Prove di maturità
Buonasera, scuste il disturbo, vorrei capirci qualcosa delle prove di maturità che fanno al liceo:
PROBLEMA 1
Si consideri la funzione $f(x)=log((x+1)/(x^2+2))$
1. Si studi tale funzione e si tracci il suo grafico $v$, su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy).
2. Si scriva l’equazione della tangente alla curva $v$ nel punto di intersezione con l’asse y.
3. Si studi la funzione $g(x)=e^f(x)$ e se ne tracci il grafico Γ.
4. Si calcoli l’area della superficie piana, delimitata dalla curva Γ, dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione $x=sqrt(2$).
PROBLEMA 2
In un piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani (Oxy), è assegnata la parabola $p$ di equazione $y=x^2+x+1$
1. Condotte per il punto O le rette tangenti alla parabola, trovare le coordinate dei punti A e B di contatto.
2. Trovare le coordinate del punto C, situato da parte opposta di O rispetto alla retta AB, tale che il triangolo ABC sia isoscele e rettangolo in C.
3. Determinare l’equazione della circonferenza k avente il centro in C e passante per A.
4. Determinare in quante parti la parabola p divide il cerchio delimitato da k.
Allora del PROBLEMA 1 mi pare di aver capito che per quanto concerne i punti 1. 2. 3. forse ce la faccio a farli (evidenzio 'FORSE'al massimo li pubblico man mano su questo topic)....ma il punto 4. no, potreste aiutarmi?
PROBLEMA 2: allora la prima cosa che faccio è lo studio di funzione di $f(x)=x^2+x+1$...poi disegno rette tangenti(che però dovrebbe essere una sola, non capisco perchè la consegna parli al plurale),il punto 2. non sarei capace a farlo, neanche il 3. e inconseguenza neanche il 4. Mi aiutate almeno a capire per favore?
PROBLEMA 1
Si consideri la funzione $f(x)=log((x+1)/(x^2+2))$
1. Si studi tale funzione e si tracci il suo grafico $v$, su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy).
2. Si scriva l’equazione della tangente alla curva $v$ nel punto di intersezione con l’asse y.
3. Si studi la funzione $g(x)=e^f(x)$ e se ne tracci il grafico Γ.
4. Si calcoli l’area della superficie piana, delimitata dalla curva Γ, dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione $x=sqrt(2$).
PROBLEMA 2
In un piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani (Oxy), è assegnata la parabola $p$ di equazione $y=x^2+x+1$
1. Condotte per il punto O le rette tangenti alla parabola, trovare le coordinate dei punti A e B di contatto.
2. Trovare le coordinate del punto C, situato da parte opposta di O rispetto alla retta AB, tale che il triangolo ABC sia isoscele e rettangolo in C.
3. Determinare l’equazione della circonferenza k avente il centro in C e passante per A.
4. Determinare in quante parti la parabola p divide il cerchio delimitato da k.
Allora del PROBLEMA 1 mi pare di aver capito che per quanto concerne i punti 1. 2. 3. forse ce la faccio a farli (evidenzio 'FORSE'al massimo li pubblico man mano su questo topic)....ma il punto 4. no, potreste aiutarmi?
PROBLEMA 2: allora la prima cosa che faccio è lo studio di funzione di $f(x)=x^2+x+1$...poi disegno rette tangenti(che però dovrebbe essere una sola, non capisco perchè la consegna parli al plurale),il punto 2. non sarei capace a farlo, neanche il 3. e inconseguenza neanche il 4. Mi aiutate almeno a capire per favore?
Risposte
Dai, comincia ... poi vediamo se serve aiuto ... 
... (il punto 1.4 mi sembra solo un integrale definito ... e le tangenti alla parabola sono due ...)
... (il punto 1.4 mi sembra solo un integrale definito ... e le tangenti alla parabola sono due ...)
Salve ramarro,
mi dispiace informarti che oramai la prova di maturità di matematica è profondamente cambiata. Resta il fatto che risolvere questi problemi di "Analisi" non guasta mai per fare un po di pratica, anche se come ti ripeto, hanno cambiato lo "spirito" della prova. Prova a fare qualche passaggio tu e sarò felice di aiutarti. Tra l'altro mi pare anche di averlo già svolto questo problema
mi dispiace informarti che oramai la prova di maturità di matematica è profondamente cambiata. Resta il fatto che risolvere questi problemi di "Analisi" non guasta mai per fare un po di pratica, anche se come ti ripeto, hanno cambiato lo "spirito" della prova. Prova a fare qualche passaggio tu e sarò felice di aiutarti. Tra l'altro mi pare anche di averlo già svolto questo problema
allora svolgo lo studio di funzione
INSIEME DI DEFINIZIONE
$(-1;+oo)$
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
Asse x
nessuna intersezione
Asse y
intersezione in $log(1/2)$
STUDIO DEL SEGNO
$log((x+1)/(x^2+2))>=0$
sempre negativo
LIMITI
$lim_(x->-1)=-oo$
$lim_(x->+oo)=-oo$
DERIVATA
$(1/((x+1)/(x^2+2)))((x^2+2)+(x+1))$
$(x^3+2x^2+4x+3)/(x^2+2)$
USO RUFFINI
divido per $-1$
ricavo: $(x+1)(-x^2-x+3)$
la funzione sale fino a $((1-sqrt(13))/(-2))$
LA DERIVATA SECONDA NON PENSO SIA UTILE
passo al 2°PUNTO
la retta tangente
$y-f(xo)=f'(xo)(x-xo)$
$y-log((log(1/2)+1)/([log(1/2)]^2+2))=1/((log(1/2)+1)/([log(1/2)]^2+2))([log(1/2)]^2+log(1/2))(2log(1/2))(x-log(1/2))$
poi bo....per il resto provo a continuare però se potete fornirmelo gradirei un aiutino, per esempio anche il punto 3....$g(x)=e^(f(x))$ ma io non conosco la $f(x)$ come faccio?poi ovviamente pian piano questi punti vorrei farli tutti, ovvio non tutti in un giorno, pian piano
Cordiali saluti
INSIEME DI DEFINIZIONE
$(-1;+oo)$
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
Asse x
nessuna intersezione
Asse y
intersezione in $log(1/2)$
STUDIO DEL SEGNO
$log((x+1)/(x^2+2))>=0$
sempre negativo
LIMITI
$lim_(x->-1)=-oo$
$lim_(x->+oo)=-oo$
DERIVATA
$(1/((x+1)/(x^2+2)))((x^2+2)+(x+1))$
$(x^3+2x^2+4x+3)/(x^2+2)$
USO RUFFINI
divido per $-1$
ricavo: $(x+1)(-x^2-x+3)$
la funzione sale fino a $((1-sqrt(13))/(-2))$
LA DERIVATA SECONDA NON PENSO SIA UTILE
passo al 2°PUNTO
la retta tangente
$y-f(xo)=f'(xo)(x-xo)$
$y-log((log(1/2)+1)/([log(1/2)]^2+2))=1/((log(1/2)+1)/([log(1/2)]^2+2))([log(1/2)]^2+log(1/2))(2log(1/2))(x-log(1/2))$
poi bo....per il resto provo a continuare però se potete fornirmelo gradirei un aiutino, per esempio anche il punto 3....$g(x)=e^(f(x))$ ma io non conosco la $f(x)$ come faccio?poi ovviamente pian piano questi punti vorrei farli tutti, ovvio non tutti in un giorno, pian piano
Cordiali saluti
Mi sembra tutto OK fino alla derivata che hai sbagliato... ricorda la formula per la derivata di un rapporto...
Direi che viene
$y'=(2-2x-x^2)/((x+1)(x^2+2))$
però meglio che ricontrolli
Direi che viene
$y'=(2-2x-x^2)/((x+1)(x^2+2))$
però meglio che ricontrolli
Ho dato uno sguardo veloce e mi pare che fino ai limiti sia ok, mentre nella derivata prima c'è un piccolo errore, rivedila ...
Non sono andato oltre ...
Cordialmente, Alex
Non sono andato oltre ...
Cordialmente, Alex
Beh per il punto 3 ti stanno chiedendo di studiare $g(x)=e^f(x)$ cioè $e^log((x+1)/(x^2+2))$ che si semplifica in $g(x)=(x+1)/(x^2+2)$, assumendo come $log$ il logaritmo naturale...
"axpgn":
Ho dato uno sguardo veloce e mi pare che fino ai limiti sia ok, mentre nella derivata prima c'è un piccolo errore, rivedila ...
Non sono andato oltre ...
Cordialmente, Alex
ciao Alex si glielo ho scritto sopra... sembra anche a me
Per il punto 2, se prendiamo per buona la derivata che ti ho calcolato sopra, sarà da trovare la tangente alla curva in $A(0,log(1/2))$
$y'=(2-2x-x^2)/((x+1)(x^2+2))$
Allora calcoliamo
$y'(0)=1$
che è il coefficiente angolare della tua retta
$y=x+q$
Ma la retta passa per $A$ quindi
$q=log(1/2)$
per cui la tangente è
$y=x+log(1/2)$
$y'=(2-2x-x^2)/((x+1)(x^2+2))$
Allora calcoliamo
$y'(0)=1$
che è il coefficiente angolare della tua retta
$y=x+q$
Ma la retta passa per $A$ quindi
$q=log(1/2)$
per cui la tangente è
$y=x+log(1/2)$
Per il punto 3 ti ha risposto xAle
per il punto 4 devi fare l'integrale tra $0$ e $sqrt2$ della tua funzione... ci provi?
per il punto 4 devi fare l'integrale tra $0$ e $sqrt2$ della tua funzione... ci provi?
"mazzarri":
ciao Alex si glielo ho scritto sopra... sembra anche a me
Abbiamo scritto contemporaneamente ... l'errore c'è ...
RIECCOMI;ok si è vero, ho sbagliato la derivata, è giusta quella che avete detto voi...per quanto concerne la retta tangente io sono abituato a usare la formula $y-f(xo)=f'(xo)(x-xo)$
quindi, tengo conto del fatto che l'intersezione con l'asse delle $y$ la abbiamo in $(0;log(1/2))$, come qualcuno di voi ha scritto, quindi
$y-log(1/2)=x$, appena concludo provo a fare il punto 4 seguendo il consiglio di mazzarri....
PUNTO 4
Allora il discorso che ruota intorno al punto 4 l'ho capito, praticamente, io possiedo gia il disegno della funzione, dato che lo ho svolto durante lo studio di quest'ultima, il testo a questo punto è come se mi chiedesse di tirare la linea $x=sqrt(2)$ e vedere l'area inclusa fra il grafico della funzione, l'asse $y$, e appunto $x=sqrt(2)$.
Gli estremi sono quindo $0,sqrt2$.
Peccato che sia difficilissimo....io arrivo a $xlog((x+1)/(x^2+2))-(int(-x^3/((x+1)(x^2+2))-2int((x)/(x^2+2)))$
poi però so che l'integrale alla fine mi darà un $arctagx$ perchè è di quel genere, mentre $int(-x^3/((x+1)(x^2+2))$ non so proprio che pesci pigliare.
Cordialmente,
quindi, tengo conto del fatto che l'intersezione con l'asse delle $y$ la abbiamo in $(0;log(1/2))$, come qualcuno di voi ha scritto, quindi
$y-log(1/2)=x$, appena concludo provo a fare il punto 4 seguendo il consiglio di mazzarri....
PUNTO 4
Allora il discorso che ruota intorno al punto 4 l'ho capito, praticamente, io possiedo gia il disegno della funzione, dato che lo ho svolto durante lo studio di quest'ultima, il testo a questo punto è come se mi chiedesse di tirare la linea $x=sqrt(2)$ e vedere l'area inclusa fra il grafico della funzione, l'asse $y$, e appunto $x=sqrt(2)$.
Gli estremi sono quindo $0,sqrt2$.
Peccato che sia difficilissimo....io arrivo a $xlog((x+1)/(x^2+2))-(int(-x^3/((x+1)(x^2+2))-2int((x)/(x^2+2)))$
poi però so che l'integrale alla fine mi darà un $arctagx$ perchè è di quel genere, mentre $int(-x^3/((x+1)(x^2+2))$ non so proprio che pesci pigliare.
Cordialmente,
Moltiplica al den, dividi num / den, scomponi in fratti e ... basta
Uongiorno, ok grz a axpgn per il metodo da applicare....cmq mi ero dimenticato di pubblicare il PUNTO 3, quindi devo fare lo studio di funzione di $g(x)=(x+1)/(x^2+2)$
INSIEME DI DEFINIZIONE
$(-oo;+oo)$
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
Asse-x: $x=-1$
Asse-y:$1/2$
STUDIO DEL SEGNO
numeratore:$x>-1$
denominatore:sempre
LIMITI
$lim_(x->-oo)=0$ è uno 0 che sta un poco al di sotto dell'asse x
$lim_(x->+oo)=0$ è uno 0 che sta un poco al di sopra dell'asse x
CRESCENZA O DECRESCENZA
negativo per $(-oo;-1-sqrt(3))$
positivo per $(-1-sqrt(2);1+sqrt(3)]$
poidi nuovo negativo....
ok il problema $1$ cosi dovrebbe essere a posto, se siete d'accordo passiamo al secondo problema.
Grazie a tutti per l'aiuto datomi finora
INSIEME DI DEFINIZIONE
$(-oo;+oo)$
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
Asse-x: $x=-1$
Asse-y:$1/2$
STUDIO DEL SEGNO
numeratore:$x>-1$
denominatore:sempre
LIMITI
$lim_(x->-oo)=0$ è uno 0 che sta un poco al di sotto dell'asse x
$lim_(x->+oo)=0$ è uno 0 che sta un poco al di sopra dell'asse x
CRESCENZA O DECRESCENZA
negativo per $(-oo;-1-sqrt(3))$
positivo per $(-1-sqrt(2);1+sqrt(3)]$
poidi nuovo negativo....
ok il problema $1$ cosi dovrebbe essere a posto, se siete d'accordo passiamo al secondo problema.
Grazie a tutti per l'aiuto datomi finora
"ramarro":
PUNTO 3, quindi devo fare lo studio di funzione di $g(x)=(x+1)/(x^2+2)$
ok il problema $1$ cosi dovrebbe essere a posto, se siete d'accordo passiamo al secondo problema.
Questa funzione la devi studiare quindi non hai finito... hai dimenticato di inserire derivata prima e seconda, sono importanti entrambe
inoltre la derivata prima si annulla in $-1+-sqrt3$ non dove dici tu ricontrolla...
ciao ramarro
ok....allora si, la derivata prima da i risultati:$(2+sqrt(12))/(-2)$; $(2-sqrt(12))/(-2)$
che poi si ho effettivamente portato fuori dalla radice sbagliando perchè $2-sqrt(2^2*3)=2-2sqrt(3)$ poi il tutto fratto $(-2)$ quindi al numeratore avrò $-1+sqrt(3)$, ora rimetterò in ordine il topic precedente con i numeri giusti
La derivata prima a ogni modo era $(-x^2-2x+2)/(x^2+2)^2$
La derivata seconda mi viene: $2/(x^2+2)^3(x^3+3x^2-6x-2)$
Cordiali saluti
che poi si ho effettivamente portato fuori dalla radice sbagliando perchè $2-sqrt(2^2*3)=2-2sqrt(3)$ poi il tutto fratto $(-2)$ quindi al numeratore avrò $-1+sqrt(3)$, ora rimetterò in ordine il topic precedente con i numeri giusti
La derivata prima a ogni modo era $(-x^2-2x+2)/(x^2+2)^2$
La derivata seconda mi viene: $2/(x^2+2)^3(x^3+3x^2-6x-2)$
Cordiali saluti
"ramarro":
La derivata prima a ogni modo era $(-x^2-2x+2)/(x^2+2)^2$
yes
adesso prova la derivata seconda
non sarà affatto semplice ma provaci
l'ho scritta sopra per mettere tutto in un unico messaggio:)
bene io inizio con il secondo problema...allora inizio a disegnare la parabola $x^2+x+1$
La parabola si disegna in base i punti sottostanti
Trovare le coordinate del vertice $(-1/2;3/4)$
Trovare intersezione asse y: $1$
Trovare intersezione asse x(non sempre c'è): in questo caso non c'è
Disegnare la funzione
Ok fino qui l'ho fatto poi ho anche tracciato le rette tangenti e ora devo determinare i punti di intersezione
Allora:dato che le rette tangenti partono dall'origine, e quest'ultima non fa parte della parabola, devo fare cosi:
SISTEMA
$y=x^2+x+1$
$y-yp=m(x-xp)$ con $xp$ e $yp$ mi riferisco alle coordinate di quel punto in cui passano le rette....cioè le rette tangenti passano per $O$ quindi sarebbero $Ox;Oy$ solo che io gli ho chiamati con la $P$ per dire 'punto'.
rislvendo il sistema ricavo $x^2+1$ però onestamente dovrei prima capire in base a $m$ se $m1=m2$ allora è una sola retta tangente, se $m1!=m2$ sono 2 rette tangenti, ma non so come verificarlo anche se so a priori che sono 2....come si fanno, ragazzi sto squagliando dal caldo a furia di leggere qua e là, come si verifica se sono 1 o 2 e se il punto è incluso/escluso dalla parabola?
Grazie
Cordiali saluti
La parabola si disegna in base i punti sottostanti
Trovare le coordinate del vertice $(-1/2;3/4)$
Trovare intersezione asse y: $1$
Trovare intersezione asse x(non sempre c'è): in questo caso non c'è
Disegnare la funzione
Ok fino qui l'ho fatto poi ho anche tracciato le rette tangenti e ora devo determinare i punti di intersezione
Allora:dato che le rette tangenti partono dall'origine, e quest'ultima non fa parte della parabola, devo fare cosi:
SISTEMA
$y=x^2+x+1$
$y-yp=m(x-xp)$ con $xp$ e $yp$ mi riferisco alle coordinate di quel punto in cui passano le rette....cioè le rette tangenti passano per $O$ quindi sarebbero $Ox;Oy$ solo che io gli ho chiamati con la $P$ per dire 'punto'.
rislvendo il sistema ricavo $x^2+1$ però onestamente dovrei prima capire in base a $m$ se $m1=m2$ allora è una sola retta tangente, se $m1!=m2$ sono 2 rette tangenti, ma non so come verificarlo anche se so a priori che sono 2....come si fanno, ragazzi sto squagliando dal caldo a furia di leggere qua e là, come si verifica se sono 1 o 2 e se il punto è incluso/escluso dalla parabola?
Grazie
Cordiali saluti
RETTIFICO PER QUANTO MI è POSSIBILE ...
Allora il sistema per come è impostato sopra mi sembra giusto....solo che da quest'ultimo citato ricavo $x^2+x-mx+1=0$
$x^2+x(1-m^2)+1=0$
ora devo fare il discriminante facendo finta che non ci siano le incognite $x$... $b^2-4ac$
$(1-m)^2-4$
$1-2m+m^2-4$
$m^2-2m-3$
ora uso la forumla $(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
$mA=3;mB=-1$
poi devo continuare a fare il resto
gradirei i vostri feedback
Cordiali saluti
Allora il sistema per come è impostato sopra mi sembra giusto....solo che da quest'ultimo citato ricavo $x^2+x-mx+1=0$
$x^2+x(1-m^2)+1=0$
ora devo fare il discriminante facendo finta che non ci siano le incognite $x$... $b^2-4ac$
$(1-m)^2-4$
$1-2m+m^2-4$
$m^2-2m-3$
ora uso la forumla $(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
$mA=3;mB=-1$
poi devo continuare a fare il resto
gradirei i vostri feedback
Cordiali saluti
ciao Ramarro!!
io quando dovevo risolvere questo tipo di problemi (tangente condotta ad una curva per un punto esterno) avevo un metodo che seguivo sempre.
Si tratta di risolvere un sistema di 3 equazioni in 3 incognite, te lo spiego
Anzitutto la parabola è $y=x^2+x+1$ e la sua derivata è $y'=2x+1$
Le rette tangenti fanno parte di un fascio passante per l'origine quindi saranno tutte del tipo
$y=mx$ con $m$ incognito
Se $P(x_0,y_0)$ è il generico punto di tangenza, incognito, abbiamo le tre equazioni
${(m=2x_0+1),(y_0=mx_0),(y_0=x_0^2+x_0+1):}$
la prima deriva dal fatto che il coefficiente angolare della retta tangente equivale alla derivata prima della funzione calcolata in $x_0$
la seconda deriva dal fatto che il punto $P$ appartiene alla retta
la terza deriva dal fatto che il punto $P$ appartiene alla parabola
riesci a risolverlo? E' molto semplice e se non vado errato il risultato dovrebbe fornire DUE punti di tangenza
$B(1,3)$ $A(-1,1)$
e le rette tangenti dovrebbero essere
$y=3x$ e $y=-x$
and we have done...
tutto chiaro? allego foto ciao
io quando dovevo risolvere questo tipo di problemi (tangente condotta ad una curva per un punto esterno) avevo un metodo che seguivo sempre.
Si tratta di risolvere un sistema di 3 equazioni in 3 incognite, te lo spiego
Anzitutto la parabola è $y=x^2+x+1$ e la sua derivata è $y'=2x+1$
Le rette tangenti fanno parte di un fascio passante per l'origine quindi saranno tutte del tipo
$y=mx$ con $m$ incognito
Se $P(x_0,y_0)$ è il generico punto di tangenza, incognito, abbiamo le tre equazioni
${(m=2x_0+1),(y_0=mx_0),(y_0=x_0^2+x_0+1):}$
la prima deriva dal fatto che il coefficiente angolare della retta tangente equivale alla derivata prima della funzione calcolata in $x_0$
la seconda deriva dal fatto che il punto $P$ appartiene alla retta
la terza deriva dal fatto che il punto $P$ appartiene alla parabola
riesci a risolverlo? E' molto semplice e se non vado errato il risultato dovrebbe fornire DUE punti di tangenza
$B(1,3)$ $A(-1,1)$
e le rette tangenti dovrebbero essere
$y=3x$ e $y=-x$
and we have done...
tutto chiaro? allego foto ciao
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