Significato geometrico teorema di Cauchy?
Premetto che frequento il quinto anno di un liceo scientifico e tale significato non è presente sul libro di testo; che non sia comprensibile ad uno studente del quinto anno?
Risposte
Forse non mi sono spiegato.
Quello che ho scritto significa che "supponendo vero" uno qualunque dei tre teoremi se ne ricavano gli altri due.
Entrando nello specifico direi che è immediato constatare che Cauchy implica Lagrange (prendendo $g(x)=x$) e che
Lagrange implica Rolle (se $f(b)=f(a)$ ...). La cosa meno evidente è che Rolle implica Cauchy (lo si fa costruendo la
funzione $h$ scritta in un post precedente).
Tutto quanto scritto nelle tre righe sopra NON dimostra nessuno dei tre teoremi - dice solo che basta dimostrarne uno per
averli tutti tre. Tipicamente si dimostra Rolle (ma in vari libri è diventato costume dimostrare Lagrange, per il suo
significato geometrico)
Quello che ho scritto significa che "supponendo vero" uno qualunque dei tre teoremi se ne ricavano gli altri due.
Entrando nello specifico direi che è immediato constatare che Cauchy implica Lagrange (prendendo $g(x)=x$) e che
Lagrange implica Rolle (se $f(b)=f(a)$ ...). La cosa meno evidente è che Rolle implica Cauchy (lo si fa costruendo la
funzione $h$ scritta in un post precedente).
Tutto quanto scritto nelle tre righe sopra NON dimostra nessuno dei tre teoremi - dice solo che basta dimostrarne uno per
averli tutti tre. Tipicamente si dimostra Rolle (ma in vari libri è diventato costume dimostrare Lagrange, per il suo
significato geometrico)
"ViciousGoblin":
Forse non mi sono spiegato.
Quello che ho scritto significa che "supponendo vero" uno qualunque dei tre teoremi se ne ricavano gli altri due.
Entrando nello specifico direi che è immediato constatare che Cauchy implica Lagrange (prendendo $g(x)=x$) e che
Lagrange implica Rolle (se $f(b)=f(a)$ ...). La cosa meno evidente è che Rolle implica Cauchy (lo si fa costruendo la
funzione $h$ scritta in un post precedente).
Tutto quanto scritto nelle tre righe sopra NON dimostra nessuno dei tre teoremi - dice solo che basta dimostrarne uno per
averli tutti tre. Tipicamente si dimostra Rolle (ma in vari libri è diventato costume dimostrare Lagrange, per il suo
significato geometrico)
Per quanto poco ne possa sapere, nel mio libro di Analisi (Obrecht, Dore, Barozzi), Rolle viene enunciato prima di Lagrange, appunto perché 'serve' per dimostrare Lagrange.
Da notare che il Teorema di Rolle, afferma che esiste un punto in cui la derivata si annulla, ma non fornisce strumenti per determinarlo; ciononostante il teorema ha conseguenze di notevole rilievo.
A causa dell'ipotesi ($ f(a)=f(b)$, è raramente applicabile, infatti con il teorema del Lagrange (o valor medio), tale ipotesi viene rimossa. In altre parole, Lagrange è una generalizzazione del Teorema di Rolle.
Infatti qualora si chieda una dimostrazione del Teorema di Lagrange, si può agire per quanto segue:
si costruisce una funzione che soddisfi le ipotesi di Rolle, posta $ g:[a,b]->R,$ tale che, $g(x) = f(x) - f(a) - (f(b)-f(a))/(b-a)(x-a) $
essa è la somma di $f$ (dalle ipotesi del Teorema di Lagrange) con una funzione polinomiale di primo grado, quindi $g$ è continua dove lo è $f$, ed è derivabile dove lo è $f$; cioè $g$ continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$. Poiché:
$g(a)=0, $ e $g(b)=f(b) - f(a) - (f(b)-f(a))/(b-a)(b-a)=0$,
applicando il teorema di Rolle a $g$, si può concludere che esiste un punto $c in ]a,b[$, tale che $g'(c)=0$, e quindi:
$f'(c)= (f(b)-f(a))/(b-a)$
"iH8u":
Per quanto poco ne possa sapere, nel mio libro di Analisi (Obrecht, Dore, Barozzi), Rolle viene enunciato prima di Lagrange, appunto perché 'serve' per dimostrare Lagrange.
A dire il vero anche il mio testo fa questo! Mi sembra che molti libri facciano lo stesso ragionamento!
Quello che dite è tutto giusto. Però non è scritto nelle tavole della legge che l'ordine delle dimostrazioni debba per forza essere quello tradizionale che riportate voi. In uno dei Bramanti-Pagani-Salsa (analisi 1, mi pare) si dimostra direttamente Lagrange e se ne deriva Rolle come corollario.
È anche una questione di gusti.
È anche una questione di gusti.
"ViciousGoblin":
È anche una questione di gusti.
Giusto. A me, per esempio, sembrerebbe più "lineare" partire da Lagrange e poi Rolle, perché quest'ultimo non è che un caso particolare del primo. Invece si fa l'opposto, probabilmente perché è più facile questa via.
Cordialmente, Alex
È la dimostrazione di Rolle ad essere la più facile e, siccome basta dimostrarne uno, è abbastanza logico che sia quello di più semplice dimostrazione. Anche se sembra che il Pagani Salsa preferisca dimostrare quello di maggior rilevanza.
Io un significato geometrico lo riesco a dare ma non aiuta certo a capire il teorema.
E' sempre possibile troavre un punto c compreso tra a e b tale che i triangoli costruiti con altezza pari al Dy delle funzioni calcolato tra a e b, e con pendenza dell'ipotenusa data dalla tangente in c abbiano la stessa base...
Direi che è molto meglio accontentarsi dell'algebra e non tirare per i capelli la geometria analitica.
E' sempre possibile troavre un punto c compreso tra a e b tale che i triangoli costruiti con altezza pari al Dy delle funzioni calcolato tra a e b, e con pendenza dell'ipotenusa data dalla tangente in c abbiano la stessa base...
Direi che è molto meglio accontentarsi dell'algebra e non tirare per i capelli la geometria analitica.
dare un interpretazione geometrica al teorema di Cauchy con l'analisi standard è impossibile, l'unico modo per avere una dimostrazione visiva è l'uso dell'analisi non standard vedi link seguente: http://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=& ... 8740,d.bGE
Ho ragione?
Ho ragione?
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