Problemi equazioni parabola e circonferenza
Buonasera a tutti!
Per il rientro mi sono stati assegnati degli esercizi riguardanti le equazioni della parabola e della circonferenza, alcuni dei quali sono riuscito a fare, ma altri proprio no. Per questo mi rivolgo a voi, gentile community consigliatami da un certo Afullo. Potete aiutarmi a risolverli o per lo meno ad aiutarmi ad impostare le equazioni risolventi il sistema? Ecco i problemi:
1- Trova l'equazione della parabola che ha vertice sulla retta di equazione x + y + 1 = 0 e passa per A(1,4) e B(0,7/3)
2- Data la parabola di equazione y= -x^2 + 4x - 2, determina l'equazione della retta ad essa tangente, parallela a quella di equazione 4x - 3y + 6 = 0. Determina poi le coordinate del punto di tangenza.
3- Data la parabola di equazione y = 2x^2 - 3, calcola l'equazione della retta ad essa tabgebtem parallela alla retta passante per i punti A(0,1) e B(1,5) e le coordinate del punto di tangenza.
4- Scrivi l'equazione della circonferenza concentrica a quella di equazione x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0 e tangente alla retta x + 2y = 0
5- Scrivi l'equazione della circonferenza passante per l'origine, tangente alla retta x= -1 e avente raggio 5.
6- Scrivi l'equazione della circonferenza tangente alle rette di equazione y= 0 e y= 2 e avente centro su quella di equazione x + 2y = 0
Confido in voi e vi ringrazio anticipatamente!
Per il rientro mi sono stati assegnati degli esercizi riguardanti le equazioni della parabola e della circonferenza, alcuni dei quali sono riuscito a fare, ma altri proprio no. Per questo mi rivolgo a voi, gentile community consigliatami da un certo Afullo. Potete aiutarmi a risolverli o per lo meno ad aiutarmi ad impostare le equazioni risolventi il sistema? Ecco i problemi:
1- Trova l'equazione della parabola che ha vertice sulla retta di equazione x + y + 1 = 0 e passa per A(1,4) e B(0,7/3)
2- Data la parabola di equazione y= -x^2 + 4x - 2, determina l'equazione della retta ad essa tangente, parallela a quella di equazione 4x - 3y + 6 = 0. Determina poi le coordinate del punto di tangenza.
3- Data la parabola di equazione y = 2x^2 - 3, calcola l'equazione della retta ad essa tabgebtem parallela alla retta passante per i punti A(0,1) e B(1,5) e le coordinate del punto di tangenza.
4- Scrivi l'equazione della circonferenza concentrica a quella di equazione x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0 e tangente alla retta x + 2y = 0
5- Scrivi l'equazione della circonferenza passante per l'origine, tangente alla retta x= -1 e avente raggio 5.
6- Scrivi l'equazione della circonferenza tangente alle rette di equazione y= 0 e y= 2 e avente centro su quella di equazione x + 2y = 0
Confido in voi e vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
Considera il sistema formato dalle prime due equazioni e comincia a risolverlo: dalla prima equazione ricavi y e lo sostituisci nella seconda; ottieni un'equazione di secondo grado in x. Ordinala secondo le potenze di x, ottenendo così i valori di a, b, c da sostituire nella tua terza equazione (a,b,c NON sono quelli della parabola)
Ragazzi, per domani ho da svolgere li stessi però solo il 2 e il 3. C'ho riprovato e riprovato ma non mi vengono 
Potete spiegarmi bene bene come procedere per la risoluzione?
Potete spiegarmi bene bene come procedere per la risoluzione?
Spiegarteli va bene, farli al tuo posto no: quindi mi invento qualcosa di simile e non finisco i calcoli perchè è probabile che vengano numeracci o equazioni di grado alto.
Riprendiamo l'esercizio 2: ti ho già suggerito di ricavare y dalla prima equazione e sostituirlo nella seconda: supponiamo che tu ottenga l'equazione $2x^2-3x+7+qx^2+5qx+q^2-3q=0$. Adesso ordino secondo x e ottengo $x^2(2+q)+x(-3+5q)+(7+q^2-3q)=0$: è un'equazione di secondo grado con $a=q+2$, $b=5q-3$, $c=q^2-3q+7$ (ho ordinato secondo le potenze di q: è consigliabile ma non necessario). Impongo ora la condizione di tangenza ed ottengo $(5q-3)^2-4(q+2)(q^2-3q+7)=0$; continuerei (ma qui non conviene farlo) facendo i calcoli e ricavando la q. Ho così la retta chiesta e probabilmente ci saranno due soluzioni e quindi due rette: quello che segue va allora fatto due volte, una per ciascuna retta. Se voglio i punti di tangenza, torno al sistema, là dove lo avevo lasciato: al posto di q metto il valore trovato e calcolo a, b, c; risolvo l'equazione di secondo grado in x (che deve avere due soluzioni coincidenti, altrimenti ho sbagliato i calcoli) e, utilizzando l'equazione y=... , ne deduco anche il valore di y.
L'esercizio 3 si fa come il 2: l'unica differenza è che devi calcolare la pendenza della retta AB; c'è una formula apposita, ma puoi anche trovare l'intera equazione della retta e dedurne la pendenza.
Riprendiamo l'esercizio 2: ti ho già suggerito di ricavare y dalla prima equazione e sostituirlo nella seconda: supponiamo che tu ottenga l'equazione $2x^2-3x+7+qx^2+5qx+q^2-3q=0$. Adesso ordino secondo x e ottengo $x^2(2+q)+x(-3+5q)+(7+q^2-3q)=0$: è un'equazione di secondo grado con $a=q+2$, $b=5q-3$, $c=q^2-3q+7$ (ho ordinato secondo le potenze di q: è consigliabile ma non necessario). Impongo ora la condizione di tangenza ed ottengo $(5q-3)^2-4(q+2)(q^2-3q+7)=0$; continuerei (ma qui non conviene farlo) facendo i calcoli e ricavando la q. Ho così la retta chiesta e probabilmente ci saranno due soluzioni e quindi due rette: quello che segue va allora fatto due volte, una per ciascuna retta. Se voglio i punti di tangenza, torno al sistema, là dove lo avevo lasciato: al posto di q metto il valore trovato e calcolo a, b, c; risolvo l'equazione di secondo grado in x (che deve avere due soluzioni coincidenti, altrimenti ho sbagliato i calcoli) e, utilizzando l'equazione y=... , ne deduco anche il valore di y.
L'esercizio 3 si fa come il 2: l'unica differenza è che devi calcolare la pendenza della retta AB; c'è una formula apposita, ma puoi anche trovare l'intera equazione della retta e dedurne la pendenza.
Per quanto riguarda il primo punto devi procedere in questo modo:
Se il vertice della parabola appartiene alla retta x + y + 1 = 0 , le coordinate del vertice che sono -b/2a e -delta/4a, devono soddisfare l'equazione x + y + 1 = 0.
Una prima condizione è quindi
-b/2a -delta/4a + 1 =0
Le altre due condizioni le ottieni sostituendo nell'equazione ax2 + bx + c = 0 le coordinate dei punti che ti vengono dati.
Se il vertice della parabola appartiene alla retta x + y + 1 = 0 , le coordinate del vertice che sono -b/2a e -delta/4a, devono soddisfare l'equazione x + y + 1 = 0.
Una prima condizione è quindi
-b/2a -delta/4a + 1 =0
Le altre due condizioni le ottieni sostituendo nell'equazione ax2 + bx + c = 0 le coordinate dei punti che ti vengono dati.
@francesco1965
Salve Francesco. Benvenuto sul forum e buona permanenza.
Ti consiglio di usare il MathML od il TeX per scrivere le formule, al fine di renderle più leggibili.
Qui trovi le istruzioni.
Salve Francesco. Benvenuto sul forum e buona permanenza.
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