Significato geometrico teorema di Cauchy?
Premetto che frequento il quinto anno di un liceo scientifico e tale significato non è presente sul libro di testo; che non sia comprensibile ad uno studente del quinto anno?
Risposte
Devo confessare che non l'ho mai trovato (dopo $n$ anni, con $n$ abbastanza grande). Direi che il teorema di Cauchy e' una generalizzazione
"algebrica" del teorema di Lagrange (che quello si' ha un bel significato geometrico). Questo per tranquillizzarti - ma magari qualcuno un significato
geometrico lo conosce.
"algebrica" del teorema di Lagrange (che quello si' ha un bel significato geometrico). Questo per tranquillizzarti - ma magari qualcuno un significato
geometrico lo conosce.
Prendi separatamente le due funzioni; i punti "a" e "b" sono punti dell'asse "x" comuni ad entrambe le funzioni; scrivi $f'(c)=(f(b)-f(a))/((b-a))$; per il teorema di Lagrange sai che questo "coefficiente angolare" è quello della retta parallela tangente la funzione alla retta passante per i punti "a" e "b". Stessa caratteristica per la funzione $g(x)$ negli stessi due punti "a" e "b"; possiamo, perciò, scrivere: $g'(c)=(g(b)-g(a))/((b-a))$. L'uguaglianza $(f'(c))/(g'(c))=((f(b)-f(a))/((b-a)))/((g(b)-g(a))/((b-a)))=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))$ dice, pertanto, che il rapporto tra le rette passanti per i punti "a" e "b" delle due funzioni è uguale al rapporto tra le parallele a tali rette tangenti alla funzioni in un punto "c" dell'asse x.
Wow, grazie!
Prego.
Secondo me nella spiegazione c'è un errore. Se è vero che il rapporto delle derivate in un punto è uguale al rapporto delle differenze delle funzioni NON è assolutamente vero che è conseguenza del teorema di Lagrange. Il punto c di f(x) e di g(x) per cui è verificato il teorema di Lagrange NON è lo stesso per le due funzioni
Seguite questo link: http://www.ripmat.it/mate/c/cf/cfec.html
Oppure questo link: http://www.****.it/lezioni/analisi-m ... range.html
Oppure questo link: http://www.****.it/lezioni/analisi-m ... range.html
"Fillaca":
Secondo me nella spiegazione c'è un errore. Se è vero che il rapporto delle derivate in un punto è uguale al rapporto delle differenze delle funzioni NON è assolutamente vero che è conseguenza del teorema di Lagrange. Il punto c di f(x) e di g(x) per cui è verificato il teorema di Lagrange NON è lo stesso per le due funzioni
Se ti riferisci al messaggio sopra (di GPaolo) hai ragione, il punto $c$ per cui vale Lagrange per $f$ è diverso da quello per cui vale Lagrange per $g$. Continuo dunque a non vedere una chiara interpretazione geometrica di Cauchy...
E' invece vero che Cauchy è una conseguenza di Lagrage, anzi di Rolle (usando una opportuna funzione ausiliaria ottenuta come combinazione lineare di $f$ e $g$) e quindi i teoremi di Rolle/Lagrange/Cauchy sono tutti equivalenti tra loro.
"ViciousGoblin":
.... e quindi i teoremi di Rolle/Lagrange/Cauchy sono tutti equivalenti tra loro.
Più che altro direi che si ha Rolle, poi una conseguenza è Counchy e poi una conseguenza ancora è Lagrange!
P.S. Aspettiamo una conferma in merito, ma penso che sia proprio così
"Bad90":
[quote="ViciousGoblin"].... e quindi i teoremi di Rolle/Lagrange/Cauchy sono tutti equivalenti tra loro.
Più che altro direi che si ha Rolle, poi una conseguenza è Counchy e poi una conseguenza ancora è Lagrange!
[/quote]
e quindi i tre teoremi sono tutti equivalenti tra loro ....
(nel senso che se se ne suppone vero uno qualunque tra i tre, allora gli altri due seguono).
"ViciousGoblin":
(nel senso che se se ne suppone vero uno qualunque tra i tre, allora gli altri due seguono).
In un certo senso è così, ti do la dimostrazione del Teorema di Lagrange....
Leggi bene e poi dimmi se hai un responso...
Teorema
Sia $f:[a,b]->R$ una funzione reale continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$, allora esiste $x_o in ]a,b[$ tale che
$f'(x) = (f(b) - f(a))/(b-a)$
Dimostrazione
Si consideri l'ulteriore funzione $g:[a,b]->R$, definita ponendo $ AA x in [a,b] $ , $g(x) = x$ . Tale funzione è derivabile e
$ AA x in [a,b] $ , $g'(x) = 1 !=0$.
Sono quindi soddisfatte le ipotesi del Teorema di Caunchy, e pertanto esiste un punto $x_o in ]a,b[$ tale che:
$(f'(x))/(g'(x)) = (f(b) - f(a))/(g(b)-g(a))$
poichè
$g'(x_o) = 1$ e $(g(b)-g(a)) = b-a$
la tesi è completamente dimostrata.
Se conosci bene gli altri due Teoremi, penso che riuscirai a capire il loro legame
P.S. Se quanto ho detto io, non è vero, allora aspettiamo qualche conferma!
E' giusto (a parte che in vari punti $x$ dovrebbe essere $x_0$).
Un po' meno evidente è il viceversa, cioè che da Lagrange segue Cauchy. Questo si dimostra usando $h(x):=(f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x)$.
Un po' meno evidente è il viceversa, cioè che da Lagrange segue Cauchy. Questo si dimostra usando $h(x):=(f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x)$.
"ViciousGoblin":
E' giusto (a parte che in vari punti $x$ dovrebbe essere $x_0$).
Sarà che adesso sto studiando Inglese, quindi faccio un po di confusione
"ViciousGoblin":
Questo si dimostra usando $h(x):=(f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x)$.
Penso che hai compreso perfettamente il concetto
"Bad90":
Penso che hai compreso perfettamente il concetto
Grazie dell'approvazione...
(sarà anche perchè sono più di vent'anni che racconto queste cose 
).A risentirci.
"ViciousGoblin":
Grazie dell'approvazione...
A risentirci.
Scusami, ho risposto senza fare attenzione al thread e quindi chiedo scusa se non mi sono reso conto che dietro a quel messaggio ci fosse una persona di tutto rispetto e che ne sa piu' di me!
Chiedo scusa ancora!
Cordiali saluti!
Non c'è problema - purtroppo non frequento più molto questo forum (e vedo che come mole di messaggi mi hai tranquillamente distanziato). Ciao
E allora ti prometto che ti aiutero' a scriverne un bel po'! Appena comincio a studiare analisi due, mi sarai di aiuto?
Di solito non riesco a sottrarmi alle richieste, però ho anche altri grattracapi che mi tengono parecchio impegnato.
Comunque chiedere, di solito, non costa nulla ... tu prova e se posso cercherò di darti una mano.
Comunque chiedere, di solito, non costa nulla ... tu prova e se posso cercherò di darti una mano.
"ViciousGoblin":
Di solito non riesco a sottrarmi alle richieste, però ho anche altri grattracapi che mi tengono parecchio impegnato.
Comunque chiedere, di solito, non costa nulla ... tu prova e se posso cercherò di darti una mano.
Ok, ti ringrazio!
"ViciousGoblin":
[quote="Bad90"][quote="ViciousGoblin"].... e quindi i teoremi di Rolle/Lagrange/Cauchy sono tutti equivalenti tra loro.
Più che altro direi che si ha Rolle, poi una conseguenza è Counchy e poi una conseguenza ancora è Lagrange!
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e quindi i tre teoremi sono tutti equivalenti tra loro ....
(nel senso che se se ne suppone vero uno qualunque tra i tre, allora gli altri due seguono).[/quote]
Perdonami, ma come dimostreresti Lagrange qualora Rolle non fosse 'vero'?
Nella dimostrazione di Lagrange viene 'costruita' una funzione sulle caratteristiche di Rolle..
"iH8u":
Perdonami, ma come dimostreresti Lagrange qualora Rolle non fosse 'vero'?
Nella dimostrazione di Lagrange viene 'costruita' una funzione sulle caratteristiche di Rolle..
Hai quotato, ma non si riesce a capire se è un quote indirizzato a me o al nostro caro amico ViciousGoblin,
Resta il fatto, che è meglio aspettare la risposta di qualche amico esperto e che sappia spiegare bene il concetto!
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