Numeri complessi....
ho bisogno di un chiarimento per quanto riguarda ciò che vuole dire il libro su di essi...
il libro mi da come definizione: si definisce campo dei numeri complessi, e viene incicato con $CC$, l'insieme $RR^2=RR*RR$ in cui definiamo due operazioni interne dette somma e prodotto, come segue
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$,
$(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$.
Che vuol dire?
il libro mi da come definizione: si definisce campo dei numeri complessi, e viene incicato con $CC$, l'insieme $RR^2=RR*RR$ in cui definiamo due operazioni interne dette somma e prodotto, come segue
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$,
$(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$.
Che vuol dire?
Risposte
Suppongo che si riferisca a questo: dati due numeri complessi $z_1=a+ib$ e $z_2=c+id$, la loro somma $z_1+z_2$ è uguale a $a+c+i(b+d)$ mentre il loro prodotto $z_1*z_2$ è pari a $(a+ib)*(c+id)=ac+iad+ibc+i^2bd=ac-bd+i(ad+bc)$.
La dicitura del tuo libro si riferisce probabilmente alla rappresentazione cartesiana dei numeri complessi, e ne usa perciò la notazione.
La dicitura del tuo libro si riferisce probabilmente alla rappresentazione cartesiana dei numeri complessi, e ne usa perciò la notazione.
Quella data da Delirium è la forma algebrica delle operazioni di somma e prodotto in [tex]\mathbb{C}[/tex] e per poterla dare, partendo dalla definizione di [tex]\mathbb{C}[/tex] come prodotto cartesiano di [tex]\mathbb{R}[/tex] per se stesso, occorre prima speigare, nella definizione proposta del campo complesso, chi è [tex]i[/tex] e come si ottiene la forma algebrica di un numero complesso.
il libro non dice a chi si riferisce.
io una cosa che non ho capito è il fatto che $CC$ è il prodotto cartesiano di $RR$ per se stesso....in che senso?
io una cosa che non ho capito è il fatto che $CC$ è il prodotto cartesiano di $RR$ per se stesso....in che senso?
"WiZaRd":
Quella data da Delirium è la forma algebrica delle operazioni di somma e prodotto in [tex]\mathbb{C}[/tex] e per poterla dare, partendo dalla definizione di [tex]\mathbb{C}[/tex] come prodotto cartesiano di [tex]\mathbb{R}[/tex] per se stesso, occorre prima speigare, nella definizione proposta del campo complesso, chi è [tex]i[/tex] e come si ottiene la forma algebrica di un numero complesso.
Nel mio libro la definizione di unità immaginaria viene data a posteriori, dopo aver definito il prodotto. Infatti reca:
La definizione data di prodotto è tale che, indicato con $i$ il numero $0+1i$, risulta: $i*i=(0+1i)*(0+1i)=-1+0i=-1$
Pertanto, in base alla definizione di prodotto data, si avrà: $i^2=-1$
ma perchè $CC$ è dato dall'insieme $RR*RR$ c'è una spiegazione semplice?
Perché i numeri complessi sono rappresentabili come vettori nello spazio vettoriale $RR^2$
per spazio vettoriale $RR^2$ intendi il piano cartesiano?
In pratica sì, anche se quando si indica con Re l'asse delle x e con Im quella delle y e si mette sulle x la parte reale del numero complesso e sull'asse y il coefficiente della parte immaginaria, il piano non si chiama cartesiano, ma di Argand - Gauss. Inoltre le coordinare non individuano il singolo punto, ma il vettore che congiunge l'origine con il punto.
ok capito, poi dice che $(0,0)$ è l'elemento neutro di $RR^2$ rispetto all'addizione; mentre $(1,0)$ è l'elemento neutro di $RR^2$ rispetto alla moltiplicazione....
per l'addizione ho capito che esso non individua nessun vettrore però non ho capito perchè per la moltiplicazione $(1,0)$ è l'elemento neutro...
per l'addizione ho capito che esso non individua nessun vettrore però non ho capito perchè per la moltiplicazione $(1,0)$ è l'elemento neutro...
Fai la moltiplicazione tra un elemento di [tex]\mathbb{R}^{2}[/tex] ed [tex](1;0)[/tex] nel modo in cui la moltiplicazione è stata definita e vedi che ne viene fuori.
un elemento qualsiasi va bene? tipo a caso: $(5;4)$?
Certo. Puoi farla anche con [tex](a;b)[/tex], se vuoi prendere una coppia generica; se vuoi fare una prova più "concreta" va bene una qualunque coppia di numeri.
ho provato ad eseguire la moltiplicazione e ho avuto: $(1;0)*(5;4)=(5-0;4+0)$
ho provato anche con l'addizione: $(0;0)+(5;4)=(0+5;0+4)$
in realtà sia l'elemento neutro della moltiplicazione che dell'addizione individuano un vettore... forse sbaglio io qualcosa...?
ho provato anche con l'addizione: $(0;0)+(5;4)=(0+5;0+4)$
in realtà sia l'elemento neutro della moltiplicazione che dell'addizione individuano un vettore... forse sbaglio io qualcosa...?
cioè se riporto sul grafico la moltiplicazione e ho:
[asvg]axes();
marker = "arrow";
line([0,0],[5,4]);[/asvg]
poi per l'addizione:
[asvg]axes();
marker = "arrow";
line([0,0],[5,4]);[/asvg]
individuano entrambi lo stesso vettore, allora come mai dice che sono gli elementi neutri?
[asvg]axes();
marker = "arrow";
line([0,0],[5,4]);[/asvg]
poi per l'addizione:
[asvg]axes();
marker = "arrow";
line([0,0],[5,4]);[/asvg]
individuano entrambi lo stesso vettore, allora come mai dice che sono gli elementi neutri?
Come fanno ad uscirti quei risultati?
[tex](5;4)+(1;0)=(5+1;4+0)=(6;4)\neq(5;4)[/tex]
[tex](5;4)\cdot(1;0)=(5\cdot1-4\cdot0;5\cdot0+4\cdot1)=(5-0;0+4)=(5;4)[/tex]
[tex](5;4)+(1;0)=(5+1;4+0)=(6;4)\neq(5;4)[/tex]
[tex](5;4)\cdot(1;0)=(5\cdot1-4\cdot0;5\cdot0+4\cdot1)=(5-0;0+4)=(5;4)[/tex]
"WiZaRd":
Come fanno ad uscirti quei risultati?
[tex](5;4)+(1;0)=(5+1;4+0)=(6;4)\neq(5;4)[/tex]
hai sbagliato il calcolo, quello che ho fatto io è per $(0;0)$ tu hai fatto per $(1;0)$...
cioè volevo dimostrare perchè $(0;0)$ è l'elemento neutro di $RR^2$ rispetto all'addizione, idem per la moltiplicazione però con $(1;0)$, visto che sarebbe l'elemento neutro della moltiplicazione... però il risultato mi da un vettore cioè un numero complesso, quindi mi viene spontaneo chiedere per elemento neutro cosa s'intende? io pensavo che andando a svolgere le varie operazioni non si poteva ottenere un numero complesso, e quindi di conseguenza non si poteva disegnare sul piano di Gauss....
Scusami: ero convinto che stessi usando [tex](1;0)[/tex] sia per la moltiplicazione sia per l'addizione.
Non capisco però i tuoi dubbi: l'addizione tra numeri complessi deve dare un numero complesso, così come la moltiplicazione tra numeri complessi deve dare un numero complesso. In particolare gli elementi neutri devono restituirti, ciascuno nell'operazione per cui è elemento neutro, il numero complesso con cui vanno ad operare.
Non capisco però i tuoi dubbi: l'addizione tra numeri complessi deve dare un numero complesso, così come la moltiplicazione tra numeri complessi deve dare un numero complesso. In particolare gli elementi neutri devono restituirti, ciascuno nell'operazione per cui è elemento neutro, il numero complesso con cui vanno ad operare.
ah ok adesso ho capito...
ci sono tante cose che non ho capito dei numeri complessi, ad esempio:
mi parla della forma trigonometrica, e dice fissato un sistema di assi cartesiani il numero complesso individua un punto $P$ e che la distanza di $P$ dall'origine si chiama modulo del numero complesso indicato con $rho$. Poi dice: "in generale, $|z-omega|$ è la distanza tra i punti del piano (rappresentati da) $z$ e $omega$. Risulta: $rho=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(z*\bar z)$."
Non ho capito questo $|z-omega|$, $z$ è il numero complesso, e $omega$? non me lo dice....
ci sono tante cose che non ho capito dei numeri complessi, ad esempio:
mi parla della forma trigonometrica, e dice fissato un sistema di assi cartesiani il numero complesso individua un punto $P$ e che la distanza di $P$ dall'origine si chiama modulo del numero complesso indicato con $rho$. Poi dice: "in generale, $|z-omega|$ è la distanza tra i punti del piano (rappresentati da) $z$ e $omega$. Risulta: $rho=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(z*\bar z)$."
Non ho capito questo $|z-omega|$, $z$ è il numero complesso, e $omega$? non me lo dice....
Anche [tex]\omega[/tex] è un numero complesso.
cioè mi stà dicendo il valore assoluto di un numero complesso $z$ meno un'altro numero complesso $omega$, rappresenta la distanza tra $z$ e $omega$ cioè quanto dista l'uno dall'altro?
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