <= $ , insomma $ k360^o <= x< 180^o +k360^o $!

Ok per il fatto che sia numeratore he denominatore sono entrambi verificate per $ 360^o $ , ma il mio dubbio e' perche' non lo sono entrambi per $ 180^o $
L'unica risposta e' che per quel $ cosx> -1 $ mi porta ad escludere quel $ <= $ !!
Ho detto bene???

[giammaria2]

Esercizio 11
Sì, tra 90° e 180° ci sono due archi tratteggiati; i calcoli precedenti non tengono conto del fatto che a 90° la tangente cambia bruscamente di segno. Inoltre 135° non c'entra, perché $tg135°=-1$. I calcoli giusti sono

$N>0->tgx>1-> 45°+k*180° $D>0->tgx>0-> 0°+k*180°
e poi fai il grafico dei segni.

Esercizio 12
Il coseno è sempre maggiore di $-1$ (a proposito: lascia uno spazio bianco fra > e -; nel tuo esercizio l'ho inserito io perché in sua assenza trovi scritto $>-$), tranne quando vale -1; ne consegue che il denominatore è sempre positivo, a parte la condizione $x!=180°+k*360°$. Di conseguenza non occorre neanche il grafico: la frazione è positiva o nulla quando lo è il numeratore, escludendo però il valore appena detto.

[Bad90]

Esercizio 13

Sto trovando problemi a capire la seguente disequazione, sara' un po di ruggine!

$ (sen^2 x)/(sqrt(2)cosx -1) >0 $

[giammaria2]

Un quadrato è sempre positivo, tranne quando si annulla: quindi $x!=k*180°$. Ti basta quindi imporre $D>0$, escludendo dalla soluzione quei valori; nel tuo caso basta escluderne uno, perché l'altro ne è già fuori.

[Bad90]

"giammaria":Un quadrato è sempre positivo, tranne quando si annulla: quindi $x!=k*180°$. Ti basta quindi imporre $D>0$, escludendo dalla soluzione quei valori; nel tuo caso basta escluderne uno, perché l'altro ne è già fuori.

Allora:

$ sen^2x >=0 $ allora $ x=180^o + k360^o $

mentre per il denominatore $ -45^o
Questa sera mi sto impallando!

[giammaria2]

"Bad90": $ sen^2x >=0 $ allora $ x=180^o + k360^o $

No, te l'ho già scritto:

$ sen^2x >=0 $ allora $ x!=0°+k*180^o $

Il denominatore va bene, a parte la mancanza del $+k*360°$. In quell'intervallo cade però \(\displaystyle 0° \), che va escluso, quindi la soluzione può essere scritta come

$-45°+k*360°
oppure come $45°+k*360°

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[Bad90]

Ok, ok ! Adesso ho compreso!

[Bad90]

Esercizio 13

Vediamo con questa:

$ (2senx + sqrt3)/(cosx) <0 $

$ N>=0 $ allora $ senx >= -sqrt3/2 $ $ x=-60^o + k360^o $ e $ x=120^o + k360^o $
Per questo numeratore, devo considerare il tratto di arco che va da $ -sqrt3/2 $ fino al valore massimo del seno, giusto

[giammaria2]

Sì ma precisiamo che l'arco continua scendendo nuovamente fino a $-sqrt3/2$; probabilmente è quello che intendevi dire.

[Bad90]

Esercizio 14

$ (2sen^2x +1)/(cos2x)<0 $

$ N>=0 $ $ senx=-sqrt2/2 $ $ x= -45^o + k 360^o $ e $ x= 225^o + k 360^o $

$ D>0 $ $ cos2x=0 $ $ x= 45^o + k180^o $ e $ x= 135^o + k180^o $


Adesso mi sto impallando su cosa devo trovare!
Perche' il testo non considera il numeratore nella soluzione finale?
Insomma il teto mi dice che la soluzione deve essere:

$ 45^o + k180^o
Perche'

[giammaria2]

Il numeratore è sempre positivo; la corrispondente equazione non ha soluzioni. Infatti ottieni
$sin^2 x=-1/2$
ed un quadrato non può essere uguale ad un numero negativo.