Problema di trigonometria
Ho quest'altro problema dove bisognerebbe applicare il teorema della corda: data la semicirconferenza di diametro $AB=2r$, considera le corde $AC$ e $CD$ consecutive e congruenti. Posto $ABC=x$, trova per quali valori di $x$ si ha: $AC+CD+2DB=AB$.
Ho provato a fare un disegno, allego il file sotto, il problema è che qui non ho idea di cosa fare, visto che l'angolo $ABC$ è retto e quindi posso applicare il teorema sui triangoli rettangoli: $AC=2rsinx$. Solo che non so come continuare per trovare $DB$. Potreste aiutarmi per favore?
Ho provato a fare un disegno, allego il file sotto, il problema è che qui non ho idea di cosa fare, visto che l'angolo $ABC$ è retto e quindi posso applicare il teorema sui triangoli rettangoli: $AC=2rsinx$. Solo che non so come continuare per trovare $DB$. Potreste aiutarmi per favore?
Risposte
Questo problema è addirittura ridicolo.
Utilizzando il teorema della corda puoi calcolare la lunghezza di tutti i segmenti che compaiono nell'equazione. Sostituiti ai simboli i loro valori, risolvi l'equazione.
Ti do una piccola dritta. Se $ABC=x$, anche $CBD=x$, visto che sottendono archi congruenti……………..
Marco
Utilizzando il teorema della corda puoi calcolare la lunghezza di tutti i segmenti che compaiono nell'equazione. Sostituiti ai simboli i loro valori, risolvi l'equazione.
Ti do una piccola dritta. Se $ABC=x$, anche $CBD=x$, visto che sottendono archi congruenti……………..
Marco
Se vedo l'angolo $B$ diviso nei due triangoli e le due porzioni di angolo le chiamo $beta1, beta2$, queste sono congrunti?
Allora posso scrivere $AC=2rsinx$ e $CD=2rsinx$, ma il problema arriva quando devo trovare $DB$, dovrei scrivere: $DB=2rsinC$ e io non conosco $C$. Come dovrei ricavarlo?
Allora posso scrivere $AC=2rsinx$ e $CD=2rsinx$, ma il problema arriva quando devo trovare $DB$, dovrei scrivere: $DB=2rsinC$ e io non conosco $C$. Come dovrei ricavarlo?
Certo che lo conosci, spegni la canna e ragiona.
Suggerimento: unisci D con A
Suggerimento: unisci D con A
Quel che spegnerei volentieri è il sole che mi sta sciogliendo i neuroni, ho unito A e D, ma non ho notato nulla di nuovo, non capisco quali concetti applicare, angoli al centro e alla circonferenza o triangoli simili, non ne ho idea.
$hat(ABD)=2x$,
$hat(BDA)=90°$,
quindi $hat(DAB)=?$
$hat(BDA)=90°$,
quindi $hat(DAB)=?$
Quindi $DAB=90°-x$, corretto?
NO!!!!
Ma se la somma degli angoli interni di un triangolo è $180°$ allora l'angolo $A$ è $180°-90°-2x$ ovvero $90°-2x$, perchè è sbagliato?
Questo è giusto. Non è quello che hai scritto in precedenza.
Si, ho dimenticato il 2, dunque ricapitolando, $AC=2rsinx$ $DB=2rsin(pi/2-2x)$. Domande: posso scrivre $AC+DC$ come $2AC$ visto che sono congruenti? Poi non ho capito perche l'angolo $B$ viene divisò a metà e perchè abbiamo considerato il segmento $AD$ per risolvere il problema? Poi un'ultima cosa: teorema55 diceva che conosco l'angolo $C$ ma ancora non ho capito il perchè e quanto vale.
No, purtroppo ora come ora non ci arrivo, o per il caldo, o per mancanza di riposo.
Ricapitolando
L'arco AC e l'arco CD sono congruenti, quindi anche gli angoli $hat(ABC)$ e $hat(CBD)$ lo sono, perciò $hat(ABC)=hat(CBD)=1/2hat(ABD)$.
L'angolo $ hat(ACD)$ è supplementare di $hat(ABD)$ perché insiste sul maggiore degli archi AC. Questa proprietà è dimostrabile agevolmente usando gli angoli al centro che insistono sullo stesso arco e su archi complementari.
L'arco AC e l'arco CD sono congruenti, quindi anche gli angoli $hat(ABC)$ e $hat(CBD)$ lo sono, perciò $hat(ABC)=hat(CBD)=1/2hat(ABD)$.
L'angolo $ hat(ACD)$ è supplementare di $hat(ABD)$ perché insiste sul maggiore degli archi AC. Questa proprietà è dimostrabile agevolmente usando gli angoli al centro che insistono sullo stesso arco e su archi complementari.
Quindi se $ACD$ è supplementare di $ABD$ (io ho pensato che essendo $ABDC$ un quadrilatero allora gli angoli opposti sono supplementari, equivalentemente a cio che hai detto tu) allora l'angolo $BCD$ vale $BCD = 90°-2x$, e così col teorema della corda posso trovare che $DB=2rsin(pi/2-2x)$, giusto?
Fai attenzione, hai di nuovo commesso uno dei tuoi soliti errori.
Non capisco qual'è l'angolo da considerarsi opposto ad $DB$,per caso l'angolo $A$ ?
Un'altra mia ipotesi sarebbe questa: chiamando $E$ il punto di incrocio con i segmenti $AC$ e $BD$ il triangolo $CED$ ha l'angolo in $E$ pari a $90-x$ e quindi col teorema della corda ricavo che $DB=2rsin(90-x)$, ma non so se è giusto.
Potreste chiarirmi qual'è l'angolo che insiste sulla corda BD? Se per caso è l'angolo $BCD$ impostando l'equazione il risultato mi viene errato.
"olegfresi":
....il risultato mi viene errato.
Errato rispetto a cosa?
Sicuramente il problema (come lo hai scritto) non ammette soluzioni: è difficile che una spezzata abbia lunghezza minore od uguale al segmento che ne congiunge gli estremi.
Ciao
Si, la soluzione è proprio quella, che l'equazione $AC + CD + 2DB = AB$ non ammette soluzioni, ma indipendentemente da questo, stavamo ragionando su come ricavare $DB$. E' li che ho difficoltà.
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