Problemi equazioni parabola e circonferenza
Buonasera a tutti!
Per il rientro mi sono stati assegnati degli esercizi riguardanti le equazioni della parabola e della circonferenza, alcuni dei quali sono riuscito a fare, ma altri proprio no. Per questo mi rivolgo a voi, gentile community consigliatami da un certo Afullo. Potete aiutarmi a risolverli o per lo meno ad aiutarmi ad impostare le equazioni risolventi il sistema? Ecco i problemi:
1- Trova l'equazione della parabola che ha vertice sulla retta di equazione x + y + 1 = 0 e passa per A(1,4) e B(0,7/3)
2- Data la parabola di equazione y= -x^2 + 4x - 2, determina l'equazione della retta ad essa tangente, parallela a quella di equazione 4x - 3y + 6 = 0. Determina poi le coordinate del punto di tangenza.
3- Data la parabola di equazione y = 2x^2 - 3, calcola l'equazione della retta ad essa tabgebtem parallela alla retta passante per i punti A(0,1) e B(1,5) e le coordinate del punto di tangenza.
4- Scrivi l'equazione della circonferenza concentrica a quella di equazione x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0 e tangente alla retta x + 2y = 0
5- Scrivi l'equazione della circonferenza passante per l'origine, tangente alla retta x= -1 e avente raggio 5.
6- Scrivi l'equazione della circonferenza tangente alle rette di equazione y= 0 e y= 2 e avente centro su quella di equazione x + 2y = 0
Confido in voi e vi ringrazio anticipatamente!
Per il rientro mi sono stati assegnati degli esercizi riguardanti le equazioni della parabola e della circonferenza, alcuni dei quali sono riuscito a fare, ma altri proprio no. Per questo mi rivolgo a voi, gentile community consigliatami da un certo Afullo. Potete aiutarmi a risolverli o per lo meno ad aiutarmi ad impostare le equazioni risolventi il sistema? Ecco i problemi:
1- Trova l'equazione della parabola che ha vertice sulla retta di equazione x + y + 1 = 0 e passa per A(1,4) e B(0,7/3)
2- Data la parabola di equazione y= -x^2 + 4x - 2, determina l'equazione della retta ad essa tangente, parallela a quella di equazione 4x - 3y + 6 = 0. Determina poi le coordinate del punto di tangenza.
3- Data la parabola di equazione y = 2x^2 - 3, calcola l'equazione della retta ad essa tabgebtem parallela alla retta passante per i punti A(0,1) e B(1,5) e le coordinate del punto di tangenza.
4- Scrivi l'equazione della circonferenza concentrica a quella di equazione x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0 e tangente alla retta x + 2y = 0
5- Scrivi l'equazione della circonferenza passante per l'origine, tangente alla retta x= -1 e avente raggio 5.
6- Scrivi l'equazione della circonferenza tangente alle rette di equazione y= 0 e y= 2 e avente centro su quella di equazione x + 2y = 0
Confido in voi e vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
Innanzitutto ti do il benvenuto nel forum, visto che è il tuo primo post.
Come seconda cosa ti chiedo di modificare il tuo messaggio ed aggiungere le formule con uno dei due compilatori, MathML o TeX, di cui siamo forniti (come disse qualcuno: "non abbiamo due compilatori di formule per sbandierare sugli altri forum che li abbiamo")
Per quanto riguarda i tuoi problemi:
1 - Spero di non dire una stupidaggine ma le parabole dovrebbero essere 2, una del tipo $y=ax^2+bx+c$ ed una del tipo $x=ay^2+by+c$; in entrambi i casi devi costruire un sistema di 3 equazioni con le 3 incognite $a$, $b$ e $c$ ed usare come equazioni le informazioni che hai: il passaggio per i punti A e B e la condizione sul vertice.
2 - Fascio di rette -> condizione di tangenza
3 - Idem cum patatis
4 - Distanza punto-retta -> eq circonferenza
5 - La chiave è "passante per l'origine"
6 - Considera il diametro
Come seconda cosa ti chiedo di modificare il tuo messaggio ed aggiungere le formule con uno dei due compilatori, MathML o TeX, di cui siamo forniti (come disse qualcuno: "non abbiamo due compilatori di formule per sbandierare sugli altri forum che li abbiamo")
Per quanto riguarda i tuoi problemi:
1 - Spero di non dire una stupidaggine ma le parabole dovrebbero essere 2, una del tipo $y=ax^2+bx+c$ ed una del tipo $x=ay^2+by+c$; in entrambi i casi devi costruire un sistema di 3 equazioni con le 3 incognite $a$, $b$ e $c$ ed usare come equazioni le informazioni che hai: il passaggio per i punti A e B e la condizione sul vertice.
2 - Fascio di rette -> condizione di tangenza
3 - Idem cum patatis
4 - Distanza punto-retta -> eq circonferenza
5 - La chiave è "passante per l'origine"
6 - Considera il diametro
Azz...
Dunque:
1- Inserisco le coordinate del vertice (-b/2a e -delta/4a) nell'equazione della retta? E i punti li inserisco nell'equazione generica della parabola?
2- Non ti ho capito XD
3- Idem cum patatis XD
4- Tra quale punto e quale retta?
5- mmm...
6- ???
Dunque:
1- Inserisco le coordinate del vertice (-b/2a e -delta/4a) nell'equazione della retta? E i punti li inserisco nell'equazione generica della parabola?
2- Non ti ho capito XD
3- Idem cum patatis XD
4- Tra quale punto e quale retta?
5- mmm...
6- ???
Chiedere aiuto per sei problemi assieme è un po' troppo! Ti do comunque qualche consiglio: come prima cosa fai la figura con i dati che conosci; questo per tutti gli esercizi. Per il 2: scrivi l'equazione della generica retta parallela a quella data (come?), poi imponi che sia tangente alla parabola: come si fa ad imporlo? Il 3 gli è quasi identico.
Per il 4: trova il centro; il raggio è la distanza fra centro e retta.
Non aggiungo altri consigli; se hai studiato, o anche se lo fai solo ora, devi saper finire questi tre esercizi.
EDIT: scusami, Raptorista; la tua risposta è arrivata mentre scrivevo la mia. Non la ritiro, sperando che possa aiutare nella comprensione,
Per il 4: trova il centro; il raggio è la distanza fra centro e retta.
Non aggiungo altri consigli; se hai studiato, o anche se lo fai solo ora, devi saper finire questi tre esercizi.
EDIT: scusami, Raptorista; la tua risposta è arrivata mentre scrivevo la mia. Non la ritiro, sperando che possa aiutare nella comprensione,
Ora vedo un po' che posso fare, anche se dubito visto che su queste cose proprio non riesco a ragionare...
@Spagno
1 - Sì, devi fare un sistema a 3 equazioni in 3 incognite
2 - Il concetto è di considerare tra le infinite rette parallele a quella data, LA retta che è tangente alla parabola
4 - di retta ce n'è una sola; con la formula della distanza punto-retta trovi il raggio (questo è un utile suggerimento
)
5 - dopo aver fatto i precedenti, dovresti saperlo fare, considera bene le implicazioni del fatto che passi per l'origine
6 - se fai il disegno ti sarà più chiaro
1 - Sì, devi fare un sistema a 3 equazioni in 3 incognite
2 - Il concetto è di considerare tra le infinite rette parallele a quella data, LA retta che è tangente alla parabola
4 - di retta ce n'è una sola; con la formula della distanza punto-retta trovi il raggio (questo è un utile suggerimento
)5 - dopo aver fatto i precedenti, dovresti saperlo fare, considera bene le implicazioni del fatto che passi per l'origine
6 - se fai il disegno ti sarà più chiaro
Va bene, domani provo a risolverli! Grazie!
Semmai ripasso qui
Semmai ripasso qui
Boh ragazzi, io ci ho provato ma non me n'è venuto nessuno...
Non è che potreste risolvermene 2 o 3 almeno visto che sono per il 7?
Non è che potreste risolvermene 2 o 3 almeno visto che sono per il 7?
Attieniti al regolamento! Scrivi i passaggi che hai fatto, così sarà più facile farti capire dove sbagli
Eh, nella prima, ho messo -b/2a e -delta/4a al posto di x e y nell'equazione della retta. Poi ho messo le coordinate dei punti al posto di x e y nell'equazione generica della parabola... Ecco, non viene, fatto anche con Derive, vengono radici quadrate di radici quadrate...
Il 2 il 3 non li ho proprio capiti...
Al 4 ho trovato il centro tramite le formule -a/2 e -b/2 e le ho messe nella formula della distanza punto-retta... Risultato 8/rad5...
Il 5 non avendo saputo fare quelli precedenti, non sapevo che pesci prendere.
6 idem...
Il 2 il 3 non li ho proprio capiti...
Al 4 ho trovato il centro tramite le formule -a/2 e -b/2 e le ho messe nella formula della distanza punto-retta... Risultato 8/rad5...
Il 5 non avendo saputo fare quelli precedenti, non sapevo che pesci prendere.
6 idem...
Nel primo il metodo che hai detto va bene (se si suppone che l'asse della parabola sia parallelo all'asse y); forse hai fatto qualche errore, perchè a me vengono due soluzioni razionali. E' comunque il più difficile fra gli esercizi che proponi e ti conviene lasciarlo per ultimo.
Nel 4, occhio ai segni; a me il raggio viene $4/ sqrt 5$. Poi devi finire l'esercizio: sapendo centro e raggio, qual'è l'equazione della circonferenza?
Per il 2 e 3 ripeto le domande che ho già fatto: come si fa a scrivere l'equazione della generica retta parallela ad una retta data? Come si fa ad imporre la tangenza, in generale?
Nel 4, occhio ai segni; a me il raggio viene $4/ sqrt 5$. Poi devi finire l'esercizio: sapendo centro e raggio, qual'è l'equazione della circonferenza?
Per il 2 e 3 ripeto le domande che ho già fatto: come si fa a scrivere l'equazione della generica retta parallela ad una retta data? Come si fa ad imporre la tangenza, in generale?
Ricorda che il vertice deve passare per una retta ben precisa, questa è un'altra condizione che puoi sfruttare
"Spagno":
6- Scrivi l'equazione della circonferenza tangente alle rette di equazione y= 0 e y= 2 e avente centro su quella di equazione x + 2y = 0
Osserva che la circonferenza ha centro, oltre che sulla retta [tex]x + 2\,y = 0[/tex],
anche sulla retta [tex]y=1[/tex] (è la retta che sta "in mezzo" alle due rette [tex]y = 0[/tex] e [tex]y=2[/tex]).
Dunque, con calma sto capendo:
1- Lo lascio
2 e 3- devo imporre delta = 0 ?
4- Centro e raggio: (x-xo)^2 + (y-yo)^2 = r^2 ?
6- Dunque, punto medio quindi y = 1 distanza tra y=1 e la retta x + 2y = 0 ?
Comunque finora siete stati gentilissimi, grazie regà!
1- Lo lascio
2 e 3- devo imporre delta = 0 ?
4- Centro e raggio: (x-xo)^2 + (y-yo)^2 = r^2 ?
6- Dunque, punto medio quindi y = 1 distanza tra y=1 e la retta x + 2y = 0 ?
Comunque finora siete stati gentilissimi, grazie regà!
2, 3, 4: sì, è così. Vai avanti.
6: no, hai frainteso il suggerimento di Franced. Se fai la figura, forse lo capisci subito.
6: no, hai frainteso il suggerimento di Franced. Se fai la figura, forse lo capisci subito.
"franced":
[quote="Spagno"]
6- Scrivi l'equazione della circonferenza tangente alle rette di equazione y= 0 e y= 2 e avente centro su quella di equazione x + 2y = 0
Osserva che la circonferenza ha centro, oltre che sulla retta [tex]x + 2\,y = 0[/tex],
anche sulla retta [tex]y=1[/tex] (è la retta che sta "in mezzo" alle due rette [tex]y = 0[/tex] e [tex]y=2[/tex]).[/quote]
Il centro della circonferenza lo trovi intersecando le rette [tex]y = 1[/tex] e [tex]x + 2\,y = 0[/tex] .
Allora, nel due il procedimento mi sembra giusto, ma un dato mi viene errato. Dunque, l'equazione è 12x - 9y - 2 = 0 e i punti di tangenza sono (4/3 e 14/9).
Io allora cosa ho fatto:
Prima di tutto ho scritto l'equazione 4x - 3y + 2 in forma implicita quindi y = 4/3 x + 2. Poi l'ho messa nel sistema insieme all'equazione della parabola e per il metodo del confronto ho ottenuto 3x^2 - 8x = 0. Ho risolto tramite la formula risolutiva ed ho ottenuto due soluzioni: 8/3 e 0. Ho scartato 0 e ho tenuto 8/3 e poi ho sostituito nell'equazione di prima e mi sono trovato che y= 14/9. Così ho usato la formula y - yo = m(x - xo) dove m è 4/3 e ho trovato l'equazione della retta, ovvero: 12x - 9y - 18 = 0. Ditemi voi, forse ha sbagliato il libro, forse ho sbagliato io. Penso di aver fatto giusto, ditemi voi esperti cortesemente. Ora provo gli altri!
Il 3 ho provato a farlo, nella stessa maniera del 2... Ho trovato la retta usando i punti usando la formula (x-xa/xb-xa)=(y-ya/yb-ya) e ho quindi trovato y= 4x+1. Dopodichè ho messo a sistema quest'equazione e quella della parabola ma ovviamente non viene...
Il 4 ho provato, con il centro e la formula punto-retta non viene...
Il 5 provato, messo a sistema l'equa della circonferenza con i punti 0 e 0, poi delta=0 e la formula del raggio = a 5, ma non viene...
Il 6 penso sia sbagliato ancora una volta il libro... Come mi è stato detto ho intersecato y= 1 e l'equazione x+2y= 0 da cui so che x = -2. Dopodichè metto a sistema -a/2 = -2 , -b/2 = 1 e l'equazione della circonferenza mettendoci questi due dati ovvero x=-2 e y=1. Solo che non viene...
Perfavore ragazzi, aiutatemi
Io allora cosa ho fatto:
Prima di tutto ho scritto l'equazione 4x - 3y + 2 in forma implicita quindi y = 4/3 x + 2. Poi l'ho messa nel sistema insieme all'equazione della parabola e per il metodo del confronto ho ottenuto 3x^2 - 8x = 0. Ho risolto tramite la formula risolutiva ed ho ottenuto due soluzioni: 8/3 e 0. Ho scartato 0 e ho tenuto 8/3 e poi ho sostituito nell'equazione di prima e mi sono trovato che y= 14/9. Così ho usato la formula y - yo = m(x - xo) dove m è 4/3 e ho trovato l'equazione della retta, ovvero: 12x - 9y - 18 = 0. Ditemi voi, forse ha sbagliato il libro, forse ho sbagliato io. Penso di aver fatto giusto, ditemi voi esperti cortesemente. Ora provo gli altri!
Il 3 ho provato a farlo, nella stessa maniera del 2... Ho trovato la retta usando i punti usando la formula (x-xa/xb-xa)=(y-ya/yb-ya) e ho quindi trovato y= 4x+1. Dopodichè ho messo a sistema quest'equazione e quella della parabola ma ovviamente non viene...
Il 4 ho provato, con il centro e la formula punto-retta non viene...
Il 5 provato, messo a sistema l'equa della circonferenza con i punti 0 e 0, poi delta=0 e la formula del raggio = a 5, ma non viene...
Il 6 penso sia sbagliato ancora una volta il libro... Come mi è stato detto ho intersecato y= 1 e l'equazione x+2y= 0 da cui so che x = -2. Dopodichè metto a sistema -a/2 = -2 , -b/2 = 1 e l'equazione della circonferenza mettendoci questi due dati ovvero x=-2 e y=1. Solo che non viene...
Perfavore ragazzi, aiutatemi
2) devi mettere a sistema la parabola e la generica parallela alla retta data (non la retta stessa), poi imporre Delta=0. Così come hai fatto, trovi solo le intersezioni fra retta e parabola e non c'è motivo per scartare lo 0.
3) Come il 2)
4) Le formule che dici sono giuste; forse sbagli nell'applicarle. Prova a scrivere i calcoli
5) Mi ripeto: fai la figura, che da sola dà suggerimenti
6) Come il 4)
3) Come il 2)
4) Le formule che dici sono giuste; forse sbagli nell'applicarle. Prova a scrivere i calcoli
5) Mi ripeto: fai la figura, che da sola dà suggerimenti
6) Come il 4)
Allora ragazzi, grazie ai vostri consigli sono riuscito a svolgere il 4 e il 6. Gli altri però non sono stato in grado. Potete aiutarmi? Vi scongiuro
Ti do il metodo per il 2, ma ti lascio i calcoli da fare: come hai detto anche tu, la retta è $y=4/3x+2$. Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi la sua generica parallela è $y=4/3x+q$ con $q$ variabile. Metto a sistema la parallela e la parabola e impongo la condizione di tangenza, cioè Delta=0: ricavo $q$ e quindi so la retta. Per trovare i punti di tangenza, torno al sistema, là dove l'avevo lasciato; sostituisco il valore di $q$ e risolvo.
Quest'esercizio 2 continuo a non capirlo...
Metto a sistema:
y=4/3x + q
y= -x^2 + 4x - 2
b^2 - 4ac = 0
Ma non capisco cioè, come faccio a trovare q?
Al posto di b^2 - 4ac ho inserito 4 al posto di b, -1 al posto di a e -2 al posto di c ma viene -8=0
Cioè, forse non ho capito io...
Metto a sistema:
y=4/3x + q
y= -x^2 + 4x - 2
b^2 - 4ac = 0
Ma non capisco cioè, come faccio a trovare q?
Al posto di b^2 - 4ac ho inserito 4 al posto di b, -1 al posto di a e -2 al posto di c ma viene -8=0
Cioè, forse non ho capito io...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo