Numeri complessi....
ho bisogno di un chiarimento per quanto riguarda ciò che vuole dire il libro su di essi...
il libro mi da come definizione: si definisce campo dei numeri complessi, e viene incicato con $CC$, l'insieme $RR^2=RR*RR$ in cui definiamo due operazioni interne dette somma e prodotto, come segue
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$,
$(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$.
Che vuol dire?
il libro mi da come definizione: si definisce campo dei numeri complessi, e viene incicato con $CC$, l'insieme $RR^2=RR*RR$ in cui definiamo due operazioni interne dette somma e prodotto, come segue
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$,
$(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$.
Che vuol dire?
Risposte
ora se io sostituisco $x$ con $ix$ ho che:
$e^(ix)=1+(ix)/(1!)+(ix^2)/(2!)+(ix^3)/(3!)+(ix^4)/(4!)+(ix^5)/(5!)+(ix^6)/(6!)+(ix^7)/(7!).....$
sapendo che il coseno e il seno sono:
$cosx=1-x^2/(2!)+x^4/(4!)-x^6/(6!).....$
$senx=x/(1!)-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)....$
e che nel piano di Gauss sull'asse delle ordinate vengono rappresentate le parti immaginarie e sull'asse delle ascisse la parti reali, abbiamo che:
$e^(ix)=1+ix-x^2/(2!)-(ix^3)/(3!)+(x^4)/(4!)+(ix^5)/(5!)-x^6/(6!)-(ix^7)/(7!).....$ $rArr$ $e^(ix)= (1-x^2/(2!)+x^4/(4!)-x^6/(6!)...)+i(x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)...)$ $rArr$ $e^(ix)= cos(x)+isen(x)$
e credo di essere riuscito a giustificare l'uguaglianza che mi dicevi o una parte di essa....oppure no?
$e^(ix)=1+(ix)/(1!)+(ix^2)/(2!)+(ix^3)/(3!)+(ix^4)/(4!)+(ix^5)/(5!)+(ix^6)/(6!)+(ix^7)/(7!).....$
sapendo che il coseno e il seno sono:
$cosx=1-x^2/(2!)+x^4/(4!)-x^6/(6!).....$
$senx=x/(1!)-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)....$
e che nel piano di Gauss sull'asse delle ordinate vengono rappresentate le parti immaginarie e sull'asse delle ascisse la parti reali, abbiamo che:
$e^(ix)=1+ix-x^2/(2!)-(ix^3)/(3!)+(x^4)/(4!)+(ix^5)/(5!)-x^6/(6!)-(ix^7)/(7!).....$ $rArr$ $e^(ix)= (1-x^2/(2!)+x^4/(4!)-x^6/(6!)...)+i(x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)...)$ $rArr$ $e^(ix)= cos(x)+isen(x)$
e credo di essere riuscito a giustificare l'uguaglianza che mi dicevi o una parte di essa....oppure no?
ma questa è solo una delle dimostrazioni? cioè ce ne sono più di una?
Va bene come prova e sì, è una delle possibili.
Una postilla.
In questa prova hai riarrangiato lo sviluppo delle serie di seno e coseno, lo hai potuto fare per la convergenza delle stesse.
Una postilla.
In questa prova hai riarrangiato lo sviluppo delle serie di seno e coseno, lo hai potuto fare per la convergenza delle stesse.
un'altra prova sarebbe la formula di De Moivre?
Che io sappia è la formula di De Moivre che, oltre a potere essere provata per induzione, è dimostrabile anche con quella di Eulero.
Pensavo che fosse un altro modo...
una piccola domanda volevo fare riguardande un semplice chiarimento....
io ho $bar{[rho,theta]}$ che sarebbe il coniugato del numero complesso scritto in forma trigonometrica... ora se io scrivo $bar{[rho,theta]}= [rho,-theta]$, ossia $bar (rho e^(itheta))=rho e^(-itheta)$ voglio dire che quste due forme di scrittura sono la stessa cosa?
una piccola domanda volevo fare riguardande un semplice chiarimento....
io ho $bar{[rho,theta]}$ che sarebbe il coniugato del numero complesso scritto in forma trigonometrica... ora se io scrivo $bar{[rho,theta]}= [rho,-theta]$, ossia $bar (rho e^(itheta))=rho e^(-itheta)$ voglio dire che quste due forme di scrittura sono la stessa cosa?
Ah no no risolto, tutt'apposto....poi ho una dimostrazione che non capisco alcuni passaggi...dice: trovare tutti i numeri complessi $z!=0$ verificanti la condizione: $z^(n-1)=bar z$ con $n>=3$
si nota che da: $z=rho e^(i theta)$ e $bar z= rho e^(-i theta)$ si ottiene:
$rho^(n-1)e^((n-1)i theta)= rho e^(-i theta)$ $hArr$ $rho^(n-2)e^(i n theta)=1 $ ora qua non capisco cosa ha fatto so che $rho^(n-1)$ è diventato $rho^(n-2)$ per la proprietà delle potenze, ma allora perchè non ha sommato anche $n$?....
si nota che da: $z=rho e^(i theta)$ e $bar z= rho e^(-i theta)$ si ottiene:
$rho^(n-1)e^((n-1)i theta)= rho e^(-i theta)$ $hArr$ $rho^(n-2)e^(i n theta)=1 $ ora qua non capisco cosa ha fatto so che $rho^(n-1)$ è diventato $rho^(n-2)$ per la proprietà delle potenze, ma allora perchè non ha sommato anche $n$?....
Ha diviso tutto per [tex]\rho e^{-i\theta}[/tex].
cioè così?
$(rho^(n-1)e^((n-1)i theta))/( rho e^(-i theta))= (rho e^(-i theta))/( rho e^(-i theta))$ $hArr$ $rho^(n-2)e^(i n theta)=1 $
e al primo membro poi come l'ha fatto scomparire?
$(rho^(n-1)e^((n-1)i theta))/( rho e^(-i theta))= (rho e^(-i theta))/( rho e^(-i theta))$ $hArr$ $rho^(n-2)e^(i n theta)=1 $
e al primo membro poi come l'ha fatto scomparire?
[tex]$\frac{\rho^{n-1} e^{(n-1)i\theta}}{\rho e^{-i\theta}}=\frac{\rho^{n-1}}{\rho}\cdot\frac{e^{(n-1)i\theta}}{e^{-i\theta}}=\rho^{n-1-1}\cdot e^{ni\theta - i\theta + i\theta}=\rho^{n-2}\cdot e^{ni\theta}$[/tex]
scusami ma poi nella continuazione di: $rho^(n-1)e^((n-1)i theta)= rho e^(-i theta)$ $hArr$ $rho^(n-2)e^(i n theta)=1 hArr...$
dice che: $hArr rho^(n-2)=1, i n theta=2k pi i,$
da cui $rho=1, theta=(2kpi)/(n) k=1,...,n-1$.?
cosa vuol dire, sembra che abbia separato qualcosa... non ho capito sono due giorni che cerco di lavorarci ma non capisco niente anzi escono altri dubbi....
dice che: $hArr rho^(n-2)=1, i n theta=2k pi i,$
da cui $rho=1, theta=(2kpi)/(n) k=1,...,n-1$.?
cosa vuol dire, sembra che abbia separato qualcosa... non ho capito sono due giorni che cerco di lavorarci ma non capisco niente anzi escono altri dubbi....
[tex]1=\rho^{n-2}e^{in\theta}=\rho^{n-2}(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^{n}=\rho^{n-2}(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))[/tex], quindi [tex]\sin(n\theta)=0[/tex] (perché ti serve eliminare la parte immaginaria) donde [tex]n\theta=2k\pi[/tex] (non [tex]n\theta=k\pi[/tex] perché dopo hai [tex]\rho[/tex] che è definito positivo), da cui [tex]in\theta=i2k\pi[/tex] ed infine [tex]$\theta=\frac{2k}{n}\pi$[/tex]; inoltre, essendo [tex]n\theta=2k\pi[/tex], risulterà [tex]\cos(n\theta)=1[/tex] e quindi [tex]\rho^{n-2}=1[/tex] da cui [tex]\rho=1[/tex].
non ho capito, procediamo per passi....
ho che: $rho^(n-1)e^((n-1)i theta)= rho e^(-i theta)$ $hArr$ $rho^(n-2)e^(i n theta)=1 hArr$
$rho^(n-2)=1, i n theta=2k pi i,$
allora $rho^(n-2)=1$ perchè:
cioè perchè il seno a $2k pi$ è $0$ mentre il coseno è $1$....
da qui ho una domanda abbiamo scelto l'angolo giro per eliminare il seno o perchè esso è argomento di $z AA k in ZZ$???
ho che: $rho^(n-1)e^((n-1)i theta)= rho e^(-i theta)$ $hArr$ $rho^(n-2)e^(i n theta)=1 hArr$
$rho^(n-2)=1, i n theta=2k pi i,$
allora $rho^(n-2)=1$ perchè:
"WiZaRd":
[tex]1=\rho^{n-2}e^{in\theta}=\rho^{n-2}(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^{n}=\rho^{n-2}(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))[/tex], quindi [tex]\sin(n\theta)=0[/tex] (perché ti serve eliminare la parte immaginaria) donde [tex]n\theta=2k\pi[/tex]
cioè perchè il seno a $2k pi$ è $0$ mentre il coseno è $1$....
da qui ho una domanda abbiamo scelto l'angolo giro per eliminare il seno o perchè esso è argomento di $z AA k in ZZ$???
o meglio perchè mi serve eliminare il seno da questa?
Abbiamo assodato che da [tex]$\rho^{n-1}e^{(n-1)\theta}=\rho e^{-i\theta}[/tex] segue che [tex]$\rho^{n-2}e^{in\theta}=1$[/tex]; utilizzando la formula di Euler e la formula di De Moivre si ha che [tex]$\rho^{n-2}e^{in\theta}=\rho^{n-2}(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$[/tex] che a sua volta deve essere [tex]=1[/tex]. Sviluppando il prodotto si ottiene [tex]$\rho^{n-2}\cos(n\theta)+\rho i\sin(n\theta)=1$[/tex] e la parte immaginaria deve "scomparire".
scusami ma proprio non capisco....
ho capito i passaggi però non capisco perchè devo far scomparire il seno ovvero la parte immagiaria... qualcosa per chiarirmi le idee?
ho capito i passaggi però non capisco perchè devo far scomparire il seno ovvero la parte immagiaria... qualcosa per chiarirmi le idee?
Se non annulli [tex]\rho i \sin(n\theta)[/tex] il LHS dell'ultima uguaglianza che ho scritto nel post precedente diventa un numero complesso con parte immaginaria non nulla, quindi non può essere [tex]=1[/tex] che è un numero reale o un numero complesso con parte immaginaria nulla.
ah ok ok adesso ho capito quindi per far ciò devo far in modo che il seno si annulli quindi assegno $ntheta= 2 k pi$...
però anche $n theta= k pi$ fa si che il seno si annulli, però tu hai detto che dopo ho $rho$ che è definito positivo in che senso????... cos'è LHS?
però anche $n theta= k pi$ fa si che il seno si annulli, però tu hai detto che dopo ho $rho$ che è definito positivo in che senso????... cos'è LHS?
Per definizione [tex]\rho=\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex] ove [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso [tex]x=a+ib[/tex]; i passaggi che ho fatto hanno senso se [tex]\rho\neq0[/tex] (difatti ho diviso per [tex]\rho[/tex]) e data la definizione di questo valore, segue che [tex]\rho>0[/tex]; se [tex]\sin(n\theta)=k\pi[/tex], allora [tex]\cos(n\theta)=-1[/tex] e [tex]\rho\cos(n\theta)<0[/tex] contro il fatto che debba essere [tex]\rho\cos(n\theta)=1>0[/tex].
ma perchè poi esce $i n theta=2 k pi i$ cioè perchè compare $i $ al secondo membro?
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