Problema 2 maturità : domanda 1
partiamo con un dialogo immaginario
A) ho saputo che C vuole vendere la sua auto ed ho intenzione di comprarla ;tu la conosci bene in tutte le sue caratteristiche;da esperto quale sei ,secondo te quanto potrebbe chiedere come minimo ?
B) eh,sicuramente una cifra non inferiore a 100 euro
A) beh,questo è evidente ; ma mi sembra difficile che accetti solo 100 euro,quindi non hai risposto alla mia domanda
fine di un'amicizia
passiamo alla domanda 1 del problema 2
sui vari siti furoreggia la risposta :"il grado del polinomio deve essere maggiore o uguale a 4"
e grazie al cavolo ;per dare questa risposta basta dare un'occhiata alla forma del grafico senza aver bisogno di utilizzare nessun altra informazione
il problema invece chiede : "avendoti dato 11 condizioni(perchè ormai le ha date, non può ritrattare ) ,per soddisfarle,il polinomio potrebbe essere come minimo di grado ..?
quindi,la risposta data sui siti di per sè non è sbagliata ,semplicemente non è la risposta pertinente alla domanda posta
a questo punto,mi potreste dire :" e allora,saputello,daccela tu la risposta"
e qui viene il bello : è molto difficile darla ; senza verificare con i calcoli (di portata gigantesca) ogni risposta lascia il tempo che trova; è chiaro poi che con i calcoli il "potrebbe" può essere promosso a "deve"(e quindi anche quel "potrebbe" grida vendetta )
io mi sono limitato a dimostrare che solo per le condizioni sulla $f$(senza contare quelle sulla $g$) il polinomio deve avere grado >5
in sostanza,domanda pessima
quindi alla fine ,in fondo ,si è fatto bene a scegliere di rispondere ad un'altra : "Così,subito,ad occhio,il grado di $f$ è sicuramente maggiore o uguale a..?
A) ho saputo che C vuole vendere la sua auto ed ho intenzione di comprarla ;tu la conosci bene in tutte le sue caratteristiche;da esperto quale sei ,secondo te quanto potrebbe chiedere come minimo ?
B) eh,sicuramente una cifra non inferiore a 100 euro
A) beh,questo è evidente ; ma mi sembra difficile che accetti solo 100 euro,quindi non hai risposto alla mia domanda
fine di un'amicizia
passiamo alla domanda 1 del problema 2
sui vari siti furoreggia la risposta :"il grado del polinomio deve essere maggiore o uguale a 4"
e grazie al cavolo
;per dare questa risposta basta dare un'occhiata alla forma del grafico senza aver bisogno di utilizzare nessun altra informazioneil problema invece chiede : "avendoti dato 11 condizioni(perchè ormai le ha date, non può ritrattare
) ,per soddisfarle,il polinomio potrebbe essere come minimo di grado ..?quindi,la risposta data sui siti di per sè non è sbagliata ,semplicemente non è la risposta pertinente alla domanda posta
a questo punto,mi potreste dire :" e allora,saputello,daccela tu la risposta"
e qui viene il bello : è molto difficile darla ; senza verificare con i calcoli (di portata gigantesca) ogni risposta lascia il tempo che trova; è chiaro poi che con i calcoli il "potrebbe" può essere promosso a "deve"(e quindi anche quel "potrebbe" grida vendetta
)io mi sono limitato a dimostrare che solo per le condizioni sulla $f$(senza contare quelle sulla $g$) il polinomio deve avere grado >5
in sostanza,domanda pessima
quindi alla fine ,in fondo ,si è fatto bene a scegliere di rispondere ad un'altra : "Così,subito,ad occhio,il grado di $f$ è sicuramente maggiore o uguale a..?
Risposte
Comunque, volendo considerare, nel problema (v. testo), funzioni di tipo polinomiale $P(x)$, dal momento che si deduceva dal grafico che si doveva avere
$lim_{xto-oo} P(x)=lim_{xto+oo} P(x)=-oo$ (con una piccola forzatura, lo ammetto)
direi che i gradi dispari siano sicuramente da escludere.
Saluti.
$lim_{xto-oo} P(x)=lim_{xto+oo} P(x)=-oo$ (con una piccola forzatura, lo ammetto)
direi che i gradi dispari siano sicuramente da escludere.
Saluti.
se permetti,con una grande forzatura;noi conosciamo solo il comportamento in $[-3,3]$
nulla lascia presagire il comportamento a $+infty$ e $-infty$ : ci potrebbero essere (è molto probabile) altri estremi relativi
nulla lascia presagire il comportamento a $+infty$ e $-infty$ : ci potrebbero essere (è molto probabile) altri estremi relativi
Usando l'aggettivo "piccola" associato a "forzatura", cercavo di essere gentile e anche un po' diplomatico (per non dire ironico).
Comunque, effettivamente, anche se hai ragione sul comportamento della funzione visibile solamente in $[-3,3]$ (con tutte le possibili deduzioni), è evidente che gli studenti avranno, comunque, assunto come scontato un comportamento all'infinito come quello riportato nel mio post precedente (se non proprio tutti, almeno quasi tutti).
Io cercavo semplicemente di "mettermi nei panni" di un ipotetico candidato all'esame di Stato che si trova - davanti agli occhi e in piena fase di esame - un grafico di quel tipo.
Saluti.
Comunque, effettivamente, anche se hai ragione sul comportamento della funzione visibile solamente in $[-3,3]$ (con tutte le possibili deduzioni), è evidente che gli studenti avranno, comunque, assunto come scontato un comportamento all'infinito come quello riportato nel mio post precedente (se non proprio tutti, almeno quasi tutti).
Io cercavo semplicemente di "mettermi nei panni" di un ipotetico candidato all'esame di Stato che si trova - davanti agli occhi e in piena fase di esame - un grafico di quel tipo.
Saluti.
Ho preferito procedere mediante la primitiva:
$g(x)=Ax^10+Bx^9+Cx^8+Dx^7+Ex^6+Fx^5+Gx^4+Hx^3+Ix^2+Jx+K$
$\{(g(-3)=-2),(g(-2)=-4),(g(0)=-1),(g(2)=-4),(g(3)=-5),(g'(-2)=0),(g'(0)=0),(g'(2)=0),(g''(-1)=0),(g''(1)=0),(g''(2)=0):}$
Senza troppa fatica:
$\{(J=0),(K=-1):}$
Mediante riduzione si ottengono due sistemi disaccoppiati:
$\{(36B+21D+10F+3H=0),(576B+112D+20F+3H=0),(64B+16D+4F+H=0),(13122B+1458D+162F+18H=-1):}$
$\{(45A+28C+15E+6G+I=0),(1280A+256C+48E+8G+I=0),(1024A+256C+64E+16G+4I=-3),(118098A+13122C+1458E+162G+18I=-5):}$
e un'ultima equazione comprendente tutte le incognite:
$11520A+4608B+1792C+672D+240E+80F+24G+6H+I=0$
Se il determinante del primo sistema è diverso da zero, esso risulta determinato. Quindi, bisogna risolverlo e sostituire le soluzioni nelle ultime 5 equazioni. Se anche questo determinante è diverso da zero, si può tranquillamente concludere almeno senza risolvere quest'ultimo. In ogni caso, anche se queste condizioni fossero soddisfatte, non è dato sapere se il grado possa essere minore. Bisognerebbe consultare un manuale sull'argomento.
P.S.
Spero di non aver commesso errori di calcolo. Se qualcuno vuole provare per avere una conferma...
$g(x)=Ax^10+Bx^9+Cx^8+Dx^7+Ex^6+Fx^5+Gx^4+Hx^3+Ix^2+Jx+K$
$\{(g(-3)=-2),(g(-2)=-4),(g(0)=-1),(g(2)=-4),(g(3)=-5),(g'(-2)=0),(g'(0)=0),(g'(2)=0),(g''(-1)=0),(g''(1)=0),(g''(2)=0):}$
Senza troppa fatica:
$\{(J=0),(K=-1):}$
Mediante riduzione si ottengono due sistemi disaccoppiati:
$\{(36B+21D+10F+3H=0),(576B+112D+20F+3H=0),(64B+16D+4F+H=0),(13122B+1458D+162F+18H=-1):}$
$\{(45A+28C+15E+6G+I=0),(1280A+256C+48E+8G+I=0),(1024A+256C+64E+16G+4I=-3),(118098A+13122C+1458E+162G+18I=-5):}$
e un'ultima equazione comprendente tutte le incognite:
$11520A+4608B+1792C+672D+240E+80F+24G+6H+I=0$
Se il determinante del primo sistema è diverso da zero, esso risulta determinato. Quindi, bisogna risolverlo e sostituire le soluzioni nelle ultime 5 equazioni. Se anche questo determinante è diverso da zero, si può tranquillamente concludere almeno senza risolvere quest'ultimo. In ogni caso, anche se queste condizioni fossero soddisfatte, non è dato sapere se il grado possa essere minore. Bisognerebbe consultare un manuale sull'argomento.
P.S.
Spero di non aver commesso errori di calcolo. Se qualcuno vuole provare per avere una conferma...
Vedete qui (in particolare la frase "Come difficoltà della domanda, mi sembra al livello di una tesi di ricerca" !!!): pare che non basti nemmeno il grado 10, perché il polinomio di grado 10 che si trova ha altri zeri in $[-3,3]$. 
Io lo considero un buon segno: si stanno imbarcando in cose non standard. Ma quelli che scrivono i problemi sono matematici?
Io lo considero un buon segno: si stanno imbarcando in cose non standard. Ma quelli che scrivono i problemi sono matematici?
"Alessandro8":?? Spero che non sia così. Sul comportamento all'infinito non si sa proprio niente.
è evidente che gli studenti avranno, comunque, assunto come scontato un comportamento all'infinito come quello riportato nel mio post precedente (se non proprio tutti, almeno quasi tutti).
Se così fosse e non ho sbagliato i calcoli, almeno uno dei due determinanti dovrebbe essere nullo.
permettetemi la soddisfazione di aver posto il problema già in questa discussione iniziata giovedì pomeriggio
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=11&t=148538&start=30
lo faccio anche per dimostrare che anche il post di stamattina è farina del mio sacco e che non sono andato a copiare
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=11&t=148538&start=30
lo faccio anche per dimostrare che anche il post di stamattina è farina del mio sacco e che non sono andato a copiare
"quantunquemente":
permettetemi la soddisfazione di aver posto il problema già in questa discussione iniziata giovedì pomeriggio
Io l'avevo vista. Avevi senz'altro ragione. A mio parere il problema doveva essere interpretato considerando solo le radici di f(x). Il bello è che le informazioni sulle radici sono le uniche a dover essere dedotte dal grafico. Tutte le altre informazioni sono esplicitamente dichiarate nella traccia. Non ho parole.
P.S.
Il primo determinante è diverso da zero. Se qualcuno ha voglia di risolvere il 4x4, sostituire nel 5x5 e calcolarne il determinante...
Io la storia me la sono immaginata così, l'autore del problema lo ha strutturato il questo modo:
La funzione derivabile $y= f(x)$ ha per $x in [-3; 3]$ il grafico Γ, disegnato in figura.
1. Nel caso $f(x)$ fosse esprimibile con un polinomio, quale potrebbe essere il suo grado minimo? Illustra il ragionamento seguito.
Γ presenta tangenti orizzontali per $x=−1, x=1, x=2$. Le aree delle regioni A, B, C e D sono rispettivamente 2, 3, 3 e 1. Sia $g(x)$ una primitiva di $f(x)$ tale che $g(3)= -5$
2. Individua i valori di $x in [−3,3]$, per cui $g(x)$ ha un massimo relativo e determina i valori di x ... eccetera...
Chi deve riportare il problema in "bella copia" pensa che strutturato così sembra proprio brutto e gli viene la brillante idea di mettere le ipotesi tutte insieme ... con le conseguenze che sappiamo.
Perché, di solito, i matematici che propongono i problemi al Ministero poi non hanno più giurisdizione sui problemi proposti.
La funzione derivabile $y= f(x)$ ha per $x in [-3; 3]$ il grafico Γ, disegnato in figura.
1. Nel caso $f(x)$ fosse esprimibile con un polinomio, quale potrebbe essere il suo grado minimo? Illustra il ragionamento seguito.
Γ presenta tangenti orizzontali per $x=−1, x=1, x=2$. Le aree delle regioni A, B, C e D sono rispettivamente 2, 3, 3 e 1. Sia $g(x)$ una primitiva di $f(x)$ tale che $g(3)= -5$
2. Individua i valori di $x in [−3,3]$, per cui $g(x)$ ha un massimo relativo e determina i valori di x ... eccetera...
Chi deve riportare il problema in "bella copia" pensa che strutturato così sembra proprio brutto e gli viene la brillante idea di mettere le ipotesi tutte insieme ... con le conseguenze che sappiamo.
Perché, di solito, i matematici che propongono i problemi al Ministero poi non hanno più giurisdizione sui problemi proposti.
Amelia, non sono d'accordo, dal disegno è abbastanza chiaro che la curva ha tangenti orizzontali in -1, 1 e 2, quindi trovo ragionevole che uno studente "troppo scrupoloso" le metta come condizioni per rispondere al punto 1. Il problema è che se lo fa non ne esce più.
Io la vedo così: si capisce cosa intendevano dire col punto 1 del problema 2, ma probabilmente non c'è un modo ineccepibile di formularlo che sia pure privo di troppi tecnicismi.
Io la vedo così: si capisce cosa intendevano dire col punto 1 del problema 2, ma probabilmente non c'è un modo ineccepibile di formularlo che sia pure privo di troppi tecnicismi.
il modo c'era,come ho già detto più volte :disegnare il grafico senza riferimenti numerici
poi,prima della seconda domanda,imporre tutte le condizioni
in questo modo la risposta sarebbe stata ovviamente $4$
edit: e comunque,non cerchiamo di difendere l'indifendibile e ammettiamo che nella scuola italiana c'è parecchia incompetenza ( a cominciare dal formulatore/i della domanda e da tutti i commissari che hanno suggerito di scrivere $4$ senza riflettere bene sul problema(magari già stavano pensando al luogo di villeggiatura che li aspetta))
che poi,già il fatto che ci siano commissari che suggeriscono...
ma la vogliamo finire con questo paese di pulcinella ?
poi,prima della seconda domanda,imporre tutte le condizioni
in questo modo la risposta sarebbe stata ovviamente $4$
edit: e comunque,non cerchiamo di difendere l'indifendibile e ammettiamo che nella scuola italiana c'è parecchia incompetenza ( a cominciare dal formulatore/i della domanda e da tutti i commissari che hanno suggerito di scrivere $4$ senza riflettere bene sul problema(magari già stavano pensando al luogo di villeggiatura che li aspetta))
che poi,già il fatto che ci siano commissari che suggeriscono...
ma la vogliamo finire con questo paese di pulcinella ?
Anch?io in prima lettura ho pensato 4, perché mai e poi mai mi sarei sognata che gli altri dati non corrispondessero, soprattutto dopo le simulazioni che sono state date durante l'anno. Sono convinta che anche la risposta ufficiale, se ce ne fosse una, sarebbe 4, perché non chiedendo di fare calcoli, ma solo delle considerazioni generiche, non si può rispondere altro. Poi facendo i calcoli la cosa cambia completamente.
C'è parecchia incompetenza ma quella dei commissari è quella che mi preoccupa di meno. Hanno scritto un punto ambiguo, capirai. L'incompetenza maggiore che vedo io è in altri aspetti dell'educazione, ma adesso non vorrei divagare. Secondo me questa cosa che è emersa nel problema 2, condannabile quanto vuoi, è un buon segno, perché dà l'opportunità agli studenti di riflettere sul principio di autorità e di capire che il tuo prof non è più intelligente di te. Vorrei sapere quanti studenti hanno parlato di sistemi di 11 equazioni, quanti si sono posti "al di sopra" della prova e hanno raggiunto la consapevolezza di avere ragione.
scusa ,con undici condizioni non ti ha sfiorato il dubbio che un polinomio di quarto grado non andasse bene,tenendo anche conto del fatto che esso sarebbe stato del tipo $ax(x+2)(x-2)^2$ ?
mah...
mah...
@martino
non c'è dubbio che lo studente medio sia una bella capretta(e la colpa non è tanto della scuola ma dei genitori)
questi ipad,poi,hanno finito di rincoglionire i ragazzi
non c'è dubbio che lo studente medio sia una bella capretta(e la colpa non è tanto della scuola ma dei genitori)
questi ipad,poi,hanno finito di rincoglionire i ragazzi
In tutto questo non ho ancora trovato da nessuna parte su internet la risposta corretta al 100% del quesito in oggetto.
perchè richiede dei calcoli lunghissimi e tanta pazienza
Non so, non sono commissario esterno allo scientifico, ma presidente ad un tecnico, però ho parlato con un paio di amiche che lunedì devono iniziare la correzione. Una diceva che alcuni studenti hanno usato anche 6 fogli protocollo, le sembrava fossero proprio quelli che hanno svolto il secondo problema.
scusa melia,niente di personale,anzi ti trovo molto simpatica e apprezzo molto il lavoro che fai in questo forum,ma non cominciamo a buttarla in politica perchè questo è un altro dei grandi difetti del nostro popolo :piove governo ladro
e chi non paga le tasse non è un ladro?,chi ha un impiego pubblico e fa lo scansafatiche non è uno str...?,etc..
cominciamo a fare tutti( e dico tutti) dei begli esami di coscienza
e chi non paga le tasse non è un ladro?,chi ha un impiego pubblico e fa lo scansafatiche non è uno str...?,etc..
cominciamo a fare tutti( e dico tutti) dei begli esami di coscienza
L'ho messo in spoiler e non è politica, è veleno scaricato sulla mia pelle. Ok?
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