Progressioni aritmetiche e geometriche

[plum]

Dimostrare che:

[math](1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^{2n})=\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}[/math]

Ho verificato che valga per n=1 e poi ho moltiplicato entrambe le parti per

[math]1+q^{2n+2}[/math]

e mi viene (ora prendo in considerazione solo la seconda parte):

[math] \frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}(1+q^{2n+2})= \frac{(1-q^{2^{n+1}})(1+q^{2n+2})}{1-q}=\frac{1-q^{2^{n+1}}+q^{2n+2}-q^{2^{n+1}+2n+2}}{1-q} [/math]

Ora non so proprio cosa fare!

Altra tipologia di esercizi: trovare la somma delle seguenti progressioni geometriche (ne posto solo una)

[math]1+\frac x{1+x^2}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\;...+\frac{x^n}{(1+x^2)^n} [/math]

In questo caso vado ad "intuito" e pongo

[math]Tot=\frac{\frac x{1+x^2}}{1-\frac x{1+x^2}}[/math]

oppure c’è un metodo più generale? se ti danno già la formulina, ok, ma se non te la danno...

ok, mi sono appena accorto di aver scritto una c*****a nel calcolare il totale! l'ho presa come una successione infinita e non come una finita... a maggior ragione, qualcuna sa spiegarmi come fare?

[plum]

c***o, invece di citare ho cancellato. vbb, allora viene

[math]S_n=\frac{1-(\frac x{1+x^2})^n}{1-\frac x{1+x^2}}?[/math]

[xico87]

pare ok

[plum]

si, ma mi pare troppo incasinata come formula. se ho:

[math]1+\frac1{1+x^2}+\frac1{(1+x^2)^2}\;...+\frac1{(1+x^2)^n} [/math]

Sn diventa:

[math]S_n=\frac{1-(\frac1{1+x^2})^n}{1-\frac 1{1+x^2}}[/math]

[xico87]

scusa ma mi spieghi che colpa ne ho io? e poi tieni conto che solitamente la ragione è più semplice di così

[plum]

che avatar orribile!!! è angosciante! cmq, il mio problema è che mi chiede di dimostrare che

[math]1^2+3^2...+(2n+1)^2=\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}3[/math]

sfruttando le formule

[math](1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^{2^n})=\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}[/math]

e quella che si ricava da

[math]1+\frac 1{1+x^2}+\frac1{(1+x^2)^2}\;...+\frac1{(1+x^2)^n} [/math]

per questo il risultato mi sembra strano.

[xico87]

il mio avatar è semplicemente stupendo.. e stavolta nn me lo copia nessuno :lol:lol:lol
:anal

[plum]

[math]S_n=A_1\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/math]

la formula vera è questa; gaara, ti eri dimenticato il +1 all'esponente
cmq ho capito da dove viene la formula, potete chiudere:hi

[xico87]

il +1 all'esponente nn c'è, ho controllato.. bo, cmq se ti torna aspetto ancora un po' e poi chiudo

[plum]

cm no???

[math]1+a+a^2+a^3...+a^n=A_1\times \frac{1-a^{n+1}}{1-a}[/math]

[math]1+a+a^2+a^3...+a^n+a^{n+1}=A_1\times \frac{1-a^{n+1}}{1-a}+a^{n+1}=[/math]

[math]A_1\times \frac{1-a^{n+1}}{1-a}+\frac{a^{n+1}(1-a)}{1-a}=A_1\times \frac{1-a^{n+1}}{1-a}+\frac{a^{n+1}-a^{n+2})}{1-a}=[/math]

[math]=A_1\times \frac{1-a^{n+1}+a^{n+1}-a^{n+2})}{1-a}=A_1\times \frac{1-a^{n+2}}{1-a}[/math]

con l'altra formula invece non viene; basta prendere la successione

[math]1+\frac12+\frac14+\frac18...+\frac1{2^n}[/math]

e si vede che per n=0, n=1, n=2... la formula senza n+1 non va bene, quella con n+1 si.

[xico87]

no, rileggi meglio quanto scritto da gaara.. dice "Sn è la somma dei primi n numeri".. ti assicuro che viene. esempio: q = 1/2
faccio la somma dei primi due termini, cioè 1 e 1/2.. viene 1+1/2 = 3/2.
ora uso la formula:

[math] 1\times \frac{1-(\frac{1}{2})^2}{1-\frac{1}{2}} [/math]

esegui l'operazione e vedi che esce correttamente

[plum]

si, io consideravo n comprendendo lo 0, quindi nela mia formula consideravo un addendo in meno. ok, ci sono, potete chiudere