Semicirconferenza
nella semicirconferenza di diametro AB=2r,condurre una corda AC (porre BA^C=x) in modo che, detta H la proiezione ortogonale di C su AB, sia verificata la relazione (CB-HB)/AH=1/3. interpretare geometricamente i risultati trovati.
come posso procedere nella risoluzione?
come posso procedere nella risoluzione?
Risposte
Per quanto credo di capire il testo vuole che risolvi il problema con l'ausilio di una sola incognita
Il punto chiave del problema è sapere che ogni triangolo inscritto in una semirconferenza è retto per cui valgono le relazioni:
BC=2r sen[:X]
AC=2r cos[:X]
Inoltre anche il triangolo AC^H è retto essendo H la proiezione ortogonale del punto C lungo il lato AB,quindi:
AH=AC cos[:X]=2r cos[xx(][:X]
HB=2r-AH= 2r(1-cos[xx(][:X])=2r sen[xx(][:X]
Sostituendo i precedenti valori alla relazione fondamentale hai:
(2r sen[:X](1-sen[:X]))/2rcos[xx(][:X]=1/3
ossia:
3sen[:X](1-sen[:X])=cos[xx(][:X]
A questo punto è meglio sbrazzarsi del cos:
3sen[:X]-2sen[xx(][:X]-sen[xx(][:X]-cos[xx(][:X]=0
da cui:
3sen[:X]-2sen[xx(][:X]-1=0
L'equazione è di 2° grado in sen[:X]:
2sen[xx(][:X]-3sen[:X]+1=0
e ha 2 soluzioni
sen[:X]=1/2
oppure
sen[:X]=1
e cioè:
[:X]=[}:)]/6=30° oppure [:X]=[}:)]/2=90°
ma l'ultima ti direi proprio di scartarla
Il punto chiave del problema è sapere che ogni triangolo inscritto in una semirconferenza è retto per cui valgono le relazioni:
BC=2r sen[:X]
AC=2r cos[:X]
Inoltre anche il triangolo AC^H è retto essendo H la proiezione ortogonale del punto C lungo il lato AB,quindi:
AH=AC cos[:X]=2r cos[xx(][:X]
HB=2r-AH= 2r(1-cos[xx(][:X])=2r sen[xx(][:X]
Sostituendo i precedenti valori alla relazione fondamentale hai:
(2r sen[:X](1-sen[:X]))/2rcos[xx(][:X]=1/3
ossia:
3sen[:X](1-sen[:X])=cos[xx(][:X]
A questo punto è meglio sbrazzarsi del cos:
3sen[:X]-2sen[xx(][:X]-sen[xx(][:X]-cos[xx(][:X]=0
da cui:
3sen[:X]-2sen[xx(][:X]-1=0
L'equazione è di 2° grado in sen[:X]:
2sen[xx(][:X]-3sen[:X]+1=0
e ha 2 soluzioni
sen[:X]=1/2
oppure
sen[:X]=1
e cioè:
[:X]=[}:)]/6=30° oppure [:X]=[}:)]/2=90°
ma l'ultima ti direi proprio di scartarla
L'ultima soluzione va scartata perché l'angolo BAC = x varia tra 0 e [}:)]/2
radianti, essendo un'angolo del triangolo rettangolo ABC.
Infatti l'equazione goniometrica utilizzata da denn va discussa
rispetto alle limitazioni: 0 < x < [}:)]/2 (da notare che gli
estremi dell'intervallo sono esclusi). Quindi
si osserva facilmente che le soluzioni devono rientrare
esclusivamente in quest'intervallo, e quindi x = [}:)]/2
non è una soluzione accettabile in quanto [}:)]/2 è solo l'estremo
superiore dell'intervallo 0 < x < [}:)]/2 , e non fa parte dell'intervallo.
radianti, essendo un'angolo del triangolo rettangolo ABC.
Infatti l'equazione goniometrica utilizzata da denn va discussa
rispetto alle limitazioni: 0 < x < [}:)]/2 (da notare che gli
estremi dell'intervallo sono esclusi). Quindi
si osserva facilmente che le soluzioni devono rientrare
esclusivamente in quest'intervallo, e quindi x = [}:)]/2
non è una soluzione accettabile in quanto [}:)]/2 è solo l'estremo
superiore dell'intervallo 0 < x < [}:)]/2 , e non fa parte dell'intervallo.
[}:)]/2 è il limite superiore nn l'estremo superiore
La soluzione x=90° non compare se si
semplifica (come si dovrebbe sempre fare) la relazione
di partenza
(2r sen[:X](1-sen[:X]))/2rcos[xx(][:X]=1/3
esprimendo cos[xx(][:X] in sen[:X] ovvero
cos[xx(][:X]=1-sin[xx(][:X]=(1-sin[:X])(1+sin[:X]).
Per quanto riguarda l'interpretazione geometrica
ve ne possono essere diverse;la piu' immediata e'
che,essendo AC=2rcos(30°)=r[|)]3 , la corda
AC sia uguale al lato del triangolo equilatero
inscritto nella circonferenza (completa) di diametro AB.
karl.
semplifica (come si dovrebbe sempre fare) la relazione
di partenza
(2r sen[:X](1-sen[:X]))/2rcos[xx(][:X]=1/3
esprimendo cos[xx(][:X] in sen[:X] ovvero
cos[xx(][:X]=1-sin[xx(][:X]=(1-sin[:X])(1+sin[:X]).
Per quanto riguarda l'interpretazione geometrica
ve ne possono essere diverse;la piu' immediata e'
che,essendo AC=2rcos(30°)=r[|)]3 , la corda
AC sia uguale al lato del triangolo equilatero
inscritto nella circonferenza (completa) di diametro AB.
karl.
La ragione per cui ho scartato [}:)]/2 oltre la limitazione è che cos[:X] compare al denomintore e non può essere cos[:X]=0
quindi [:X][?][}:)]/2
quindi [:X][?][}:)]/2
karl tanto per curiosità :tu 6 del liceo?
Non e' detto che debba essere cos[:X][?]0 per forza;
considera ad esempio l'equazione
cos[xx(][:X](1-cos[:X])/cos[:X]=0.
Essa ,se si semplifica ,ha comunque la soluzione
cos[:X]=0 che altrimenti andrebbe persa.
Ecco perche',nel dubbio,e' sempre meglio semplificare
prima.
No,non sono del liceo...purtroppo.
karl.
considera ad esempio l'equazione
cos[xx(][:X](1-cos[:X])/cos[:X]=0.
Essa ,se si semplifica ,ha comunque la soluzione
cos[:X]=0 che altrimenti andrebbe persa.
Ecco perche',nel dubbio,e' sempre meglio semplificare
prima.
No,non sono del liceo...purtroppo.
karl.
La condizione di realtà è valida anche dopo le semplificazioni.Se ad esempio hai l'equazione fratta:
3/(x+2)+5x=0
con x[?]-2
anche se trovi la soluzione x=-2 devi per forza dire che l'equazione è impossibile(ecco l'importanza della condizione di realtà).
Solo se l'esercizio fosse stato:
3+5x(x+2)=0
non avresti avuto nessun problema.
3/(x+2)+5x=0
con x[?]-2
anche se trovi la soluzione x=-2 devi per forza dire che l'equazione è impossibile(ecco l'importanza della condizione di realtà).
Solo se l'esercizio fosse stato:
3+5x(x+2)=0
non avresti avuto nessun problema.
Ti faccio un'altro esempio:
Se il tuo ragionamento fosse giusto l'equazione del fascio:
y=mx+q
con m e q eventualmente in funzione del parametro avrebbe la retta parallela all'asse y in quanto posta in forma implicita è possibile annullare il coefficente della y;ma nn è così in quanto la condizione di realtà dura sempre
Se il tuo ragionamento fosse giusto l'equazione del fascio:
y=mx+q
con m e q eventualmente in funzione del parametro avrebbe la retta parallela all'asse y in quanto posta in forma implicita è possibile annullare il coefficente della y;ma nn è così in quanto la condizione di realtà dura sempre
Non vorrei insistere perche' forse partiamo
da situazioni diverse.
In una equazione frazionaria ,prima di ogni
altra operazione,occorre liberare le frazioni
presenti in essa,da ogni fattore superfluo
e poi si puo' imporre la condizione di
possibilita' (non di realta'!).
Nell'esempio ultimo da te proposto ,non ci
sono semplificazioni da fare e quindi la cosa marcia
come dici tu,ma se fosse in questo modo:
3(x+2)[xx(]/(x+2)+5x(x+2)=0?
Le soluzioni,previa la detta semplificazione,sono
x1=-2,x2=-3/5.
In matematica non conviene cambiare le regole
durante il gioco.
karl.
da situazioni diverse.
In una equazione frazionaria ,prima di ogni
altra operazione,occorre liberare le frazioni
presenti in essa,da ogni fattore superfluo
e poi si puo' imporre la condizione di
possibilita' (non di realta'!).
Nell'esempio ultimo da te proposto ,non ci
sono semplificazioni da fare e quindi la cosa marcia
come dici tu,ma se fosse in questo modo:
3(x+2)[xx(]/(x+2)+5x(x+2)=0?
Le soluzioni,previa la detta semplificazione,sono
x1=-2,x2=-3/5.
In matematica non conviene cambiare le regole
durante il gioco.
karl.
Allora inizio col dire che LA SOLUZIONE che trovi deve verificare tutti i passaggi,dal primo all'ultimo.Nel caso che dici tu:
3(x+2)[xx(]/(x+2)+5x(x+2)=0
come puoi vedere ponendo x=-2 ti viene 0/0 e quindi una formula indeterminata.Premesso che possa aver sbagliato con il temine condizione di "possibilità" anzichè "realtà" la questione è sempre la stessa:prima cosa condizione di possibilità ,come la chiami tu, e dopo i passaggi.Se c'è qualcuno come Luca che può intervenire BENE
3(x+2)[xx(]/(x+2)+5x(x+2)=0
come puoi vedere ponendo x=-2 ti viene 0/0 e quindi una formula indeterminata.Premesso che possa aver sbagliato con il temine condizione di "possibilità" anzichè "realtà" la questione è sempre la stessa:prima cosa condizione di possibilità ,come la chiami tu, e dopo i passaggi.Se c'è qualcuno come Luca che può intervenire BENE
Non avevo letto la tua ultima risposta.L'esempio
del fascio non e' appropriato perche' non troverai
mai (dico mai!) in un testo serio un fascio di rette
scritto cosi' y=(k[xx(]-1)/(2k-2)x+3/(k+3) (dove occorre,
per regola, semplificare comunque il fattore comune k-1)
Insomma la semplificazione e' richiesta ,non e'
facoltativa!
karl.
del fascio non e' appropriato perche' non troverai
mai (dico mai!) in un testo serio un fascio di rette
scritto cosi' y=(k[xx(]-1)/(2k-2)x+3/(k+3) (dove occorre,
per regola, semplificare comunque il fattore comune k-1)
Insomma la semplificazione e' richiesta ,non e'
facoltativa!
karl.
Ti invito a leggere questo topic:
https://www.matematicamente.it/forum/top ... IC_ID=3125
in cui infatti chiede:trovare la retta parallela all'asse y
https://www.matematicamente.it/forum/top ... IC_ID=3125
in cui infatti chiede:trovare la retta parallela all'asse y
quote:
Originally posted by denn
[}:)]/2 è il limite superiore nn l'estremo superiore
No![:)] Se io considero l'intervallo I = (0 ; [}:)]/2),
visto che l'intervallo è un insieme, è lecito parlare di estremo
inferiore ed estremo superiore. In questo caso 0 è l'estremo inferiore
e [}:)]/2 è l'estremo superiore. Se l'intervallo fosse stato I = [0 ; [}:)]/2]
allora oltre ad essere estremi, 0 e [}:)]/2 sarebbero stati anche il minimo
e il massimo elemento dell'insieme.
Uffa...ma tutti ce l'hanno proprio contro di me[V].
Allora cito testualmente un testo riguardante la discussione dell'equazioni di 2° grado:
Se l'incognita x è sottoposta alle condizioni
a=
a
Allora cito testualmente un testo riguardante la discussione dell'equazioni di 2° grado:
Se l'incognita x è sottoposta alle condizioni
a=
a
la differenza è che gli estremi (superiore o inferiore) sono contenuti nell'intervallo, i limiti no.Visto che [}:)]/2,come tu hai già dimostrato nn può essere assunto come valore limite dell'incognita [:X] si ha:
0<[:X]<[}:)]/2
0<[:X]<[}:)]/2
Il tuo cmq è un errore formale come quello che tu mi segnalasti,nn so in quale topic,a riguardo la differenza tra dominio e condizione di esistenza
Tutti gli esempi portati da denn si riferiscono
a casi in cui la ormai famosa semplificazione
non c'entra un bel nulla per il semplice motivo
ch non c'e' niente da semplificare!
Nel problema di chiaretta e negli altri casi
che ho portato come esempi invece la (ormai
famosissima ) semplificazione si DEVE
fare.
Dico questo non per aver ragione per forza (in genere
sono tollerante) ma perche' non si propaghi da questo
topic un errore concettuale che ritengo assai grave.
karl.
a casi in cui la ormai famosa semplificazione
non c'entra un bel nulla per il semplice motivo
ch non c'e' niente da semplificare!
Nel problema di chiaretta e negli altri casi
che ho portato come esempi invece la (ormai
famosissima ) semplificazione si DEVE
fare.
Dico questo non per aver ragione per forza (in genere
sono tollerante) ma perche' non si propaghi da questo
topic un errore concettuale che ritengo assai grave.
karl.
Ti ripeto:l'equazione
(2r sen[:X](1-sen[:X]))/2rcos[xx(][:X]=1/3
è valida per cos[:X][?]0
francamente nn vedo dove sia questa semplificazione nei miei passaggi
(2r sen[:X](1-sen[:X]))/2rcos[xx(][:X]=1/3
è valida per cos[:X][?]0
francamente nn vedo dove sia questa semplificazione nei miei passaggi
Denn, leggendo il tuo testo direi
che la definizione che esso dà di a e b è perfettamente
analoga a quella di estremo inferiore e superiore.
che la definizione che esso dà di a e b è perfettamente
analoga a quella di estremo inferiore e superiore.
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