Radicale (Ultimi dubbi)
Questi sono gli ultimi dubbi sui radicali, ormai ho quasi finito di farli come si deve. Arriviamo al dunque, mi trovo nel semplificare il denominatore di questi radicali:
$ sqrt(2)*sqrt(5)/sqrt(2)-sqrt(12)/sqrt(5)*sqrt(5) $
Arriverò alla seguente semplificazione:
$ 2*sqrt(5)/2-sqrt(12)/5*5 $
Arrivati a questo passaggio , comincio ad essere confuso, non comprendo il perchè del risultato (che ovviamente è giusto):
$ 1/2sqrt(10)-2/5sqrt(15) $
Insomma, quando mi trovo a questo punto,
$ 2*sqrt(5)/2-sqrt(12)/5*5 $
Non capisco perchè devo moltiplicare $ 2*5 $ e $ 12*5 $ sotto il segno di radice
Quel $ 2 $ e $ 5 $ non dovrebbero diventare $ sqrt(2^2) $ e $ sqrt(5^2) $ quando entrano sotto la radice?
$ sqrt(2)*sqrt(5)/sqrt(2)-sqrt(12)/sqrt(5)*sqrt(5) $
Arriverò alla seguente semplificazione:
$ 2*sqrt(5)/2-sqrt(12)/5*5 $
Arrivati a questo passaggio , comincio ad essere confuso, non comprendo il perchè del risultato (che ovviamente è giusto):
$ 1/2sqrt(10)-2/5sqrt(15) $
Insomma, quando mi trovo a questo punto,
$ 2*sqrt(5)/2-sqrt(12)/5*5 $
Non capisco perchè devo moltiplicare $ 2*5 $ e $ 12*5 $ sotto il segno di radice
Quel $ 2 $ e $ 5 $ non dovrebbero diventare $ sqrt(2^2) $ e $ sqrt(5^2) $ quando entrano sotto la radice?
Risposte
Una piccola chicca per il futuro Baldo, In generale le condizioni che ti ho dato valgono solo in $RR$.
in realtà $m^2=-2$ sull'insieme dei complessi ha due soluzioni , se poni $i=sqrt-1$ (unità immaginaria) , le soluzioni sono date da $m_1=sqrt2i , m_2=-sqrt2i$. Quando toccherete l'argomento più avanti a scuola, ne risulterai molto sorpreso
.
Per il momento non dico altro.
in realtà $m^2=-2$ sull'insieme dei complessi ha due soluzioni , se poni $i=sqrt-1$ (unità immaginaria) , le soluzioni sono date da $m_1=sqrt2i , m_2=-sqrt2i$. Quando toccherete l'argomento più avanti a scuola, ne risulterai molto sorpreso
.Per il momento non dico altro.
"Kashaman":
Una piccola chicca per il futuro Baldo, In generale le condizioni che ti ho dato valgono solo in $RR$.
in realtà $m^2=-2$ sull'insieme dei complessi ha due soluzioni , se poni $i=sqrt-1$ (unità immaginaria) , le soluzioni sono date da $m_1=sqrt2i , m_2=-sqrt2i$. Quando toccherete l'argomento più avanti a scuola, ne risulterai molto sorpreso
Per il momento non dico altro.
Ok, per il momento lasciamo stare i numeri complessi
, ho ancora un bel po' da fare in $ R $ 
Se io ho $ x^2=y $ so che deve essere $ x=+-sqrt(y) $ , giusto?
Ma perchè non può essere $ x^2=y=>x=y^2 $
Spiego il mio dubbio....
Dovrebbe essere così?
$ x^2=y => x=y^2 $, perchè invece diventa $ x=+-sqrt(y) $
Ma perchè non può essere $ x^2=y=>x=y^2 $
Spiego il mio dubbio....
Dovrebbe essere così?
$ x^2=y => x=y^2 $, perchè invece diventa $ x=+-sqrt(y) $
La risposta dipende dal contesto in cui si trova la domanda.
Se hai un'equazione, ad esempio la tua $x^2=y$ occorre scrivere $x=+-sqrty$; si dice che consideriamo la radice in senso algebrico.
Se invece trovi una radice già scritta il risultato va preso in senso aritmetico, cioè considerando la sola soluzione positiva: è una convenzione fatta per non avere difficoltà di altro tipo. Ad esempio $sqrt9=+3$, anche se anche $-3$, elevato al quadrato, dà 9.
Quanto al tuo $x^2=y=>x=y^2$, hai avuto un piccolo attacco di pazzia: prova a mettere al posto di $x,y$ due numeri (escludi 0 e 1) che rendano vera una delle due formule e vedrai che l'altra è falsa. Ad esempio, per x=3 e y=9 hai $3^2=9=>3=9^2$
Se hai un'equazione, ad esempio la tua $x^2=y$ occorre scrivere $x=+-sqrty$; si dice che consideriamo la radice in senso algebrico.
Se invece trovi una radice già scritta il risultato va preso in senso aritmetico, cioè considerando la sola soluzione positiva: è una convenzione fatta per non avere difficoltà di altro tipo. Ad esempio $sqrt9=+3$, anche se anche $-3$, elevato al quadrato, dà 9.
Quanto al tuo $x^2=y=>x=y^2$, hai avuto un piccolo attacco di pazzia: prova a mettere al posto di $x,y$ due numeri (escludi 0 e 1) che rendano vera una delle due formule e vedrai che l'altra è falsa. Ad esempio, per x=3 e y=9 hai $3^2=9=>3=9^2$
"giammaria":
Quanto al tuo $x^2=y=>x=y^2$, hai avuto un piccolo attacco di pazzia: prova a mettere al posto di $x,y$ due numeri (escludi 0 e 1) che rendano vera una delle due formule e vedrai che l'altra è falsa. Ad esempio, per x=3 e y=9 hai $3^2=9=>3=9^2$
Hai pienamente ragione! 
non è un piccolo attacco, ma un grande attacco di pazzia! 
Ok, perfetto
! Ancora una domanda.... Come si chiama la regola che si applica quando risolvo in questo modo?
$ sqrt(2)=sqrt(3)=>(sqrt(2))^2=(sqrt(3))^2=>2=3 $
Cioè quando elevo al quadrato entrambi i membri....
P.S. Anche se la regola che non ricordo come si chiama è utilizzata in modo corretto, penso che l'uguaglianza non è vera, giusto?
Ma che differenza c'e' tra radicale algebrico e radicale aritmedico?
Come si risolve questo radicale?
$ root(2k)(x^(2k+m)) $
$ root(2k)(x^(2k+m)) $
Ultima domanda:
$root(2k)(x^(2k+m))=root(2k)(x^(2k))*root(2k)(x^m)=|x|* root(2k)(x^m)$
Penultima: con indice dispari non c'è differenza (a meno di sottigliezze che quasi nessuno fa); con indice pari il radicale aritmetico considera la sola soluzione positiva, mentre quello algebrico considera anche quella negativa. Il simbolo di radice indica il senso aritmetico, quindi $sqrt 9=+3$; se avessimo voluto il senso algebrico il risultato sarebbe stato $+-3$.
Terz'ultima (di agosto): non mi risulta che quella regola abbia un nome particolare.
$root(2k)(x^(2k+m))=root(2k)(x^(2k))*root(2k)(x^m)=|x|* root(2k)(x^m)$
Penultima: con indice dispari non c'è differenza (a meno di sottigliezze che quasi nessuno fa); con indice pari il radicale aritmetico considera la sola soluzione positiva, mentre quello algebrico considera anche quella negativa. Il simbolo di radice indica il senso aritmetico, quindi $sqrt 9=+3$; se avessimo voluto il senso algebrico il risultato sarebbe stato $+-3$.
Terz'ultima (di agosto): non mi risulta che quella regola abbia un nome particolare.
Ma la seguente, come posso risolverla?
$ (sqrt(3)-1)/(sqrt(3)+2)=.... $
$ (sqrt(3)-1)/(sqrt(3)+2)=.... $
razionalizza:
$ (sqrt(3)-1)/(sqrt(3)+2)= ((sqrt(3)-1)(sqrt(3)-2))/((sqrt(3)+2)(sqrt(3)-2))=.... $
$ (sqrt(3)-1)/(sqrt(3)+2)= ((sqrt(3)-1)(sqrt(3)-2))/((sqrt(3)+2)(sqrt(3)-2))=.... $
Ok per la razionalizzazione, avevo pensato che quella e' la soluzione, solo che non mi e' venuto in mente per cosa dovevo moltiplicare?!?!?
Cosa ti ha fatto dedurre che bisognava moltiplicare per $ (sqrt(3)-2) $
Cosa ti ha fatto dedurre che bisognava moltiplicare per $ (sqrt(3)-2) $
Moltiplicando per $(sqrt3-2)/(sqrt3-2)$. Sul tuo libro trovi di sicuro le regole Per razionalizzare il denominatore.
Le regole del razionalizzare sono le solite regole che eliminano un numero irrazionale al denominatore, giusto fin qui'?
Non sono andato ancora a vedere sul testo, sto cercando di vedere se ricordo il perche' e poi verifico se cio' che sto dicendo e' vero o no,
Se ho un radicale singolarmente senza altri valori numerici che lo addizzionano o lo sottraggono, moltiplico numeratore e denominatore per lo stesso radicale, bene, mentre se ho un caso tipo quello proposto nel mio ultimo messaggio, si e' preferito moltiplicare per lo stesso radicale ma con il valore opposto del valore numerico intero, ho detto bene?
Non sono andato ancora a vedere sul testo, sto cercando di vedere se ricordo il perche' e poi verifico se cio' che sto dicendo e' vero o no,
Se ho un radicale singolarmente senza altri valori numerici che lo addizzionano o lo sottraggono, moltiplico numeratore e denominatore per lo stesso radicale, bene, mentre se ho un caso tipo quello proposto nel mio ultimo messaggio, si e' preferito moltiplicare per lo stesso radicale ma con il valore opposto del valore numerico intero, ho detto bene?
Sì; si sfrutta il prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
"giammaria":
Sì; si sfrutta il prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
Si usa questa regola, per questi casi ....
Ovviamente se il segno del numero intero fosse stato negativo, avrei dovuto moltiplicare per $ sqrt(3)+2 $ giusto? Grazie mille
Ovviamente.
"giammaria":
Ovviamente.
Perfetto, per fortuna il mio testo negli argomenti che studio, mi richiama argomenti già fatti, almeno posso riprenderli in queste occasioni!
Ma se ho il seguente radicale, come conciene risolverlo?
$ 6-sqrt6 -2sqrt3 +3sqrt(4-2sqrt3) $
$ 6-sqrt6 -2sqrt3 +3sqrt(4-2sqrt3) $
Si ha
$sqrt(4-2sqrt3)=sqrt(3+1-2sqrt3)=sqrt((sqrt3-1)^2)=sqrt3-1$
quindi il tuo calcolo dà
$6-sqrt6-2sqrt3+3(sqrt3-1)=...=3-sqrt6+sqrt3$
$sqrt(4-2sqrt3)=sqrt(3+1-2sqrt3)=sqrt((sqrt3-1)^2)=sqrt3-1$
quindi il tuo calcolo dà
$6-sqrt6-2sqrt3+3(sqrt3-1)=...=3-sqrt6+sqrt3$
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