Sistemi di disequazioni in senx, cosx e tgx.

[Bad90]

Ho studiato le disequazioni trigonometriche e adesso mi trovo a risolvere questa:

$ senx>1/2 $

So benissimo che l'arco che mi interessa e' incluso tra $ alpha =30^o $ e $ alpha =150^o $, non mi e' tanto chiaro come impostare il sistema....
Elementarmente mi viene di dire il punto della circonferenza associato ad x, dovra' appartenere all'arco PP', quindi:

$ 150^o<= x <= 30^o $

Estendendo a tutto $ R $ sara':

$ 150^o + k360^o <= x <= 30^o + k360^o $

Giusto?

[Zero87]

"Bad90":E si! E allora come posso giustificare il risultato?

Bene, dunque hai capito che il mio post di prima era per arrivare a questo risultato che, poi, mi hai detto che sai.

Comunque, come puoi giustificarlo?

Semplicemente osservando che, in
$(cos(x)-1)^2 >0 $
il primo membro è un quadrato... dunque - a prescindere dalle funzioni che ci compaiono $^1$ - è sempre "non negativo".
Se ci fosse stato il $\ge$ sarebbe sempre verificata, ma - essendoci il $>$ - non è proprio così, dunque...

_____
$^1$Ovviamente occorre che siano definite, ma in questo caso non c'è nessun problema per campi di esistenza e/o altro.

[giammaria2]

"Bad90":... non sto capendo il perche' se ho la periodicita' ............ al primo membro, devo poi riportarla al terzo membro?????

Non è che devi riportarla; viene per i fatti suoi. E deve venire perché ogni intervallo ha un inizio ed una fine e ripete entrambi ogni periodo; non ha senso dire che l'inizio si ripete dopo un giro e la fine dopo mezzo giro. Sarebbe come dire che vai a dormire alle 23 di ogni giorno e ti svegli alle 7 sia del mattino che della sera.

Esercizio 1) La tua prima soluzione ve bene ma è sbagliata la seconda, cioè $-30°+k*360° La regola per scrivere le soluzioni, supposto che si ripetano ogni giro, è questa: girando in senso positivo, guarda dove inizia l'intervallo (nel tuo caso, a 210°) e poi, continuando a girare in senso positivo e quindi aumentando l'angolo, guarda dove finisce (nel tuo caso, a -30° che però non va bene perché l'angolo non aumenta: devi per forza chiamarlo 360°-30°=330°); ora puoi pensare alla periodicità e scrivere la seconda soluzione come
$210°+k*360° Se ora guardi le due soluzioni, noti che la seconda ripete la prima dopo mezzo giro e quindi possono essere riassunte in
$30°+k*180° e scommetto che nella soluzione del libro c'è proprio $+k*180°$.

[Bad90]

Si c'e' proprio 180

[Bad90]

Esercizio 3

Per questa sto trovando problemi:

$ cos2x - cosx <0 $

Ho utilizzato la formula di addizione del coseno ed ho ottenuto la seguente:

$ 2cos^2 x - cosx -1 < 0 $

Ottengo le due soluzioni, $ cosx<1 $ e $ cosx<-1/2 $ .

Adesso sto provando a disegnare sulla circonferenza le zone che sono comuni a tutte e due, penso sia il metodo giusto, ma non sto riuscendo a capire la cia corretta!

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 4
$ 2cos^2 x - cosx -1 < 0 $

Ottengo le due soluzioni, $ cosx<1 $ e $ cosx<-1/2 $ .

No, è
$-1/2< cosx<1 -> -120°+k360°

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[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]Esercizio 4
$ 2cos^2 x - cosx -1 < 0 $

Ottengo le due soluzioni, $ cosx<1 $ e $ cosx<-1/2 $ .

No, è
$-1/2< cosx<1 -> -120°+k360°
Accipicchia, il mio testo non mi fa vedere le soluzioni esposte in questo modo! E piu' intuitivo scriverla in quel modo!

[Bad90]

Esercizio 5
Ho risolto la seguente disequazione:

$ 2sen^2 x - 11senx + 5>0 $

Ma perche' il mio testo dice che le soluzioni sono :

$ 0<= x< 30^o $ ; $ 150^o< x<=360^o $

Come si possono spiegare questi risultati?
Io ho ottenuto questo:

$ 30^o + k360^o
Cosa cambia????

[giammaria2]

Hai indicato esattamente il contrario del libro. Tracciate le rette orizzontali corrispondenti a $sinx=5$ e $sinx=1/2$, devi stare fuori da quella striscia, cioè sotto ad $1/2$. Vedo che il tuo libro non mette il solito $+k*360°$ e ne concludo che in qualche posto richiede di scrivere solo le soluzioni nel primo giro: l'arco che ci interessa deve quindi essere considerato in due parti separate. Volendo invece scrivere tutte le soluzioni ed usare un unico arco, la soluzione sarebbe stata
$120°+k*360°

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[chiaraotta1]

"giammaria":...la soluzione sarebbe stata
$120°+k*360°
Mi sembra che
$sin x<1/2->150°+k360°

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[giammaria2]

Vero, errore di distrazione.

[Bad90]

Scusate ma non sto ricordando come immettere un valore di $ sqrt2 $ in Geogebra!

[Bad90]

Esercizio 6

Sto cercando di risolvere la seguente disequazione mediante il metodo grafico:

$ sen x + cosx >0 $

Imposto il sistema:

$ { ( sen x + cosx >0 ),( sen^2x + cos^2x = 1 ):} $

Vorrei ragionare sul suo risultato....
Ho provato a disegnare il grafico con geogebra:

[Bad90]

Esercizio 7

Ho risolto il seguente:

$ senx - sqrt3cosx >0 $

I punti che ritrovo sono:

$ P_1 (1/2, sqrt(3)/2) $ e $ P_2 (-1/2, -sqrt(3)/2) $

Se osservo il grafico che segue:

Vedo che la retta passa per i due punti! Non so se ho fatto bene a disegnare le rette parallele alla y passante per i punti x!
Adesso penso che devo cercare i settori di circonferenza che saranno maggiori di zero Quali settori mi interessano

[chiaraotta1]

$ sin x + cosx >0 ->sqrt(2)sin(x+pi/4)>0->sin(x+pi/4)>0->$
$0+2kpi-pi/4+2kpi
$sin x-sqrt(3)cosx>0->2sin(x-pi/3)>0->sin(x-pi/3)>0->$
$0+2kpipi/3+2kpi

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[giammaria2]

Il metodo dell'angolo aggiunto di chiaraotta è il più rapido; se però vuoi usare il metodo grafico, mi riferisco all'esercizio 7 (in cui le parallele all'asse y non servono a nulla). Vuoi che sia
$Y>sqrt3 X$
cioè vuoi essere sopra a quella retta: la soluzione è proprio quella indicata da lei.

[Bad90]

Sinceramente sto trovando molto comodo il metodo grafico! Riesco a capire cio' che c'e' dietro ai numeri....

[Bad90]

"chiaraotta":$ sin x + cosx >0 ->sqrt(2)sin(x+pi/4)>0->sin(x+pi/4)>0->$
$0+2kpi-pi/4+2kpi
$sin x-sqrt(3)cosx>0->2sin(x-pi/3)>0->sin(x-pi/3)>0->$
$0+2kpipi/3+2kpi
Ti ringrazio

[Bad90]

Esercizio 8, guidato!

Sto cercando di capire questo esercizio guidato:

Ho rifatto i calcoli per capire cio' che ha fatto il testo ed ho ottenuto i seguenti risultati:

Per $ senx>0 $

$ x= k360^o $

$ x= 180^o + k360^o $

Per $ senx>1/2 $

$ x= 30^o + k360^o $

$ x= 150^o + k360^o $

Per $ sex<-1/2 $

$ x= 210^o + k360^o $

$ x= 150^o + k360^o $

e

$ x= 330^o + k360^o $

$ x= 30^o + k360^o $

Se ho replicato correttamente i calcoli, avro' delle zone comuni che sono:

$ 0
$ 150^o
$ 210^o
I miei risultati si trovano con quelli del testo, solo che chiedo a voi se ho fatto correttamente oppure e' una casualita che i calcoli si trovano!

Cosa ne dite????

[Bad90]

Esercizio 9

Come si imposta la soluzione della seguente?

$ (1-2senx)/(cosx)<=0 $

E' vero che in questo caso bisogna sempre imporre che il $ N>=0 $ e anche $ D>=0 $

In attesa di una risposta, ho risolto la disequazione nel modo seguente, ho moltiplicato per $ -1 $ :

$ (1-2senx)/(cosx)>=0 $

Numeratore:

Ho risolto il numeratore ponendolo $ >=0 $ (anche se su questo fatto vorrei chiarire bene il perchè).

$ 1-2senx>=0 =>senx >=1/2 $

Ottengo $ x=30^o + k360^o $ e $ x=150^o + k360^o $

ma la disequazione sarà verificata per

$ 30^o +k360^o <=x<= 270^o + k360^o $

Denominatore:

Impongo $ cosx>0 $ con $ x!= 90^o +k180^o $

Ottengo $ x=90^o + k360^o $ e $ x=-90^o + k360^o =>270^o + k360^o $

Sarà verificata per $ 90^o + k360^o <=x<=-90^o + k360^o $
Scusate, ma perchè non può essere $ 90^o + k360^o Anche perchè ho impostato che $ cosx>0 $


Concludo che le zone elle ue circonferenze concentriche che portano il segno positivo e che mi danno la soluzione sono date da:

$ 30^o + k 360^o <=x<=90^o + k 360^o $ (che hanno tratti i circonferenza continui)

$ 150^o + k 360^o <=x<=270^o + k 360^o $ (che hanno tratti i circonferenza discontinui)

Dite che ho fatto bene
Grazie mille!

[giammaria2]

Esercizio 8) Tu scrivi le soluzioni delle tre equazioni (quelle dell'ultima non sono corrette), ma non quelle delle disequazioni e non si capisce cosa intendi per "zone comuni"; inoltre la domanda non era quella. Provo a spiegarti la soluzione del libro; per semplicità, limito l'attenzione al primo giro e quindi trascuro il solito $+k*360°$. Tu vuoi che un prodotto sia negativo e quindi ti chiedi quando i fattori hanno il più; la tua prima disequazione è
$sin x>0$ che è vera se $0° Riporti questa soluzione sul grafico, e dovrebbe essere sul cerchio goniometrico (quello disegnato in blu). Così però non riusciresti a vedere le varie disequazioni; quindi lo ingrandisci un po' ed ottieni il primo cerchio rosso, sul quale segni col più la zona corrispondente alla soluzione e col meno il resto. Io avrei preferito usare una linea continua per il più e tratteggiata per il meno (è più visibile), ma il concetto è lo stesso.
Passi ora alla seconda disequazione, cioè
$sin^2x>1/4$ che è verificata al di sopra di $1/2$ o al di sotto di $-1/2$, cioè per $(30° e riporti questa soluzione su un altro cerchio ingrandito (il secondo cerchio rosso). Per poter capire dove sono i vari angoli, si tracciano le semirette che li delimitano, così l'angolo non cambia anche ingrandendo il cerchio; nel tuo caso da quest'ultima disequazione ottieni quattro semirette che originano due rette (ma in altri esercizi potrebbero anche non farlo).
Passi ora alla conclusione, ricordando che la tua domanda era "quando c'è il meno?"; fai quindi il solito ragionamento sui segni e consideri come soluzioni le zone col meno: è il cerchio rosso più esterno.