Numeri complessi....
ho bisogno di un chiarimento per quanto riguarda ciò che vuole dire il libro su di essi...
il libro mi da come definizione: si definisce campo dei numeri complessi, e viene incicato con $CC$, l'insieme $RR^2=RR*RR$ in cui definiamo due operazioni interne dette somma e prodotto, come segue
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$,
$(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$.
Che vuol dire?
il libro mi da come definizione: si definisce campo dei numeri complessi, e viene incicato con $CC$, l'insieme $RR^2=RR*RR$ in cui definiamo due operazioni interne dette somma e prodotto, come segue
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$,
$(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$.
Che vuol dire?
Risposte
In un certo senso, sì (potremmo, volendo forse essere più precisi, dire che indica quanto distano nel piano di Gauss i punti che in esso rappresentano i due numeri complessi, però dato che i numeri complessi sono di fatto definiti come elementi di [tex]\mathbb{R}^{2}[/tex] non c'è bisogno di sottilizzare). Però attenzione che quel [tex]\rho=\sqrt{\cdots}[/tex] riportato dopo è riferito al solo [tex]z[/tex].
ma quanto distano dall'origine o quanto distano l'uno dall'altro?
Quanto distano uno dall'altro, ma se uno dei due è l'origine allora quanto dista quello diverso dall'origine dall'origine.
Insomma, se io ho [tex]z,t \in \mathbb{C}[/tex] allora posso scrivere [tex]z=a+ib[/tex] e [tex]t=a_{1}+ib_{1}[/tex] ove [tex]i[/tex] è l'unità immaginaria. Allora [tex]z-t=a+ib-(a_{1}+ib_{1})=(a-a_{1})+i(b-b_{1})[/tex], sicché, posto [tex]h=z-t[/tex] si ha [tex]\lvert h \rvert=\sqrt{(a-a_{1})^2+(b-b_{1})^{2}}[/tex], concordemente con la definizione data per [tex]\rho[/tex]. Ma se nel piano di Gauss rappresento [tex]z[/tex] e [tex]t[/tex], [tex]z[/tex] è rappresentato dal punto [tex](a;b)[/tex] e [tex]t[/tex] dal punto [tex](a_{1};b_{1})[/tex], sicché, con un poco di geometria analitica, la distanza tra detti punti (o, se vogliamo, la misura del segmento che li congiunge) è [tex]\sqrt{(a-a_{1})^{2}+(b-b_{1})^{2}}[/tex], concordemente con quanto determinato per mezzo della formula del [tex]\rho[/tex].
Insomma, se io ho [tex]z,t \in \mathbb{C}[/tex] allora posso scrivere [tex]z=a+ib[/tex] e [tex]t=a_{1}+ib_{1}[/tex] ove [tex]i[/tex] è l'unità immaginaria. Allora [tex]z-t=a+ib-(a_{1}+ib_{1})=(a-a_{1})+i(b-b_{1})[/tex], sicché, posto [tex]h=z-t[/tex] si ha [tex]\lvert h \rvert=\sqrt{(a-a_{1})^2+(b-b_{1})^{2}}[/tex], concordemente con la definizione data per [tex]\rho[/tex]. Ma se nel piano di Gauss rappresento [tex]z[/tex] e [tex]t[/tex], [tex]z[/tex] è rappresentato dal punto [tex](a;b)[/tex] e [tex]t[/tex] dal punto [tex](a_{1};b_{1})[/tex], sicché, con un poco di geometria analitica, la distanza tra detti punti (o, se vogliamo, la misura del segmento che li congiunge) è [tex]\sqrt{(a-a_{1})^{2}+(b-b_{1})^{2}}[/tex], concordemente con quanto determinato per mezzo della formula del [tex]\rho[/tex].
ah ho capito quindi $rho$ non è altro che il $|z-omega|$ che dalla geometria analitica rappresenta la distanza tra due punti....
poi un'altro dubbio so che l'angolo $theta$ è argomento, il libro dice risulta definito a meno di $2pi$, ora a $0$ non forma nessun angolo e $2pi$ nemmeno e allora perchè dice a meno di $2pi$ senza specificare che anche lo zero deve essere escluso? lo ritiene sottinteso oppure mi sbaglio io?
poi un'altro dubbio so che l'angolo $theta$ è argomento, il libro dice risulta definito a meno di $2pi$, ora a $0$ non forma nessun angolo e $2pi$ nemmeno e allora perchè dice a meno di $2pi$ senza specificare che anche lo zero deve essere escluso? lo ritiene sottinteso oppure mi sbaglio io?
[tex]\rho[/tex] è il modulo di [tex]x \in \mathbb{C}[/tex], anche se non esprimi [tex]x[/tex] come [tex]z-t[/tex]. Il modulo del numero complesso [tex]z-t[/tex] esprime quella che nel piano cartesiano è la distanza tra i punti che rappresentano [tex]z[/tex] e [tex]t[/tex].
Per l'argomento: onestamente non ti ho capito. Dici che a [tex]0[/tex] non si forma nessun angolo, ma [tex]0[/tex] è l'angolo nullo, così come a [tex]2\pi[/tex] l'angolo c'è ed è l'angolo giro. Stai dando le misure degli angoli, come fai a dire di non averli?
Per l'argomento: onestamente non ti ho capito. Dici che a [tex]0[/tex] non si forma nessun angolo, ma [tex]0[/tex] è l'angolo nullo, così come a [tex]2\pi[/tex] l'angolo c'è ed è l'angolo giro. Stai dando le misure degli angoli, come fai a dire di non averli?
cioè voglio dire degli archi...o sbaglio?
Ma ad ogni angolo è associato un* agolo: basta tracciare arbitrariamente una circonferenza ed ottieni l'arco sotteso su cui insiste l'angolo...
Continuo a non capirti.
________________
* Veramente è associato più di un agolo potendosi tracciare più di una circonferenza.
Continuo a non capirti.
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* Veramente è associato più di un agolo potendosi tracciare più di una circonferenza.
cioè il libro dice: l'angolo $theta$ viene detto argomento di $z$ e risulta definito a meno di $2pi$, cioè se $theta$ è argomento di $z$, anche $theta+2kpi$ è argomento di $z$...
non ho capito questo fatto di $2pi$ cioè se io dico che esiste a meno di $2pi$ voglio dire che a $2pi$ non esiste perchè c'è questo "a meno"....
non ho capito questo fatto di $2pi$ cioè se io dico che esiste a meno di $2pi$ voglio dire che a $2pi$ non esiste perchè c'è questo "a meno"....
Dato il numero complesso [tex]z=a+ib[/tex], l'argomento [tex]\theta[/tex] si ottiene a partire dall'arcotangente del rapporto tra [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] e la sua importanza risiede nel fatto che [tex]z[/tex] potrà essere espresso come [tex]\rho(\cos\theta+\sin\theta)[/tex].
Se hai già affrontato la goniometria saprai che le funzioni coseno e seno sono periodiche, di periodo [tex]2\pi[/tex] e dire, in questo ambito, a meno di [tex]2\pi[/tex] significa dire che le funzioni [tex]\cos(\cdot)[/tex] e [tex]\sin(\cdot)[/tex] riprendono lo stesso valore quando all'angolo scelto si somma l'angolo giro. Inoltre, si usa dire che un angolo è individuato a meno di dell'angolo giro anche nella geometria analitica e nella geometria sintetica quando si introducono gli angoli orientati: dato un agolo del piano cartesiano o del piano senza assi, si può pensare di ruotare come le lancette dell'orologio uno dei suoi lati tenendo fermo l'altro; dopo un giro (o dopo suoi multipli interi) l'angolo che ottieni (intendo quello geometrico, quello visibile, quello "disegnato") è sempre quello.
In altri termini e detto "terra terra", dire a "meno di..." significa dire che se metti o togli l'angolo che ottieni, per quello che ti serve, sempre quello è (è ovvio che, però, tecnicamente, un agolo di [tex]370°[/tex] non è un angolo di [tex]70°[/tex]).
Se hai già affrontato la goniometria saprai che le funzioni coseno e seno sono periodiche, di periodo [tex]2\pi[/tex] e dire, in questo ambito, a meno di [tex]2\pi[/tex] significa dire che le funzioni [tex]\cos(\cdot)[/tex] e [tex]\sin(\cdot)[/tex] riprendono lo stesso valore quando all'angolo scelto si somma l'angolo giro. Inoltre, si usa dire che un angolo è individuato a meno di dell'angolo giro anche nella geometria analitica e nella geometria sintetica quando si introducono gli angoli orientati: dato un agolo del piano cartesiano o del piano senza assi, si può pensare di ruotare come le lancette dell'orologio uno dei suoi lati tenendo fermo l'altro; dopo un giro (o dopo suoi multipli interi) l'angolo che ottieni (intendo quello geometrico, quello visibile, quello "disegnato") è sempre quello.
In altri termini e detto "terra terra", dire a "meno di..." significa dire che se metti o togli l'angolo che ottieni, per quello che ti serve, sempre quello è (è ovvio che, però, tecnicamente, un agolo di [tex]370°[/tex] non è un angolo di [tex]70°[/tex]).
ah ok ok capito!!!
mentre poi per la forma esponenziale io ho: $rhoe^(itheta)$, da questa non capisco da dove ne esce il numero di Nepero...???
mentre poi per la forma esponenziale io ho: $rhoe^(itheta)$, da questa non capisco da dove ne esce il numero di Nepero...???
In che senso non capisci da dove ne esce il numero di Nepero?
cioè $rho$ è il modulo de numero complesso, $i$ è l'unita immaginaria, $theta$ è l'argomento del numero complesso e $e$ è il numero di Nepero, ma perchè c'è questo numero?
Adesso ho capito in pratica non riuscivo a capire cosa c'entrava il numero di Nepero con i numeri complessi, guardando meglio ho capito che:
poiché il campo dei numeri complessi è l'estensione dei numeri reali, visto che li contiene, quindi è possibile estendere ai numeri complessi la funzione esponenziale, sostituendo alla $x$ di $e^x$ il numero complesso $z$...
$e^z = e^(a + ib)
sapendo che $(a + ib)=rho costheta+i rho sintheta rArr z=rhoe^(itheta)$...???? o sbaglio?
poiché il campo dei numeri complessi è l'estensione dei numeri reali, visto che li contiene, quindi è possibile estendere ai numeri complessi la funzione esponenziale, sostituendo alla $x$ di $e^x$ il numero complesso $z$...
$e^z = e^(a + ib)
sapendo che $(a + ib)=rho costheta+i rho sintheta rArr z=rhoe^(itheta)$...???? o sbaglio?
Ha a che fare con l'esponenziale complesso, ma non in un modo così diretto: click.
A che punto sei con gli studi? Se sei all'ultimo anno di liceo e sei particolarmente curioso, ti consiglio di iniziare la lettura di un testo di Analisi accademico: scoprirai così i numeri complessi nel modo opportuno.
P.S.
Qualcosa di leggero, alla buona, terra terra.
A che punto sei con gli studi? Se sei all'ultimo anno di liceo e sei particolarmente curioso, ti consiglio di iniziare la lettura di un testo di Analisi accademico: scoprirai così i numeri complessi nel modo opportuno.
P.S.
Qualcosa di leggero, alla buona, terra terra.
cioè si, i miei passaggi sono molto azzardati però in linea di massima se so tutto il resto posso fare così?
ehmmmmm.....sono al primo anno di università....ho un testo accademico ma non è spiegato bene non lo capisco molto devo dire.....
Ps:il link è in inglese e per mia sfortuna non l'ho fatto....scusa...
ehmmmmm.....sono al primo anno di università....ho un testo accademico ma non è spiegato bene non lo capisco molto devo dire.....
Ps:il link è in inglese e per mia sfortuna non l'ho fatto....scusa...
Sarà l'ora ma non vedo come sia possibile passare da questo
[tex]e^{z}=e^{a+ib}=e^{\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))}[/tex]
a questo
[tex]z=\pho e^{i\theta}[/tex].
Leggi il .pdf che ho linkato nel P.S.
Che facoltà fai e che testo usi?
P.S.
Ma se studi all'Università, perché posti in questa sezione? Non che ti voglia cacciare da qui, sia ben chiaro, è che se postavi in Analisi magari ti rispondevano gugo o dissonance o FP o lussardi, insomma avresti avuto risposte migliori.
[tex]e^{z}=e^{a+ib}=e^{\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))}[/tex]
a questo
[tex]z=\pho e^{i\theta}[/tex].
Leggi il .pdf che ho linkato nel P.S.
Che facoltà fai e che testo usi?
P.S.
Ma se studi all'Università, perché posti in questa sezione? Non che ti voglia cacciare da qui, sia ben chiaro, è che se postavi in Analisi magari ti rispondevano gugo o dissonance o FP o lussardi, insomma avresti avuto risposte migliori.
non capisco dove sbaglio...
Ingegneria elettronica e il testo di analisi è: verso l'esame di matematica 1...
Perchè pensavo che visto che nel libro questi passaggi non sono stati messi è perchè si doveva sapere dalle scuole superiori...
"WiZaRd":
Che facoltà fai e che testo usi?
Ingegneria elettronica e il testo di analisi è: verso l'esame di matematica 1...
"WiZaRd":
P.S.
Ma se studi all'Università, perché posti in questa sezione? Non che ti voglia cacciare da qui, sia ben chiaro, è che se postavi in Analisi magari ti rispondevano gugo o dissonance o FP o lussardi, insomma avresti avuto risposte migliori.
Perchè pensavo che visto che nel libro questi passaggi non sono stati messi è perchè si doveva sapere dalle scuole superiori...
Per arrivare a scrivere[tex]z=\rho \cdot e^{i\theta}[/tex] partendo da [tex]z=a+ib=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))[/tex] devi giustificare semplicemente questa uguaglianza: [tex]e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)[/tex].
Muovendo da [tex]e^{z}=e^{a+ib}=e^{\rho(\cod(\theta)+i\sin(\theta))}[/tex] come fai ad abbassare la [tex]z[/tex], ad abbassare [tex]\rho[/tex], a mantenere la [tex]e[/tex] e a far scomparire le funzioni goniometriche semplicemente dicendo che [tex]a+ib=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta)[/tex]?
L'uguaglianza da giustificare si chiama formula di Eulero. Dei tentativi di dimostrazione sono forniti nel .pdf e sul sito che ti ho linkato.
Dai anche una lettura qui: non si dimostra la formula, ma si spiega cosa si potrebbe usare per provarla (nella parte finale).
Muovendo da [tex]e^{z}=e^{a+ib}=e^{\rho(\cod(\theta)+i\sin(\theta))}[/tex] come fai ad abbassare la [tex]z[/tex], ad abbassare [tex]\rho[/tex], a mantenere la [tex]e[/tex] e a far scomparire le funzioni goniometriche semplicemente dicendo che [tex]a+ib=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta)[/tex]?
L'uguaglianza da giustificare si chiama formula di Eulero. Dei tentativi di dimostrazione sono forniti nel .pdf e sul sito che ti ho linkato.
Dai anche una lettura qui: non si dimostra la formula, ma si spiega cosa si potrebbe usare per provarla (nella parte finale).
dal tuo ultimo PDF ho capito che:
-1). $e^(ipi) =-1+i*0$ e quindi che è uguale a $i^2$ cioe: $i^2=(0,1)*(0,1)=(-1,0)$ che è come $-1$ e quindi $e^(ipi)= i^2$ oppure ho detto una fesseria????
-2). e che:
$e^x=1+x/(1!)+x^2/(2!)+x^3/(3!)+x^4/(4!)+x^5/(5!)+x^6/(6!)+x^7/(7!).....$
$senx=x/(1!)-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)....$
$cosx=1-x^2/(2!)+x^4/(4!)-x^6/(6!).....$
e quindi in un certo senso $e^x$ contiene seno e coseno....o no???
-1). $e^(ipi) =-1+i*0$ e quindi che è uguale a $i^2$ cioe: $i^2=(0,1)*(0,1)=(-1,0)$ che è come $-1$ e quindi $e^(ipi)= i^2$ oppure ho detto una fesseria????
-2). e che:
$e^x=1+x/(1!)+x^2/(2!)+x^3/(3!)+x^4/(4!)+x^5/(5!)+x^6/(6!)+x^7/(7!).....$
$senx=x/(1!)-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)....$
$cosx=1-x^2/(2!)+x^4/(4!)-x^6/(6!).....$
e quindi in un certo senso $e^x$ contiene seno e coseno....o no???
Beh, se [tex]i^{2}=-1[/tex], ovviamente [tex]e^{i\pi}=-1=i^{2}[/tex].
Il secondo è un poco azzardato ma il senso è quello: ricordo che a suo tempo qualcuno sul forum (non mi ricordo chi, ma mi pare fosse FP) disse che studiato per bene il campo complesso ed introdotto l'esponenziale complesso le funzioni goniometriche sono un epifenomeno di questo.
Il secondo è un poco azzardato ma il senso è quello: ricordo che a suo tempo qualcuno sul forum (non mi ricordo chi, ma mi pare fosse FP) disse che studiato per bene il campo complesso ed introdotto l'esponenziale complesso le funzioni goniometriche sono un epifenomeno di questo.
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