Problema di trigonometria
Ciao a tutti, mi sono imbattuto in questo problema:
Scrivere le formule di alfa e di beta conosciute le lunghezze dei segmenti AB, BC,CD, le coordinate x e y del punto D e conosciuto l'angolo gamma.
Sapreste aiutarmi ?
Grazie mille !!!
Scrivere le formule di alfa e di beta conosciute le lunghezze dei segmenti AB, BC,CD, le coordinate x e y del punto D e conosciuto l'angolo gamma.
Sapreste aiutarmi ?
Grazie mille !!!
Risposte
Conoscendo $gamma$ e $AB$, le coordinate di $B$ sono note.
Il punto $C$ è l'intersezione di due circonferenze: quella con centro $B$ e raggio $BC$, e quella di centro $D$ e raggio $CD$. Già vediamo che di punti $C$ ce ne possono essere due, comunque, noti $C'$ e $C''$, $alpha$ e $beta$ si ricavano, magari con calcoli un po' macchinosi
Il punto $C$ è l'intersezione di due circonferenze: quella con centro $B$ e raggio $BC$, e quella di centro $D$ e raggio $CD$. Già vediamo che di punti $C$ ce ne possono essere due, comunque, noti $C'$ e $C''$, $alpha$ e $beta$ si ricavano, magari con calcoli un po' macchinosi
Altra possibilità: prova a calcolare le coordinate di D, che sono note, partendo dall'origine e utilizzando i teoremi dei triangoli rettangoli. Ti verranno 2 equazioni nei cos e sin dei 2 angoli incogniti.
Ho provato impostando le due equazioni con seno e coseno. Purtroppo arrivo al punto in cui trovato $cos(alpha)$ quando vado a sostituirlo nella equazione con i seno utilizzando la relazione $ cos^2(alpha)+sin^2(alpha) =1$ mi ritrovo $cos(beta)$ sotto radice e non riesco a tirarlo fuori.
Hai dei valori numerici (e in tal caso postali) o è da risolvere in forma letterale?
"ingres":
Hai dei valori numerici (e in tal caso postali) o è da risolvere in forma letterale?
Solo letterali
Posto AB=a, BC=b, CD=c, e x,y le coordinate di D, potremo scrivere
$a*sin(gamma)-b*sin(alpha)-c*sin(beta)=y$
$a*cos(gamma)+b*cos(alpha)-c*cos(beta)=x$
e quindi:
$b*sin(alpha) = a*sin(gamma)-c*sin(beta)-y$
$b*cos(alpha) = -a*cos(gamma)+c*cos(beta)+x$
Elevando al quadrato
$(b*sin(alpha))^2 = (a*sin(gamma)-c*sin(beta)-y)^2$
$(b*cos(alpha))^2 = (-a*cos(gamma)+c*cos(beta)+x)^2$
e sommando tra di loro le due equazioni si ottiene:
$b^2 = a^2+ c^2 + ... $
dove il termine di destra contiene solo come incognite $cos(beta)$ e $sin(beta)$ e quindi è un'equazione risolvibile con le formule parametriche.
$a*sin(gamma)-b*sin(alpha)-c*sin(beta)=y$
$a*cos(gamma)+b*cos(alpha)-c*cos(beta)=x$
e quindi:
$b*sin(alpha) = a*sin(gamma)-c*sin(beta)-y$
$b*cos(alpha) = -a*cos(gamma)+c*cos(beta)+x$
Elevando al quadrato
$(b*sin(alpha))^2 = (a*sin(gamma)-c*sin(beta)-y)^2$
$(b*cos(alpha))^2 = (-a*cos(gamma)+c*cos(beta)+x)^2$
e sommando tra di loro le due equazioni si ottiene:
$b^2 = a^2+ c^2 + ... $
dove il termine di destra contiene solo come incognite $cos(beta)$ e $sin(beta)$ e quindi è un'equazione risolvibile con le formule parametriche.
"ingres":
Posto AB=a, BC=b, CD=c, e x,y le coordinate di D, potremo scrivere
$a*sin(gamma)-b*sin(alpha)-c*sin(beta)=y$
$a*cos(gamma)+b*cos(alpha)-c*cos(beta)=x$
e quindi:
$b*sin(alpha) = a*sin(gamma)-c*sin(beta)-y$
$b*cos(alpha) = -a*cos(gamma)+c*cos(beta)+x$
Elevando al quadrato
$(b*sin(alpha))^2 = (a*sin(gamma)-c*sin(beta)-y)^2$
$(b*cos(alpha))^2 = (-a*cos(gamma)+c*cos(beta)+x)^2$
e sommando tra di loro le due equazioni si ottiene:
$b^2 = a^2+ c^2 + ... $
dove il termine di destra contiene solo come incognite $cos(beta)$ e $sin(beta)$ e quindi è un'equazione risolvibile con le formule parametriche.
Grazie della dritta !!! Sono andato avanti con le parametriche e ho ottenuto un equazione di secondo grado con incognita $t=tan(beta/2)$ quindi avrò due soluzioni di beta, ha senso ?
Intanto bisogna vedere se era necessario imporre delle condizioni sugli angoli (ad esempio angoli minori di 90° e quindi t<1).
Inoltre bisogna controllare la validità delle soluzioni, sostituendo nelle equazioni originarie. Elevando al quadrato si possono introdurre delle soluzioni spurie.
Se ti sembra che possano essere soluzioni accettabili, o comunque risulta complicato capirci qualcosa, prova a inserire dei numeri e a vedere nel concreto che soluzioni ottieni.
Inoltre bisogna controllare la validità delle soluzioni, sostituendo nelle equazioni originarie. Elevando al quadrato si possono introdurre delle soluzioni spurie.
Se ti sembra che possano essere soluzioni accettabili, o comunque risulta complicato capirci qualcosa, prova a inserire dei numeri e a vedere nel concreto che soluzioni ottieni.
Ho provato con la versione Pro di WolframAlpha, non c'è stato verso di farglielo risolvere. neanche rigirando le equazioni. Sapete se c'è qualche programma che sia in grado di risolvere questo sistema ? Grazie !!
.
Dovresti aver ottenuto l'equazione:
$b^2 = a^2+c^2 + y^2+x^2 - 2ay*sin(gamma)-2ax*cos(gamma)+ 2c[y-a*sin(gamma)]*sin(beta)+2c[x-a*cos(gamma)]*cos(beta)$
e quindi posto:
$A=b^2 -( a^2+c^2 + y^2+x^2- 2ay*sin(gamma)-2ax*cos(gamma))$
$B=2c[y-a*sin(gamma)]$
$C=2c[x-a*cos(gamma)]$
e usando le formule parametriche con $t=tg(beta/2)$
$B*2t+C*(1-t^2)=A(1+t^2)$
$(A+C)t^2-2Bt+A-C=0$
Da cui si ottiene t e quindi $beta$. Però non credo che si possa andare tanto avanti in forma letterale e lo stesso vale per qualsiasi metodo alternativo (vedi il post di sellacollesella).
Hai provato con dei numeri? In caso positivo, che numeri hai usato?
$b^2 = a^2+c^2 + y^2+x^2 - 2ay*sin(gamma)-2ax*cos(gamma)+ 2c[y-a*sin(gamma)]*sin(beta)+2c[x-a*cos(gamma)]*cos(beta)$
e quindi posto:
$A=b^2 -( a^2+c^2 + y^2+x^2- 2ay*sin(gamma)-2ax*cos(gamma))$
$B=2c[y-a*sin(gamma)]$
$C=2c[x-a*cos(gamma)]$
e usando le formule parametriche con $t=tg(beta/2)$
$B*2t+C*(1-t^2)=A(1+t^2)$
$(A+C)t^2-2Bt+A-C=0$
Da cui si ottiene t e quindi $beta$. Però non credo che si possa andare tanto avanti in forma letterale e lo stesso vale per qualsiasi metodo alternativo (vedi il post di sellacollesella).
Hai provato con dei numeri? In caso positivo, che numeri hai usato?
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Intendo dire che se tutto rimane in forma letterale non vedo una gran soluzione.
"alequatt":
ingres ha scritto:
Hai dei valori numerici (e in tal caso postali) o è da risolvere in forma letterale?
Solo letterali
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Il cuore della questione è proprio questo.
L'equazione risolvente è di secondo grado sia che lavori in $cos(alpha)$ o in $tg(beta/2)$ e quindi formalmente le soluzioni si trovano in termini di arccos e o di arctg . E peraltro si possono imporre le condizioni che il determinante dell'equazione di secondo grado sia non negativo per avere soluzioni reali e quant' altro necessario (es. che il cos sia compreso tra -1 e 1)
Ma se quello che si chiede è solo di impostare il problema allora il discorso finisce qui.
Per andare avanti è necessario sapere di più sulla richiesta, ovvero se c'è un caso numerico da risolvere oppure se lo scopo è impostare il tutto in un foglio di calcolo per assegnare dei valori e vedere cosa viene fuori o quant'altro. E questo lo può dire solo alequatt.
L'equazione risolvente è di secondo grado sia che lavori in $cos(alpha)$ o in $tg(beta/2)$ e quindi formalmente le soluzioni si trovano in termini di arccos e o di arctg . E peraltro si possono imporre le condizioni che il determinante dell'equazione di secondo grado sia non negativo per avere soluzioni reali e quant' altro necessario (es. che il cos sia compreso tra -1 e 1)
Ma se quello che si chiede è solo di impostare il problema allora il discorso finisce qui.
Per andare avanti è necessario sapere di più sulla richiesta, ovvero se c'è un caso numerico da risolvere oppure se lo scopo è impostare il tutto in un foglio di calcolo per assegnare dei valori e vedere cosa viene fuori o quant'altro. E questo lo può dire solo alequatt.
Prima di tutto un sentito ringraziamento a voi per avermi aiutato nella risoluzione del problema. Si lo scopo è proprio la creazione di un foglio excell nel quale variando le costanti si ottengono i gli angoli incogniti. In realtà ho preso spunto da un esercizio più semplice che simulava un braccio meccanico mosso da un cilindro (tipo il braccio di una ruspa). I segmenti erano solo due, (molto più semplice). Ho voluto provare ad andare più a fondo nel caso i segmenti fossero di più.
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Se lavori in Excel potresti provare in un altro modo che è più semplice ed estensibile ad un numero qualsivoglia di aste.
1) Inserisci nelle celle le tue grandezze note e separatamente anche delle celle con dei valori ragionevoli di tentativo per quelle incognite. In questo caso sono $alpha$ e $beta$, che supporremo per semplicità posizionate in A1 e A2. Inoltre in B1 e B2 supporremo che ci siano le coordinate del punto D.
2) Calcola ascissa e ordinata del punto finale con i valori di primo tentativo inseriti in A1 e A2.
Siano C1 e C2 le celle che contengono tali coordinate calcolate. Ovviamente non saranno uguali a quelle desiderate.
3) Calcola in una cella D1 la somma dei quadrati delle differenze ovvero il valore di (B1-C1)^2 + (B2-C2)^2.
4) Attiva la funzione Solver e fornisci come funzione obiettivo la cella D1, come obiettivo che sia zero (oppure min) e come celle da modificare A1 e A2.
Se tutto va bene (però non te lo garantisco) Excel calcolerà e scriverà automaticamente in A1 e A2 le soluzioni corrette.
In questo modo non hai neppure necessità di trovare le formule risolutive.
1) Inserisci nelle celle le tue grandezze note e separatamente anche delle celle con dei valori ragionevoli di tentativo per quelle incognite. In questo caso sono $alpha$ e $beta$, che supporremo per semplicità posizionate in A1 e A2. Inoltre in B1 e B2 supporremo che ci siano le coordinate del punto D.
2) Calcola ascissa e ordinata del punto finale con i valori di primo tentativo inseriti in A1 e A2.
Siano C1 e C2 le celle che contengono tali coordinate calcolate. Ovviamente non saranno uguali a quelle desiderate.
3) Calcola in una cella D1 la somma dei quadrati delle differenze ovvero il valore di (B1-C1)^2 + (B2-C2)^2.
4) Attiva la funzione Solver e fornisci come funzione obiettivo la cella D1, come obiettivo che sia zero (oppure min) e come celle da modificare A1 e A2.
Se tutto va bene (però non te lo garantisco) Excel calcolerà e scriverà automaticamente in A1 e A2 le soluzioni corrette.
In questo modo non hai neppure necessità di trovare le formule risolutive.
Ho inserito le equazioni su excell e ho fatto una prova con i seguenti valori a=4, b=3, c=3, Xd=0, Yd=-1 e $gamma=90°$, mi ritrovo che entrambi gli angoli $beta$, $alpha$ sono uguali poichè se b=c ho un triangolo isoscele. Ho soluzioni sia per u1 e u2 cosa che conferma anche la prova su geogebra. L'unica cosa che non capisco è perchè ho gli angoli uguali tra u1 e v2 e u2 e v1. Infatti $alpha(u1)=56° ; beta(v2)=56°$ Mi aspettavo che con v1 ricavato con u1 avessi una configurazione e con v2(u2) un'altra.
"ingres":
Se lavori in Excel potresti provare in un altro modo che è più semplice ed estensibile ad un numero qualsivoglia di aste.
1) Inserisci nelle celle le tue grandezze note e separatamente anche delle celle con dei valori ragionevoli di tentativo per quelle incognite. In questo caso sono $alpha$ e $beta$, che supporremo per semplicità posizionate in A1 e A2. Inoltre in B1 e B2 supporremo che ci siano le coordinate del punto D.
2) Calcola ascissa e ordinata del punto finale con i valori di primo tentativo inseriti in A1 e A2.
Siano C1 e C2 le celle che contengono tali coordinate calcolate. Ovviamente non saranno uguali a quelle desiderate.
3) Calcola in una cella D1 la somma dei quadrati delle differenze ovvero il valore di (B1-C1)^2 + (B2-C2)^2.
4) Attiva la funzione Solver e fornisci come funzione obiettivo la cella D1, come obiettivo che sia zero (oppure min) e come celle da modificare A1 e A2.
Se tutto va bene (però non te lo garantisco) Excel calcolerà e scriverà automaticamente in A1 e A2 le soluzioni corrette.
In questo modo non hai neppure necessità di trovare le formule risolutive.
Grazie ! Proverò a farlo !!
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