Progressioni aritmetiche e geometriche
Dimostrare che:
Ho verificato che valga per n=1 e poi ho moltiplicato entrambe le parti per
Ora non so proprio cosa fare!
Altra tipologia di esercizi: trovare la somma delle seguenti progressioni geometriche (ne posto solo una)
In questo caso vado ad "intuito" e pongo
oppure c’è un metodo più generale? se ti danno già la formulina, ok, ma se non te la danno...
ok, mi sono appena accorto di aver scritto una c*****a nel calcolare il totale! l'ho presa come una successione infinita e non come una finita... a maggior ragione, qualcuna sa spiegarmi come fare?
[math](1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^{2n})=\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}[/math]
Ho verificato che valga per n=1 e poi ho moltiplicato entrambe le parti per
[math]1+q^{2n+2}[/math]
e mi viene (ora prendo in considerazione solo la seconda parte):[math] \frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}(1+q^{2n+2})= \frac{(1-q^{2^{n+1}})(1+q^{2n+2})}{1-q}=\frac{1-q^{2^{n+1}}+q^{2n+2}-q^{2^{n+1}+2n+2}}{1-q} [/math]
Ora non so proprio cosa fare!
Altra tipologia di esercizi: trovare la somma delle seguenti progressioni geometriche (ne posto solo una)
[math]1+\frac x{1+x^2}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\;...+\frac{x^n}{(1+x^2)^n} [/math]
In questo caso vado ad "intuito" e pongo
[math]Tot=\frac{\frac x{1+x^2}}{1-\frac x{1+x^2}}[/math]
oppure c’è un metodo più generale? se ti danno già la formulina, ok, ma se non te la danno...
ok, mi sono appena accorto di aver scritto una c*****a nel calcolare il totale! l'ho presa come una successione infinita e non come una finita... a maggior ragione, qualcuna sa spiegarmi come fare?
Risposte
Scusa, ma non è verificato per n=1. Verrebbe infatti:
Sei sicuro di aver scritto il testo giusto? Perchè non viene né con n=0 né con n=2...
Nel secondo esercizio la formula per calcolare la somma dei primi n numeri di una progressione geometrica è la seguente:
dove
Per calcolarla, in questo caso, devi sapere quanti n numeri considerare...altrimenti la trovi solo in generale...
[math](1+q)(1+q^2)=\frac{1-q^3}{1-q}\\(1+q)(1+q^2)=\frac{(1-q)(1+q^2+q)}{1-q}\\(1+q)(1+q^2)=1+q^2+q\;falso[/math]
Sei sicuro di aver scritto il testo giusto? Perchè non viene né con n=0 né con n=2...
Nel secondo esercizio la formula per calcolare la somma dei primi n numeri di una progressione geometrica è la seguente:
[math]S_n=A_1\times \frac{1-q^n}{1-q}[/math]
dove
[math]S_n[/math]
è la somma dei primi n numeri, [math]A_1[/math]
è il primo termine della progressione e q la ragione.Per calcolarla, in questo caso, devi sapere quanti n numeri considerare...altrimenti la trovi solo in generale...
no, è q alla (2 alla n+1), quindi con n=1 viene:
il problema è che non riesco a far tornare i conti: dovrebbe venire
ma non so come
nel secondo non ho capito: cos'è la ragione?
[math](1+q)(1+q^2)=\frac{1-q^{2^{1+1}}}{1-q}[/math]
[math](1+q)(1+q^2)=\frac{1-q^{2^2}}{1-q}[/math]
[math](1+q)(1+q^2)=\frac{1-q^4}{1-q}[/math]
[math](1+q)(1+q^2)=\frac{(1+q^2)(1-q^2)}{1-q}[/math]
[math](1+q)(1+q^2)=\frac{(1+q^2)(1+q)(1-q)}{1-q}[/math]
[math](1+q)(1+q^2)=(1+q^2)(1+q)[/math]
il problema è che non riesco a far tornare i conti: dovrebbe venire
[math]\frac{1-q^{2^{n+1}}+q^{2n+2}-q^{2^{n+1}+2n+2}}{1-q}=\frac{1-q^{2^{n+2}}}{1-q}[/math]
ma non so come
nel secondo non ho capito: cos'è la ragione?
ti hanno spiegato il metodo induttivo?
si, conosco il metodo induttivo; altrimenti come le risolvi 'ste cose?
ho fatto il primo, vedi se riesci a fare il secondo ora
mi sono perso l'ultimo passaggio (quello cerchiato):
dove io ho messo *- non capisco cosa tu abbia scritto
[math]\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}=(1+q)*-(1+q^{2n})[/math]
dove io ho messo *- non capisco cosa tu abbia scritto
scusa, sono stato disordinato.. ho fatto solo dei puntini di sospensione (sarebbe una produttoria da 1+q a 1+q^(2n), il meno nn c'entra...):
[math]\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}=(1+q)(1+q^2)...(1+q^{2n})[/math]
no, c'è qualcosa che non va... si era partiti da
ma tu sei arrivato a
che non sono la stessa cosa
[math](1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^{2n})=\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}[/math]
ma tu sei arrivato a
[math](1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^{2(n+1)})=\\=(1+q^{2^{n+1}})*(1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^{2n})[/math]
che non sono la stessa cosa
principio di induzione:
sia P(n) una certa proprietà vera per n=0 (oppure n=1). supposta per vera P(n), se P(n) implica P(n+1) allora la proprietà è verificata per tutti i naturali.. più schematicamente
se sono soddisfatti qsti due punti allora la proprietà è vera. il pto 1) è la base induttiva (la parte sopra la riga orizzontale che ho fatto nella risoluzione).. si chiama "base" perchè serve per dimostrare il pto 2: è quello che ho fatto (un po' cme costruire i piani di un grattacielo: prima fai quello sotto, poi quello sopra); il pto 2) è il passo induttivo (la parte sotto la riga).
se nn hai studiato qsto metodo nn mi viene in mente altro, almeno per ora
sia P(n) una certa proprietà vera per n=0 (oppure n=1). supposta per vera P(n), se P(n) implica P(n+1) allora la proprietà è verificata per tutti i naturali.. più schematicamente
[math] 1) P(0) \ \ vera \\
2) P(n) \Rightarrow P(n+1) [/math]
2) P(n) \Rightarrow P(n+1) [/math]
se sono soddisfatti qsti due punti allora la proprietà è vera. il pto 1) è la base induttiva (la parte sopra la riga orizzontale che ho fatto nella risoluzione).. si chiama "base" perchè serve per dimostrare il pto 2: è quello che ho fatto (un po' cme costruire i piani di un grattacielo: prima fai quello sotto, poi quello sopra); il pto 2) è il passo induttivo (la parte sotto la riga).
se nn hai studiato qsto metodo nn mi viene in mente altro, almeno per ora
si, conosco il principio di induzione; ma da quel che ho capito, tu non sei riuscito a dimostrare che P(n)-->P(n+1) (questo intendevo col mio post precedente)
te lo scrivo meglio, dammi 10 minuti che finisco una roba
ok
scusa ma prima avevo scambiato un esponente con un fattore... cmq se provi con n=3 nn esce, forse hai sbagliato a scrivere l'esercizio
ps: lascia perdere che ho fatto con n=0, che tra l'altro nn esce ugualmente
ps: lascia perdere che ho fatto con n=0, che tra l'altro nn esce ugualmente
in effetti, con n=0 non avrebbe senso... se non che, se si sostituisce a (1+q^(2n)) il fattore
(1+q^(2^n)), i conti tornano, anche per n=0. probabilmente è un errore di stampa (anche perchè il libro è vecchiotto e non è mai stato ristampato)
(1+q^(2^n)), i conti tornano, anche per n=0. probabilmente è un errore di stampa (anche perchè il libro è vecchiotto e non è mai stato ristampato)
bhè, può essere che nn torni per n=0, visto che nn tutti interpretano che i naturali partano dallo 0, ma per n=3 doveva venire e nn viene
ma hai leto il mio post?:con
se n=3 viene
se n=0 viene
e fra l'altro la dimostrazione diventa semplicissima:
se n=3 viene
[math](1+q)(1+q^2)(1+q^4)(1+q^8 )=\frac{1-q^{2^{3+1}}}{1-q}=\frac{1-q^{16}}{1-q}=\frac{(1+q^8 )(1-q^8 )}{1-q}=[/math]
[math]\frac{(1+q^8 )(1+q^4)(1-q^4)}{1-q}=\frac{(1+q^8 )(1+q^4)(1+q^2)(1-q^2)}{1-q}=[/math]
[math]=\frac{(1+q^8 )(1+q^4)(1+q^2)(1+q)(1-q)}{1-q}=(1+q^8 )(1+q^4)(1+q^2)(1+q)[/math]
se n=0 viene
[math](1+q^{2^0})=1+q=\frac{1-q^{2^{0+1}}}{1-q}=\frac{1-q^2}{1-q}=\frac{(1+q)(1-q)}{1-q}=1+q[/math]
e fra l'altro la dimostrazione diventa semplicissima:
[math](1+q)...(1+q^{2^{n+1}})=\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}(1+q^{2^{n+1}})=\frac{1-q^{2^{n+2}}}{1-q}[/math]
il testo è qsto?
cmq non sarebbe concettualmente corretto dimostrarla così, almeno nn se usi il principio di induzione.. il punto 2) diceva P(n) => P(n+1), che significa che da
ad ogni modo se hai risolto credo si possa chiudere (?)
[math](1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^{2^{n}})=\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}[/math]
cmq non sarebbe concettualmente corretto dimostrarla così, almeno nn se usi il principio di induzione.. il punto 2) diceva P(n) => P(n+1), che significa che da
[math]\frac{1-q^{2^{n+2}}}{1-q}[/math]
dovevi ottenere [math]\frac{(1+q^{2^{n+1}})(1-q^{2^{n+1}})}{1-q} [/math]
e nn viceversaad ogni modo se hai risolto credo si possa chiudere (?)
il principio di induzione si può anche dimostrare come ho fatto io, perchè l'uguale si legge da tutte edue le parti: dimostrare che a=b o b=a è la stessa cosa. fra l'altro il libro fa così, quindi presumo sia giusto.
mi manca il secondo esercizio.
mi manca il secondo esercizio.
uhm... il totale hai sbagliato a calcolarlo.. di per sè sarebbe una serie se consideri n = infinito (una serie è pur sempre una successione, un po' particolare). nn penso tu le abbia fatte, cmq per completezza ti dico che la somma di quella serie (convergente) è
per il resto, ossia se consideri una somma finita, mi pare che gaara ti abbia già risposto. se nn ricordo male e deducendo dall'esercizio che hai scritto, la ragione è quel termine q tale che
[math] \frac{1+x^2}{1+x^2-x} [/math]
per il resto, ossia se consideri una somma finita, mi pare che gaara ti abbia già risposto. se nn ricordo male e deducendo dall'esercizio che hai scritto, la ragione è quel termine q tale che
[math] a_{n+1} = qa_n [/math]
dove [math] a_n [/math]
è il termine generale della progressione. dimmi se ti trovi ora
attento a nn fare confusione:
1) x può essere anche un numero reale, è n che deve essere naturale
2) il primo termine della progressione è 1, nn capisco da dove prendi 1/2
3) q è elevato a n, non a x
1) x può essere anche un numero reale, è n che deve essere naturale
2) il primo termine della progressione è 1, nn capisco da dove prendi 1/2
3) q è elevato a n, non a x
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