Problema di geometria sul teorema di Talete
In un trapezio ABCD la lunghezza della base minore CD è 20cm e quella del lato obliquo AD è 30cm. Da un punto E di CD, distante 14cm da C, traccia la parallela al lato BC e sia P il punto in cui essa interseca la diagonale AC. Da P traccia la parallela alle basi, che interseca il lato AD in G. Determina le lunghezze dei segmenti AG e DG. Grazie a tutti!!!! 
Risposte
Mi sembra che il problema non sia risolvibile. Manca un dato (base maggiore?)
poichè parli di lato obliquo, suppongo che si tratti di un trapezio rettangolo
Dovresti però farci sapere quale procedimento hai tentato, e che difficoltà hai incontrato
Dovresti però farci sapere quale procedimento hai tentato, e che difficoltà hai incontrato
Io ho provato congiungendo i punti E e G e ipotizzando che questo segmento sia parallelo alla diagonale AC. Dopo di questo ho impostato la proporzione (CE+CD):CE=(DG+GA): DG quindi 20:14=30:x x=21
In effetti i risultati erano 21 e 9 cm, però non so secondo quale criterio posso considerare AC parallelo ad EG, ma non ho trovato altro modo per risolverlo.
In effetti i risultati erano 21 e 9 cm, però non so secondo quale criterio posso considerare AC parallelo ad EG, ma non ho trovato altro modo per risolverlo.
Dopo aver letto meglio il testo mi sono accorta che non può essere un trapezio rettangolo
La tua intuizione mi sembra corretta; per dimostrarla, prova a controllare se ci sono congruenze tra gli angoli formati da GE, AC ed una loro trasversale
La tua intuizione mi sembra corretta; per dimostrarla, prova a controllare se ci sono congruenze tra gli angoli formati da GE, AC ed una loro trasversale
Direi che il problema è davvero incompleto: non solo manca la base maggiore ma non si sa se il trapezio è isoscele, rettangolo o altro (l'ultima ipotesi è improbabile poiché si parla di lato obliquo, al singolare). Ho cercato di capirne qualcosa partendo da $AG=21$ ed usando analitica e trigonometria; salvo errori trovo che si ottiene questo valore se la base maggiore vale $140/3$, indipendentemente da altri dati. Mi sembra un po' strano!
Ho trovato lo stesso valore della base maggiore $AB=140/3$ di giammaria partendo da $GE$ parallelo ad $AC$. Supponendo ciò, indicando con $M$ il punto in cui la retta $GP$ incontra il lato $BC$, si ha $EC=GP$ e $EC=PM$. Indicando poi con $Q$ il punto di intersezione dei prolungamenti di $AD$ e $BC$, lavorando sui triangoli $QDC$, $QGM$ e $QAB$, si ottiene il valore di $AB$ indicato.
Il link sotto si riferisce ad un file di geogebra che rappresenta la situazione: spostando $H$ si modifica l'altezza del trapezio; agendo su $B$ si varia la base maggiore.
http://www.2shared.com/file/nwaN4S3n/trapezio.html
Il link sotto si riferisce ad un file di geogebra che rappresenta la situazione: spostando $H$ si modifica l'altezza del trapezio; agendo su $B$ si varia la base maggiore.
http://www.2shared.com/file/nwaN4S3n/trapezio.html
"giammaria":
Direi che il problema è davvero incompleto: non solo manca la base maggiore ma non si sa se il trapezio è isoscele, rettangolo o altro (l'ultima ipotesi è improbabile poiché si parla di lato obliquo, al singolare). Ho cercato di capirne qualcosa partendo da $AG=21$ ed usando analitica e trigonometria; salvo errori trovo che si ottiene questo valore se la base maggiore vale $140/3$, indipendentemente da altri dati. Mi sembra un po' strano!
se si riesce a dimostrare il parallelismo tra $GE$ e $AC$ il problema è di facile soluzione, in quanto la richiesta è solo di trovare la lunghezza di $DG$ ed $AG$, e questa si trova tramite la proporzione, in quanto avremmo rette parallele tagliate da due trasversali
"Nicole93":
se si riesce a dimostrare il parallelismo tra $GE$ e $AC$ il problema è di facile soluzione,
Vero, però se il parallelismo tra GE e AC $=> AB=140/3$, allora $AB!=140/3$ $=>$ GE non parallelo ad AC.
Mi è venuta un'idea: il testo originale dice veramente "traccia la parallela al lato BC" o forse la frase è "traccia la parallela al lato obliquo"? Se è così e se l'ultimo termine indica AD (e non BC) il problema è davvero una semplice applicazione del teorema di Talete, non mancano dati e la soluzione è $AG=9$
Forte giammaria....
"Geppo":
Ho trovato lo stesso valore della base maggiore $AB=140/3$ di giammaria partendo da $GE$ parallelo ad $AC$. Supponendo ciò, indicando con $M$ il punto in cui la retta $GP$ incontra il lato $BC$, si ha $EC=GP$ e $EC=PM$. Indicando poi con $Q$ il punto di intersezione dei prolungamenti di $AD$ e $BC$, lavorando sui triangoli $QDC$, $QGM$ e $QAB$, si ottiene il valore di $AB$ indicato.
Il link sotto si riferisce ad un file di geogebra che rappresenta la situazione: spostando $H$ si modifica l'altezza del trapezio; agendo su $B$ si varia la base maggiore.
http://www.2shared.com/file/nwaN4S3n/trapezio.html
non sono riuscita a visualizzare il file; comunque anch'io ho provato con geogebra, ed effettivamente il parallelismo tra i due segmenti $EG$ ed $AC$ c'è solo in un caso particolare, a cui i dati forniti dal testo non permettono di ricondurci
beh, io avevo visto questo problema alcuni giorni fa, avevo chiamato $x$ la lunghezza del segmento $AG$ e, mandando sia da D sia da E le parallele a BC, avevo chiamato $y+20$ la base maggiore, trovando in più modi la stessa relazione tra x ed y : $y=(20(x-9))/(30-x)$.
poi ho abbandonato il problema.
ora mi è venuto in mente che il trapezio GPED è simile ad ABCD (?, chiedo conferma, oppure chiedo se c'è un altro modo per dimostrare che $GE \//// AC$)e di conseguenza anche le diagonali GE e AC sono parallele. dunque $GD=6/20DA=6/20*30=9$.
non volendo annullare le notazioni precedenti, si ottiene lo stesso risultato ($AG=x=21$), dalla proporzione $6 : (30-x) = 20 : 30$.
poi ho abbandonato il problema.
ora mi è venuto in mente che il trapezio GPED è simile ad ABCD (?, chiedo conferma, oppure chiedo se c'è un altro modo per dimostrare che $GE \//// AC$)e di conseguenza anche le diagonali GE e AC sono parallele. dunque $GD=6/20DA=6/20*30=9$.
non volendo annullare le notazioni precedenti, si ottiene lo stesso risultato ($AG=x=21$), dalla proporzione $6 : (30-x) = 20 : 30$.
Scusa, adaBTTLS, ma non era stato dimostrato (penultimo intervento della prima pagina, confermato da quello immediatamente precedente al tuo) che il parallelismo fra $GE$ ed $AC$ si ha solo in un caso particolare? O ti fraintendo?
Resto dell'idea che ho esposto in fondo alla prima pagina: il testo è sbagliato perché una parola del testo originale è stata fraintesa.
Resto dell'idea che ho esposto in fondo alla prima pagina: il testo è sbagliato perché una parola del testo originale è stata fraintesa.
sarebbe a questo punto opportuno che l'autore della richiesta potesse controllare il testo che ha scritto e dirci se l'interpretazione di giammaria è corretta
"giammaria":
Scusa, adaBTTLS, ma non era stato dimostrato (penultimo intervento della prima pagina, confermato da quello immediatamente precedente al tuo) che il parallelismo fra $GE$ ed $AC$ si ha solo in un caso particolare? O ti fraintendo?
Resto dell'idea che ho esposto in fondo alla prima pagina: il testo è sbagliato perché una parola del testo originale è stata fraintesa.
sì, non ho seguito molto, e magari anche ora non "collego" i vari interventi, comunque non mi è chiaro l'intervento di Geppo: perché al di fuori di quel caso particolare le rette non sono parallele?
PS: preciso che avevo sorvolato la discussione perché "scorrendo velocemente" avevo intuito che gli interventi tendevano a dimostrare che mancava qualche dato ma non erano risolutivi in tal senso; volendo provare a "dimostrare" il contrario, non volevo esserne condizionata.
ora, dopo il richiamo di giammaria, sono tornata indietro e quel che non mi è chiaro non è la conclusione "logica" di Geppo ma l'esistenza di casi che provino la possibilità che la base maggiore possa essere diversa da quel valore. di fatto, i miei calcoli "non incerti" provano che se $x=21$ allora $y=80/3$.
a questo punto chiedo sia a Geppo sia a giammaria: siete in grado di fornire un esempio in cui, valendo il testo del problema, possa essere $x != 21$ ovvero $bar(AB) != 140/3$ ?
dovevo aver fatto male la costruzione con geogebra, poichè adesso invece torno alla mia idea originale, che poi è confermata da adaBTTLS, che con la costruzione indicata dal testo le due rette sono sempre parallele
"adaBTTLS":
comunque non mi è chiaro l'intervento di Geppo: perché al di fuori di quel caso particolare le rette non sono parallele?
Nient'altro che l'implicazione contronominale.
"Nicole93":
dovevo aver fatto male la costruzione con geogebra, poichè adesso invece torno alla mia idea originale, che poi è confermata da adaBTTLS, che con la costruzione indicata dal testo le due rette sono sempre parallele
Per aprire il mio file di geogebra prova ad aggiornare l'applicazione.
@ Geppo: infatti me ne sono accorta, ed avevo già modificato il mio intervento aggiungendo un PS: puoi rivederlo?
forse mi rispondo da sola:
non ho fatto i calcoli, ma mi pare che questo controesempio, con l'aiuto della geometria analitica, possa funzionare: Nicole93, ti prego di verificarlo.
$A(-18,0), B(50,0), C(20,24), D(0,24), E(6,24)$
non ho fatto i calcoli, ma mi pare che questo controesempio, con l'aiuto della geometria analitica, possa funzionare: Nicole93, ti prego di verificarlo.
$A(-18,0), B(50,0), C(20,24), D(0,24), E(6,24)$
"adaBTTLS":
forse mi rispondo da sola:
non ho fatto i calcoli, ma mi pare che questo controesempio, con l'aiuto della geometria analitica, possa funzionare: Nicole93, ti prego di verificarlo.
$A(-18,0), B(50,0), C(20,24), D(0,24), E(6,24)$
in effetti, sia in base ai valori che mi fornisce geogebra che in base ai calcoli che ho fatto, la condizione di parallelismo non sembra verificata, e la stessa cosa accade anche ricontrollando meglio il grafico che avevo fatto in precedenza
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