Numeri periodici
Alle elementari mi hanno insegnato che se ho un numero periodico, per rappresentarlo in frazione devo usare la formuletta $a.\bar{b} = \frac{ab-a}{9}$ (dove $ab$ non indica il prodotto fra $a$ e $b$, ma un numero intero che ha come cifra delle decina $a$ e come cifra delle unità $b$).
Come mai se provo con $2.\bar{9}$ mi esce $3$? Penso sia dovuto al fatto che la serie mediante la quale si esprime quel numero converge a $3$, ma c'è qualche altro motivo?
Come mai se provo con $2.\bar{9}$ mi esce $3$? Penso sia dovuto al fatto che la serie mediante la quale si esprime quel numero converge a $3$, ma c'è qualche altro motivo?
Risposte
Progressioni geometriche: $2,bar9=2+9cdot10^(-1)+9cdot10^(-2)+ldots=2+9(1/(10)+1/10^2+ldots)=2+9/10 1/(1-1/10)=2+1=3$.
Sì appunto, ma il motivo è solo questo o c'è dell'altro? Vi spiego da dove mi è nato il dubbio: in $\mathbb{R}$ non è definito né il successore né il predecessore di un numero, e io mi son detto: "C'è un numero maggiore di $2.\bar{9}$ e minore di $3$? A occhio no (ma a occhio), e allora ho provato a scriverlo in frazione, e, sorpresa...
Avevo letto male. Credo non ci siano altre dimostrazioni di questo fatto.
Ok, thanks, quindi la conclusione è $2.\bar{9} \rightarrow 3$ 
Beh, no. $2, bar 9$=$3$
Ho messo il $\rightarrow$ perché, almeno a logica, la somma di una serie converge ad un numero, senza raggiungerlo precisamente, almeno credo, visto che la somma della serie si trova attraverso il calcolo di un limite...
Mmm.. Non sono d'accordo. Se $|x|<1$, ad esempio $1+x+x^2+x^3+ldots = sum_(n=0)^infty x^n =1/(1-x)$. Il limite è a tutti gli effetti un numero.
Io più che altro mi riferivo a questo fatto, faccio un esempio: dire che $\lim_{x \rightarrow 0} (x+1) = 1$ significa dire che per $x$ che va a zero si ha che $x \rightarrow 1$, e non $x=1$, almeno questo è quello che intendevo...
Comunque vabe', so' sottigliezze...
Comunque vabe', so' sottigliezze...
Già ma se $f(x)rightarrow 1$ se $x rightarrow x_0$ allora $lim_(x to x_0) f(x)$ è uguale a 1.
Appunto, il limite è uguale a 1, non la $f(x)$... Cioè ho sempre pensato al concetto di limite come qualcosa che tende a qualcos'altro indefinitamente, senza però raggiungerlo...
E $2, bar 9 = 2 + 9/10 lim_(n to infty) (1-(1/10)^n)/(1-1/10) $. Ora tale limite è esattamente $1/(1-1/10)$, quindi $2, bar 9 = 3$.
E' un concetto che effettivamente richiede del tempo per essere "assorbito". Sono d'accordo con te sul fatto che una funzione non raggiunge mai quel punto "limite", ma il punto limite c'è, ed è un bel numeretto.
Non discuto che il limite valga esattamente quel valore, non mi torna che la funzione assuma esattamente quel valore in prossimità del punto a cui tende il limite, tutto qui.
Infatti non lo assume. $9/10$ viene moltiplicato per il limite della funzione, e non per la funzione.
Allora tutto ok, la funzione tende a quel valore e il limite vale esattamente quel valore, no?
Si. D'altra parte, non potresti dire che, per esempio, $2/3 = 0, bar 6$.
"Tipper":
Ho messo il $\rightarrow$ perché, almeno a logica, la somma di una serie converge ad un numero, senza raggiungerlo precisamente, almeno credo, visto che la somma della serie si trova attraverso il calcolo di un limite...
Ecco spiegato perché avevo scritto così.
In effetti $0.bar9=1$ e questo vale per tutti i periodici (ad esempio $2.bar9=3$). E non è questione di limiti o altri artefici, ma è dimostrabile con la sola proprietà di maggioranti e estremi superiori... se interessa posso postarla..
Ciao ciao
Ciao ciao
Posta posta.
Allora:
Siamo tutti d'accordo nel definire $0.bar9={sum_{i=1}^{n} 9/{10^i}}=1-1/{10^n}$.
Considerato che sup${$$1-1/{10^n}$ tc$ n in NN}<=1$, cioè che $1$ è il più piccolo maggiorante del nostro insieme (cioè l'estremo superiore), supponiamo che esista un maggiorante $c<1$.
Si avrebbe cioè che:
$1-1/{10^n}<=c<1$ per ogni $n in NN$ ovvero $-1/{10^n}<=-1+c<0$ cioè $1/{1-c}>=10^n$. Il che è assurdo perchè, come si sa, per ogni coppia di numeri reali $a,b$ esiste un $ninNN$ tale che $a^n>b$.
Quindi $c=1$, è il minore dei maggioranti, quindi $1=0.bar9$.
Siamo tutti d'accordo nel definire $0.bar9={sum_{i=1}^{n} 9/{10^i}}=1-1/{10^n}$.
Considerato che sup${$$1-1/{10^n}$ tc$ n in NN}<=1$, cioè che $1$ è il più piccolo maggiorante del nostro insieme (cioè l'estremo superiore), supponiamo che esista un maggiorante $c<1$.
Si avrebbe cioè che:
$1-1/{10^n}<=c<1$ per ogni $n in NN$ ovvero $-1/{10^n}<=-1+c<0$ cioè $1/{1-c}>=10^n$. Il che è assurdo perchè, come si sa, per ogni coppia di numeri reali $a,b$ esiste un $ninNN$ tale che $a^n>b$.
Quindi $c=1$, è il minore dei maggioranti, quindi $1=0.bar9$.
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