Numeri periodici

[_Tipper]

Alle elementari mi hanno insegnato che se ho un numero periodico, per rappresentarlo in frazione devo usare la formuletta $a.\bar{b} = \frac{ab-a}{9}$ (dove $ab$ non indica il prodotto fra $a$ e $b$, ma un numero intero che ha come cifra delle decina $a$ e come cifra delle unità $b$).

Come mai se provo con $2.\bar{9}$ mi esce $3$? Penso sia dovuto al fatto che la serie mediante la quale si esprime quel numero converge a $3$, ma c'è qualche altro motivo?

[giuseppe87x]

Può essere anche utile osservare che data una successione ${a_(n)}_(ninNN)subRR$ stabilizzata essa ammette come limite l'estremo superiore e si conviene di porre, nella definizione di numero reale come allineamento decimale, $l=$sup$(a_(n))$; nel nostro caso è facile trovare $kinNN$ t.c. $|1-0.9_(1)9_(2)...9_(k)|

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[codino75]

adesso mi rileggo il post con attenzione perche' e' una questione che non ho mai chiarito questa ....
grazie
alex

[_Tipper]

"Ravok":Allora:
Siamo tutti d'accordo nel definire $0.bar9={sum_{i=1}^{n} 9/{10^i}}=1-1/{10^n}$.
Considerato che sup${$$1-1/{10^n}$ tc$ n in NN}<=1$, cioè che $1$ è il più piccolo maggiorante del nostro insieme (cioè l'estremo superiore), supponiamo che esista un maggiorante $c<1$.
Si avrebbe cioè che:
$1-1/{10^n}<=c<1$ per ogni $n in NN$ ovvero $-1/{10^n}<=-1+c<0$ cioè $1/{1-c}>=10^n$. Il che è assurdo perchè, come si sa, per ogni coppia di numeri reali $a,b$ esiste un $ninNN$ tale che $a^n>b$.
Quindi $c=1$, è il minore dei maggioranti, quindi $1=0.bar9$.

Così si dimostra che $1$ è l'estremo superiore, ma non il massimo, giusto?

[_Tipper]

Ho capito: $0.\bar{9} = \lim_{n \rightarrow +\infty} 1 - \frac{1}{10^{n}} = 1$, però mi resta un po' controintuitivo...

[elgiovo]

Si potrebbe pensare ad un algoritmo di divisione "errato", nel senso che ogni volta ciò che viene diviso per il divisore è una quantità cui viene sottratto uno. Ecco un esempio.



E' qualcosa di simile alle frazioni continue. Con un ragionamento analogo si può provare che soluzione positiva di $x^2-2=0$ è $sqrt2$.

[Ravok]

"Tipper":Ho capito: $0.\bar{9} = \lim_{n \rightarrow +\infty} 1 - \frac{1}{10^{n}} = 1$, però mi resta un po' controintuitivo...

Anche a me capita di dimostrare o scoprire cose che intuitivamente avrei detto andassero diversamente...ma è la matematica, no?
Ciao

[_Tipper]

Sì è la matematica, ma mi piacerebbe anche capirlo a livello intuitivo...

[Ravok]

Bhè a livello intuitivo pensa che non troverai mai niente tra $0.bar9$ e $1$. Quindi devono per forza essere la stessa quantità. Come dire, sapendo che tra $3$ e un altro numero non ci sta niente in mezzo, dimmi a che numero mi riferisco. A $3$, o no? Stessa cosa..

[_Tipper]

Certo, questo perché $\mathbb{R}$ ha la potenza del continuo... Ma intuitivamente continuo a pensare che $0.99999999999999\ldots$ sia una quantità che si avvicina indefinitamente a $1$ senza però raggiungerlo, ma così non è...

[Fioravante Patrone1]

"Tipper":ma così non è...

esatto

e ciò chiude il post , che partiva con:
"Come mai se provo con $2.\bar{9}$ mi esce $3$?"
La ragione è "ovvia": sono lo stesso numero, semplicemente rappresentato in due modi diversi. Se l'algoritmo ti desse il numero sbagliato come risposta avresti ragione di lamentarti (e magari sarebbe anche già stato corretto...). Ma così non è

Comunque, comprendo la tua perplessità che è (devo dirlo? ) di natura cognitiva. Spesso si cerca di trasferire le nostre "abitudini" dal contesto finito a quello infinito. Ad esempio: se ho due numeri e nella loro rappresentazione decimale trovo (scorrendo da sx a dx) che una cifra del primo è minore della corrispondente cifra del secondo, non devo guardare altro per poter dire che il primo è minore del secondo. Cosa che non vale con le rappresentazioni decimali illimitate.

Ultimo commento: qui il fatto che $RR$ abbia la potenza del continuo non c'entra. E' $2.\bar{9} = 3$ anche in $QQ$

buona domenica

[_Tipper]

Eh sì, e come tu ben sai ho molte perplessità di natura cognitiva

[l'ol!]

"elgiovo":Beh, no. $2, bar 9$=$3$

Concordo!

[G.D.5]

"elgiovo":Si. D'altra parte, non potresti dire che, per esempio, $2/3 = 0, bar 6$.

Sono stupido, ma questo non l'ho capito: se $0,bar9=1$ e $2.bar9=3$, perché $0,bar 6 != 2/3$?

Se provo a trasformarlo in frazione viene: $(6-0)/9=6/9=2/3$?

Cos'è che non ho capito???

[Sk_Anonymous]

"WiZaRd":[quote="elgiovo"]Si. D'altra parte, non potresti dire che, per esempio, $2/3 = 0, bar 6$.

Sono stupido, ma questo non l'ho capito: se $0,bar9=1$ e $2.bar9=3$, perché $0,bar 6 != 2/3$?

Se provo a trasformarlo in frazione viene: $(6-0)/9=6/9=2/3$?

Cos'è che non ho capito???[/quote]

Io, invece, direi che hai capito perché, secondo me $0,bar 6 = 2/3$, infatti $3*0,bar 6 = 1,bar 9 $, ma se fosse $0,bar 6 !=2/3$ , sarebbe anche $3*0,bar6 !=3*2/3=2$, quindi $1,bar 9 !=2$ contro quanto affermato in precedenza.

[Sk_Anonymous]

"Sergio":[quote="amelia"]perché, secondo me $0,bar 6 = 2/3$

Chiedo scusa a tutti, ma quel "secondo me" proprio non lo capisco. Non si dice che la matematica non è un'opinione?
[/quote]
Scusa, forse ti è sfuggito il fatto che da qualche parte qualcuno ha insinuato il fatto che non si potesse scrivere $0,bar 6 = 2/3$, bensì $0,bar 6 -> 2/3$, allora ribadisco, secondo me $0,bar 6$ è proprio uguale a $2/3$, perchè, come ho già dimostrato, $0,bar 6$ e $ 2/3$ non sono altro che due modi diversi di scrivere la stessa cosa.
E poi non mi piace quando si estrapola una parte del mio discorso per farmi dire qualcosa di diverso da quello che ho asserito.

[_Tipper]

Non è che mi ero permesso di insinuare nulla, semplicemente mi stavo sbagliando... Capita, no?

[Sk_Anonymous]

Carissimi Sergio e Tipper, mi spiace se il mio post non è stato adeguatamente diplomatico, ma secondo me il dubbio è la base della conoscenza e le certezze sono la fonte dell'ignoranza. Non credo di essere l'unica ad essersi resa conto che più cose si conoscono e più ci si rende conto della propria ignoranza.
E poi non è mica passato tanto tempo da quando Tipper mi ha messo in riga perchè avevo risolto in modo errato un esercizio tralasciando un teorema di cui avevo totalmente dimenticato l'esistenza.

[_Tipper]

"amelia":E poi non è mica passato tanto tempo da quando Tipper mi ha messo in riga perchè avevo risolto in modo errato un esercizio tralasciando un teorema di cui avevo totalmente dimenticato l'esistenza.

Sicura? Io sinceramente non mi ricordo... Se magari riesci a ripescare il post potresti darmi il link?

[elios2]

I numeri col nove periodico non esistono, sono a tutti gli effetti identici al numero intero successivo.