Problema di trigonometria

[oleg.fresi]

Ho quest'altro problema dove bisognerebbe applicare il teorema della corda: data la semicirconferenza di diametro $AB=2r$, considera le corde $AC$ e $CD$ consecutive e congruenti. Posto $ABC=x$, trova per quali valori di $x$ si ha: $AC+CD+2DB=AB$.
Ho provato a fare un disegno, allego il file sotto, il problema è che qui non ho idea di cosa fare, visto che l'angolo $ABC$ è retto e quindi posso applicare il teorema sui triangoli rettangoli: $AC=2rsinx$. Solo che non so come continuare per trovare $DB$. Potreste aiutarmi per favore?

[oleg.fresi]

Dai per favore, aiutatemi, ho provato tutte le strade per risolverlo, è una settimana che sto su questo problema.

[caffeinaplus]

EDIT: credo di aver sbagliato i dati del problema, avevo letto male e anche se il risultato era giusto si basava su un passaggio errato.

[oleg.fresi]

Non capisco perchè dici che $AC=AD$ forse volevi dire che $AC=CD$ come dice il testo. Comunque ero arrivato anche io alla conclusione che $DB=ABcosx$ solo che quando vado a risolvere l'equazione, non mi viene impossibile, ma restituisce un valore, cosa che non dovrebbe fare. L'equazione è: $2rsinx + 2rsinx +4rcosx=2r$ e dividendo per $r$ e sommando i termini simili rimane: $4sinx+4cosx=2$ e dividendo per 4 ottengo $sinx+cosx=1/2$

[caffeinaplus]

Se la risolvi scopri che è un angolo non accettabile per i vincoli geometrici

[oleg.fresi]

Perfetto, grazie mille per l'aiuto!

[oleg.fresi]

Riprendo un attimo la discussione: le limitazioni del problema sono $0

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[caffeinaplus]

$sinx+cosx=1/2$
$
sin^2x +cos^2x=1$

Da qui si ricava che

$cosx=1/2-sinx$
$
cosx=(1+sqrt(7))/4$

La soluzione con segno negativo la scartiamo subito perché implicherebbe un angolo maggiore di $pi/2$

Ricordando che dobbiamo stare nel primo quadrante

$sinx = 1/2 - (1+sqrt(7))/4$
Che è uguale a un numero negativo, quindi è un angolo del quarto quadrante e non è accettabile

[oleg.fresi]

ok il seno è un numero negativo e lo scartiamo, ma il coseno no, perchè non lo consideriamo?

[caffeinaplus]

Perché devi considerare entrambe le relazioni, il coseno con segno positivo per essere.soluzione vuole un seno con segno negativo, che implica un angolo maggiore dei vincoli e il che non è accettabile.Rileggi meglio l'intervento e cerca di tenere a mente tutte le relazioni che si utilizzano

[oleg.fresi]

Perfetto, grazie mille, sei stato disponibilissimo, buon Ferragosto!

[orsoulx]

"olegfresi":Perfetto

Arrivare alla risposta corretta, quando il procedimento applicato presenta errori, credo sia cosa lontana dalla perfezione.
Mi pare che sia $ BD=2rcos(2x) $, con l'incognita limitata geometricamente dall'appartenenza di $ D $ alla semicirconferenza, cioè: $ 0<=x<=pi/4$.
Ciao

[oleg.fresi]

Si, cosa varei sbagliato? Forse ho sbagliato a porre le giuste limitazioni, ma non capisco perchè x deve essre compreso tra quei valori.