Prove di maturità
Buonasera, scuste il disturbo, vorrei capirci qualcosa delle prove di maturità che fanno al liceo:
PROBLEMA 1
Si consideri la funzione $f(x)=log((x+1)/(x^2+2))$
1. Si studi tale funzione e si tracci il suo grafico $v$, su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy).
2. Si scriva l’equazione della tangente alla curva $v$ nel punto di intersezione con l’asse y.
3. Si studi la funzione $g(x)=e^f(x)$ e se ne tracci il grafico Γ.
4. Si calcoli l’area della superficie piana, delimitata dalla curva Γ, dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione $x=sqrt(2$).
PROBLEMA 2
In un piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani (Oxy), è assegnata la parabola $p$ di equazione $y=x^2+x+1$
1. Condotte per il punto O le rette tangenti alla parabola, trovare le coordinate dei punti A e B di contatto.
2. Trovare le coordinate del punto C, situato da parte opposta di O rispetto alla retta AB, tale che il triangolo ABC sia isoscele e rettangolo in C.
3. Determinare l’equazione della circonferenza k avente il centro in C e passante per A.
4. Determinare in quante parti la parabola p divide il cerchio delimitato da k.
Allora del PROBLEMA 1 mi pare di aver capito che per quanto concerne i punti 1. 2. 3. forse ce la faccio a farli (evidenzio 'FORSE'al massimo li pubblico man mano su questo topic)....ma il punto 4. no, potreste aiutarmi?
PROBLEMA 2: allora la prima cosa che faccio è lo studio di funzione di $f(x)=x^2+x+1$...poi disegno rette tangenti(che però dovrebbe essere una sola, non capisco perchè la consegna parli al plurale),il punto 2. non sarei capace a farlo, neanche il 3. e inconseguenza neanche il 4. Mi aiutate almeno a capire per favore?
PROBLEMA 1
Si consideri la funzione $f(x)=log((x+1)/(x^2+2))$
1. Si studi tale funzione e si tracci il suo grafico $v$, su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy).
2. Si scriva l’equazione della tangente alla curva $v$ nel punto di intersezione con l’asse y.
3. Si studi la funzione $g(x)=e^f(x)$ e se ne tracci il grafico Γ.
4. Si calcoli l’area della superficie piana, delimitata dalla curva Γ, dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione $x=sqrt(2$).
PROBLEMA 2
In un piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani (Oxy), è assegnata la parabola $p$ di equazione $y=x^2+x+1$
1. Condotte per il punto O le rette tangenti alla parabola, trovare le coordinate dei punti A e B di contatto.
2. Trovare le coordinate del punto C, situato da parte opposta di O rispetto alla retta AB, tale che il triangolo ABC sia isoscele e rettangolo in C.
3. Determinare l’equazione della circonferenza k avente il centro in C e passante per A.
4. Determinare in quante parti la parabola p divide il cerchio delimitato da k.
Allora del PROBLEMA 1 mi pare di aver capito che per quanto concerne i punti 1. 2. 3. forse ce la faccio a farli (evidenzio 'FORSE'al massimo li pubblico man mano su questo topic)....ma il punto 4. no, potreste aiutarmi?
PROBLEMA 2: allora la prima cosa che faccio è lo studio di funzione di $f(x)=x^2+x+1$...poi disegno rette tangenti(che però dovrebbe essere una sola, non capisco perchè la consegna parli al plurale),il punto 2. non sarei capace a farlo, neanche il 3. e inconseguenza neanche il 4. Mi aiutate almeno a capire per favore?
Risposte
Per risolvere il sistema usa il metodo di sostituzione:
1) ricavi un'incognita da una delle due equazioni in funzione dell'altra (cosa che hai fatto $x=-y+2$);
2) sostituisci il valore trovato nell'altra (cosa che non hai fatto, tu hai trovato la stessa incognita nelle due equazioni usando il metodo del confronto e ottenendo un'equazione irrazionale un po' più difficile da risolvere).
Sostituendo avresti, dopo aver imposto il denominatore diverso da zero:
$(-y+2)^2+y^2-4y+2=0$ che non è difficile da risolvere.
Ora continua tu.
1) ricavi un'incognita da una delle due equazioni in funzione dell'altra (cosa che hai fatto $x=-y+2$);
2) sostituisci il valore trovato nell'altra (cosa che non hai fatto, tu hai trovato la stessa incognita nelle due equazioni usando il metodo del confronto e ottenendo un'equazione irrazionale un po' più difficile da risolvere).
Sostituendo avresti, dopo aver imposto il denominatore diverso da zero:
$(-y+2)^2+y^2-4y+2=0$ che non è difficile da risolvere.
Ora continua tu.
Spero che sia ok
${(x=-y+2),(x^2+y^2-4y+2=0):}$
${(x=-y+2),(y^2-4y+4+y^2-4y+2=0):}$
${(*),(2y^2-8y+6=0):}$
gli zeri sono: $(1,3)$
considero solo il $3$ perchè se $A$ è di coordinate $(1;3)$, se ci metto l'angolo $C$ con la coordinata $y=1$ l'ascissa di $C$ verrebbe $1$ e sarebbe una cacchiata giusto?
L'asciisa invece se considero il valore $C(x,3)$ viene $C(-1,3)$ cosi è rettangolo giusto?
Grazie Cordiali saluti,
${(x=-y+2),(x^2+y^2-4y+2=0):}$
${(x=-y+2),(y^2-4y+4+y^2-4y+2=0):}$
${(*),(2y^2-8y+6=0):}$
gli zeri sono: $(1,3)$
considero solo il $3$ perchè se $A$ è di coordinate $(1;3)$, se ci metto l'angolo $C$ con la coordinata $y=1$ l'ascissa di $C$ verrebbe $1$ e sarebbe una cacchiata giusto?
L'asciisa invece se considero il valore $C(x,3)$ viene $C(-1,3)$ cosi è rettangolo giusto?
Grazie Cordiali saluti,
Si è giusto $C(-1,3)$
Se invece consideri $C'(1,1)$ sarebbe sbagliato solo perchè il problema ti dice specificatamente che il punto cercato deve essere dalla parte OPPOSTA della retta AB rispetto a O... C' sarebbe dalla stessa parte quindi lo escludi
Solo un consiglio... alla fine del sistema in un compito "vero" non dire che gli zeri sono $(1,3)$ perchè con le parentesi tonde indichi le coordinate di un punto... puoi dire invece "le soluzioni sono $y_1=1$ e $y_2=3$" per fare le cose per bene
ciao!
Se invece consideri $C'(1,1)$ sarebbe sbagliato solo perchè il problema ti dice specificatamente che il punto cercato deve essere dalla parte OPPOSTA della retta AB rispetto a O... C' sarebbe dalla stessa parte quindi lo escludi
Solo un consiglio... alla fine del sistema in un compito "vero" non dire che gli zeri sono $(1,3)$ perchè con le parentesi tonde indichi le coordinate di un punto... puoi dire invece "le soluzioni sono $y_1=1$ e $y_2=3$" per fare le cose per bene
ciao!
CIao, ora faccio il punto 3 del problema 2
Allora devo ricavare la circonferenza $k$ avente centro in $C$ passante in $A$
Allora $C(-1;3)$ quindi da dista $2$ da $A$....ricavo il raggio dlla circonferenza $=2$.
Ora conosco il centro e un punto e uso la formula, che mi dovrebbe dare $x^2-4x+y^2-6=0$
Non so, ditemi voi se c'è qualche errore, colgo anche l'occasione per ringraziare mazzarri dato che ho letto la sua ultima spiegazione in merito alla scrittura corretta da tenere.
Per l'ultimo punto, se fin qui per voi va bene mi date uno spunto di riflessione?
Grazie
Saluti
Allora devo ricavare la circonferenza $k$ avente centro in $C$ passante in $A$
Allora $C(-1;3)$ quindi da dista $2$ da $A$....ricavo il raggio dlla circonferenza $=2$.
Ora conosco il centro e un punto e uso la formula, che mi dovrebbe dare $x^2-4x+y^2-6=0$
Non so, ditemi voi se c'è qualche errore, colgo anche l'occasione per ringraziare mazzarri dato che ho letto la sua ultima spiegazione in merito alla scrittura corretta da tenere.
Per l'ultimo punto, se fin qui per voi va bene mi date uno spunto di riflessione?
Grazie
Saluti
Ciao Ramarro
ti scrivevo a pagina 3 che la equazione dovrebbe essere
$x^2+y^2+2x−6y+6=0$
Infatti la formula generica da usare è
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
dove il centro ha coordinate $(x_0,y_0)$ e il raggio è $r$
allora abbiamo
$(x+1)^2+(y-3)^2=2^2$
$x^2+2x+1+y^2-6y+9=4$
$x^2+y^2+2x-6y+6=0$
ciao!
ti scrivevo a pagina 3 che la equazione dovrebbe essere
$x^2+y^2+2x−6y+6=0$
Infatti la formula generica da usare è
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
dove il centro ha coordinate $(x_0,y_0)$ e il raggio è $r$
allora abbiamo
$(x+1)^2+(y-3)^2=2^2$
$x^2+2x+1+y^2-6y+9=4$
$x^2+y^2+2x-6y+6=0$
ciao!
Gia è vero, ora chiede: determinare in quante parti la parabola p divide il cerchio delimitato da k.
Allora penso che io debba trovare leintersezioni fra la parabola e il cerchio, quindi penso che io debba eguagliare le 2 equazioni e trovare le inteersezioni. Se escono 2 numeri dicvide il cerchio in 2 parti, se ne escono 3 sempre in 2 parti, se lo divide in 3 parti allora ricaverò 4 zeri.
Va bene?
Allora penso che io debba trovare leintersezioni fra la parabola e il cerchio, quindi penso che io debba eguagliare le 2 equazioni e trovare le inteersezioni. Se escono 2 numeri dicvide il cerchio in 2 parti, se ne escono 3 sempre in 2 parti, se lo divide in 3 parti allora ricaverò 4 zeri.
Va bene?
Ottima idea.... fai intersezione tra cerchio e parabola.
Guarda quanti punti trovi
Poi ti consiglio di fare un bel disegno!!! più preciso che puoi... e poi conti
Gli zeri dovrebbero essere quattro se non sbaglio i calcoli
$x_1=-1$
$x_2=+1$
$x_3=sqrt2-1$
$x_4=-sqrt2-1$
ciao!!
Guarda quanti punti trovi
Poi ti consiglio di fare un bel disegno!!! più preciso che puoi... e poi conti
Gli zeri dovrebbero essere quattro se non sbaglio i calcoli
$x_1=-1$
$x_2=+1$
$x_3=sqrt2-1$
$x_4=-sqrt2-1$
ciao!!
Ciao scusa ma tu per ricavare gli zeri hai fatto questo sistema?
${(x^2+x+1=0),(x^2+y^2+2x-6y+6=0),(x^2+y^22+2x-6y+6=x^2+x+1):}$
Che cosa hai sostituito?
io ricavando la $x$ dal secondo trovo: $x=(-y^2-6y-2)/(x+2)$
il problema è che c'è sia la $x$ che la $y$ ppoi quando vado a sostituire quel membro nella terza equazione è un bordello.
${(x^2+x+1=0),(x^2+y^2+2x-6y+6=0),(x^2+y^22+2x-6y+6=x^2+x+1):}$
Che cosa hai sostituito?
io ricavando la $x$ dal secondo trovo: $x=(-y^2-6y-2)/(x+2)$
il problema è che c'è sia la $x$ che la $y$ ppoi quando vado a sostituire quel membro nella terza equazione è un bordello.
No Ramarro... hai sbagliato la prima equazione... è una parabola! Dimentichi la y!!
${(y=x^2+x+1),(x^2+y^2+2x-6y+6=0):}$
Prendi la y dalla prima e la sostituisci nella seconda
ti viene una equazione di 4 grado in x che risolvi con Ruffini, a occhio un paio di divisori li trovi subito
ciao
${(y=x^2+x+1),(x^2+y^2+2x-6y+6=0):}$
Prendi la y dalla prima e la sostituisci nella seconda
ti viene una equazione di 4 grado in x che risolvi con Ruffini, a occhio un paio di divisori li trovi subito
ciao
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