Numeri complessi
Definizione 1. Nell’insieme $ mathbb(C = R × R) $ delle coppie ordinate di numeri reali definiamo una somma e
un prodotto ponendo:
$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
$(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)$
E’ immediato verificare che queste operazioni sono commutative e associative e vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
Poichè per ogni numero complesso $(a, b)$ si ha:
$(a, b) + (0, 0) = (a, b) e (a, b) · (1, 0) = (a, b)$
$(0, 0) $ è l’elemento neutro rispetto alla somma e $(1, 0)$ `e l’elemento neutro rispetto al prodotto. Inoltre si verifica subito che $(−a,−b)$ è l’opposto di $(a, b)$ e se $a$ e $b$ non sono entrambi nulli,
$(a, b) · ( a/(a2 + b2) ,− b/(a2 + b2)) = (1, 0)$
cioè $(a/(a2 + b2),−b/(a2 + b2))$ è l’inverso di $(a, b)$.
IO questa roba quì non l'ho proprio capita
1) Cominciando dall'inizio, che calcoli ha fatto quì? $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
2) E che calcoli ha fatto quì? $(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)$
Dopo metto in evidenza il resto che non mi è chiaro, ma prima vorrei capire questo
un prodotto ponendo:
$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
$(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)$
E’ immediato verificare che queste operazioni sono commutative e associative e vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
Poichè per ogni numero complesso $(a, b)$ si ha:
$(a, b) + (0, 0) = (a, b) e (a, b) · (1, 0) = (a, b)$
$(0, 0) $ è l’elemento neutro rispetto alla somma e $(1, 0)$ `e l’elemento neutro rispetto al prodotto. Inoltre si verifica subito che $(−a,−b)$ è l’opposto di $(a, b)$ e se $a$ e $b$ non sono entrambi nulli,
$(a, b) · ( a/(a2 + b2) ,− b/(a2 + b2)) = (1, 0)$
cioè $(a/(a2 + b2),−b/(a2 + b2))$ è l’inverso di $(a, b)$.
IO questa roba quì non l'ho proprio capita
1) Cominciando dall'inizio, che calcoli ha fatto quì? $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
2) E che calcoli ha fatto quì? $(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)$
Dopo metto in evidenza il resto che non mi è chiaro, ma prima vorrei capire questo
Risposte
"CaMpIoN":
Dopo aver effettuato il prodotto (in modo algebrico) raccoglie ed applica la somma di coseno e seno.
Cioè
Ti riporto tutta la dimostrazione, prima di guardarla riguarda le formule del coseno e seno di una differenza
\(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1 \cdot (\cos \theta_1+i \sin \theta_1)}{\rho_2 \cdot (\cos \theta_2+i \sin \theta_2)}= \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot (\cos \theta_1+i \sin \theta_1) \cdot (\cos \theta_2+i \sin \theta_2)^{-1}\)
Per il secondo prodotto applico la formula di De Moivrè
\(\displaystyle \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot (\cos \theta_1+i \sin \theta_1) \cdot (\cos (-\theta_2)+i \sin (-\theta_2))=\frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot (\cos \theta_1+i \sin \theta_1) \cdot (\cos \theta_2-i \sin \theta_2)\)
Eseguo il prodotto
\(\displaystyle \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot (\cos \theta_1 \cos \theta_2-i\cos \theta_1 \sin \theta_2+i \cos \theta_2\sin \theta_1-i^2 \sin \theta_1\sin \theta_2) \)
Attenzione: Compare un termine con $i^2$ quindi lo cambiamo di segno
\(\displaystyle \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot (\cos \theta_1\cos \theta_2-i\cos \theta_1\sin \theta_2+i \cos \theta_2\sin \theta_1+\sin \theta_1\sin \theta_2) \)
\(\displaystyle \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot (\cos \theta_1\cos \theta_2+\sin \theta_1 \sin \theta_2+i (\cos \theta_2 \sin \theta_1-\cos \theta_1\sin \theta_2)) \)
\(\displaystyle \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot (\cos (\theta_1-\theta_2)+i \sin (\theta_1-\theta_2)) \)
\(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1 \cdot (\cos \theta_1+i \sin \theta_1)}{\rho_2 \cdot (\cos \theta_2+i \sin \theta_2)}= \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot (\cos \theta_1+i \sin \theta_1) \cdot (\cos \theta_2+i \sin \theta_2)^{-1}\)
Per il secondo prodotto applico la formula di De Moivrè
\(\displaystyle \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot (\cos \theta_1+i \sin \theta_1) \cdot (\cos (-\theta_2)+i \sin (-\theta_2))=\frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot (\cos \theta_1+i \sin \theta_1) \cdot (\cos \theta_2-i \sin \theta_2)\)
Eseguo il prodotto
\(\displaystyle \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot (\cos \theta_1 \cos \theta_2-i\cos \theta_1 \sin \theta_2+i \cos \theta_2\sin \theta_1-i^2 \sin \theta_1\sin \theta_2) \)
Attenzione: Compare un termine con $i^2$ quindi lo cambiamo di segno
\(\displaystyle \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot (\cos \theta_1\cos \theta_2-i\cos \theta_1\sin \theta_2+i \cos \theta_2\sin \theta_1+\sin \theta_1\sin \theta_2) \)
\(\displaystyle \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot (\cos \theta_1\cos \theta_2+\sin \theta_1 \sin \theta_2+i (\cos \theta_2 \sin \theta_1-\cos \theta_1\sin \theta_2)) \)
\(\displaystyle \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot (\cos (\theta_1-\theta_2)+i \sin (\theta_1-\theta_2)) \)
"CaMpIoN":
Ti riporto tutta la dimostrazione, prima di guardarla riguarda le formule del coseno e seno di una differenza
......................
Ok, adesso ho compreso perfettamente
Nella spiegazione delle Radici n-esime, non mi è chiaro da dove prende la seguente:
$ θ_k = (varphi +2pik)/(n) $
Insomma, il testo dimostra il Teorema:
Sia $ w in C, w!= 0 $ e $ n $ intero $ >=1 $ . Esistono precisamente $ n $ radici $ n-esime $ complesse $ z_0 , z_1, z_2,...,z_(n-1) $ di $ w = r(cosvarphi + isenvarphi ) $ e $ z_k = p_k(cosvarphi_k + isenvarphi_k ) $ , abbiamo:
$ p_k= r^(1/n) $
$ θ_k= (varphi + 2pik)/n $
Con $ k = 0,1,....,n-1 $
Da dove derivano queste due formule
$ θ_k = (varphi +2pik)/(n) $
Insomma, il testo dimostra il Teorema:
Sia $ w in C, w!= 0 $ e $ n $ intero $ >=1 $ . Esistono precisamente $ n $ radici $ n-esime $ complesse $ z_0 , z_1, z_2,...,z_(n-1) $ di $ w = r(cosvarphi + isenvarphi ) $ e $ z_k = p_k(cosvarphi_k + isenvarphi_k ) $ , abbiamo:
$ p_k= r^(1/n) $
$ θ_k= (varphi + 2pik)/n $
Con $ k = 0,1,....,n-1 $
Da dove derivano queste due formule
Considera il numero complesso $w$ scritto in forma trigonometrica avrai
\(\displaystyle w=\rho \cdot (\cos \theta+i \sin \theta) \)
Per la periodicità delle funzioni trigonometriche posso scrivere il numero complesso anche come
\(\displaystyle w=\rho \cdot (\cos (\theta+2\pi k)+i \sin (\theta+2\pi k)) \)
Con $k \in \mathbb{Z}$. Applicando la radice $n$-esima con $n \in \mathbb{N}$ avrai
\(\displaystyle \sqrt[n]{w}=\sqrt[n]{\rho} \cdot \sqrt[n]{\cos (\theta+2\pi k)+i \sin (\theta+2\pi k)}=\sqrt[n]{\rho} \cdot (\cos (\theta+2\pi k)+i \sin (\theta+2\pi k))^{\frac{1}{n}} \)
Applicando la formula di De Moivrè
\(\displaystyle \sqrt[n]{w}=\sqrt[n]{p} \cdot \left(\cos \left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)+i \sin \left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)\right) \)
Per il teorema fondamentale dell'algebra dovrà avere $n$ radici complesse diverse del numero complesso, queste radici si ottengono variando $k$ da $0$ a $n-1$, cioè $k=0,1,2,3,\cdots,n-1$.
Il tuo $\varphi_k$ è
\(\displaystyle \frac{\theta+2\pi k}{n} \)
mentre $p_k$ è
\(\displaystyle \sqrt[n]{\rho} \)
\(\displaystyle w=\rho \cdot (\cos \theta+i \sin \theta) \)
Per la periodicità delle funzioni trigonometriche posso scrivere il numero complesso anche come
\(\displaystyle w=\rho \cdot (\cos (\theta+2\pi k)+i \sin (\theta+2\pi k)) \)
Con $k \in \mathbb{Z}$. Applicando la radice $n$-esima con $n \in \mathbb{N}$ avrai
\(\displaystyle \sqrt[n]{w}=\sqrt[n]{\rho} \cdot \sqrt[n]{\cos (\theta+2\pi k)+i \sin (\theta+2\pi k)}=\sqrt[n]{\rho} \cdot (\cos (\theta+2\pi k)+i \sin (\theta+2\pi k))^{\frac{1}{n}} \)
Applicando la formula di De Moivrè
\(\displaystyle \sqrt[n]{w}=\sqrt[n]{p} \cdot \left(\cos \left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)+i \sin \left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)\right) \)
Per il teorema fondamentale dell'algebra dovrà avere $n$ radici complesse diverse del numero complesso, queste radici si ottengono variando $k$ da $0$ a $n-1$, cioè $k=0,1,2,3,\cdots,n-1$.
Il tuo $\varphi_k$ è
\(\displaystyle \frac{\theta+2\pi k}{n} \)
mentre $p_k$ è
\(\displaystyle \sqrt[n]{\rho} \)
"CaMpIoN":
Applicando la formula di De Moivrè
\(\displaystyle \sqrt[n]{w}=\sqrt[n]{p} \cdot \left(\cos \left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)+i \sin \left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)\right) \)
Per il teorema fondamentale dell'algebra dovrà avere $n$ radici complesse diverse del numero complesso, queste radici si ottengono variando $k$ da $0$ a $n-1$, cioè $k=0,1,2,3,\cdots,n-1$.
Il tuo $\varphi_k$ è
\(\displaystyle \frac{\theta+2\pi k}{n} \)
mentre $p_k$ è
\(\displaystyle \sqrt[n]{\rho} \)
E proprio questo quello che non sto capendo
Cioè cosa, il teorema fondamentale dell'algebra?
"CaMpIoN":
Cioè cosa, il teorema fondamentale dell'algebra?
Da dove viene questo
$ \varphi_k = \frac{\theta+2\pi k}{n} \ $ Hai detto che applicando De Moivre, si arriva a quel passaggio in cui compare $ \varphi_k = \frac{\theta+2\pi k}{n} \ $ e non sto capendo come ci si arriva
La formula di De Moivre è
\(\displaystyle (\rho \cdot (\cos \alpha+i \sin \alpha)^p)=\rho^p \cdot (\cos (p \alpha)+i \sin (p \alpha)) \)
Quindi applicata nel nostro caso abbiamo
\(\displaystyle \alpha=\theta+2\pi k \qquad p=\frac{1}{n} \)
Quindi ottieni la formula, se vedi il risultato che ti dice il libro puoi vedere che nel tuo caso nelle formule trigonometriche compare $\varphi_k$ che nel caso che ti ho mostrato è
\(\displaystyle \frac{\theta+2\pi}{n} \)
Che però nel tuo libro è $\theta_k$ ma non cambia nulla
\(\displaystyle (\rho \cdot (\cos \alpha+i \sin \alpha)^p)=\rho^p \cdot (\cos (p \alpha)+i \sin (p \alpha)) \)
Quindi applicata nel nostro caso abbiamo
\(\displaystyle \alpha=\theta+2\pi k \qquad p=\frac{1}{n} \)
Quindi ottieni la formula, se vedi il risultato che ti dice il libro puoi vedere che nel tuo caso nelle formule trigonometriche compare $\varphi_k$ che nel caso che ti ho mostrato è
\(\displaystyle \frac{\theta+2\pi}{n} \)
Che però nel tuo libro è $\theta_k$ ma non cambia nulla
Perfettissimo!
Ti ringrazio
Ti ringrazio
[size=150]Sto trovando problemi nel determinare la forma algebrica del seguente numero complesso:
[/size]
$ (1 - i) ^6 $
Il risultato è $ 8i $
Scusate, ma scriverlo in forma algebrica, significa pensarlo come modulo
Sarà che sto sbagliando il modulo, ma se ricavo il modulo della seguente $ |(1 - i)| = sqrt2$ , vero
Sostanzialmente, ho applicato lo stesso metodo del seguente:
Esercizio guidato 1
Scrivere in forma algbrica $ (1+i)^7$ :
Il testo determina il modulo e l'argomento di $ (1+i) $ e poi applica la formula di De Moivre. (Non mi è tanto chiaro quello che fa)
$ |1+i| = sqrt2 $ e $ arg(1+i) = pi/4 $
$ |(1+i)^7| = (sqrt2)^7 = 8sqrt2 $
Non capisco come fa ad ottenere il seguente passaggio $ arg(1+i)^7 = (7pi)/4 $
E poi alla fine scrive che $ (1+i)^7 = 8sqrt2(1/sqrt2 - i1/sqrt2) = 8 -8i $
Ma cosa ha fatto
Ma non riesco a venirne a capo
[/size]
$ (1 - i) ^6 $
Il risultato è $ 8i $
Scusate, ma scriverlo in forma algebrica, significa pensarlo come modulo
Sarà che sto sbagliando il modulo, ma se ricavo il modulo della seguente $ |(1 - i)| = sqrt2$ , vero
Sostanzialmente, ho applicato lo stesso metodo del seguente:
Esercizio guidato 1
Scrivere in forma algbrica $ (1+i)^7$ :
Il testo determina il modulo e l'argomento di $ (1+i) $ e poi applica la formula di De Moivre. (Non mi è tanto chiaro quello che fa)
$ |1+i| = sqrt2 $ e $ arg(1+i) = pi/4 $
$ |(1+i)^7| = (sqrt2)^7 = 8sqrt2 $
Non capisco come fa ad ottenere il seguente passaggio $ arg(1+i)^7 = (7pi)/4 $
E poi alla fine scrive che $ (1+i)^7 = 8sqrt2(1/sqrt2 - i1/sqrt2) = 8 -8i $
Ma cosa ha fatto
Ma non riesco a venirne a capo
L'argomento di $z^n$ è $n$ volte l'argomento di $z$, no?
Determinare la radice quadrata del numero complesso $ 1 $
Non so se ho fatto bene, ma ho fatto in questo modo e correggetemi se sbaglio:
$ z = 1 $ il suo modulo è $ p = 1 $ e il suo argomento è $ tg theta = b/a = 0/1 = 0 $
Le radici quadrate saranno date dalla seguente:
$ w_k = cos((theta+2kpi)/2) + i sen((theta+2kpi)/2) $ per $ k = 0,1 $ (perchè radice quadra ha due soluzioni)
Prima soluzione
$ w_0 = cos(0) + i sen(0) = 1 + 0 $
Seconda soluzione
$ w_2 = cos((0+2kpi)/2) + i sen((0+2kpi)/2) $
$ w_2 = cos(kpi) + i sen(kpi) $
$ w_2 = cos(pi) + i sen(pi) $
$ w_2 = cos(pi) + i sen(pi) = -1 + 0 $
Concludo che:
Le soluzioni sono $ s_1 = 1 $ e $ s_2 = -1 $
Cosa ne dite 
Non so se ho fatto bene, ma ho fatto in questo modo e correggetemi se sbaglio:
$ z = 1 $ il suo modulo è $ p = 1 $ e il suo argomento è $ tg theta = b/a = 0/1 = 0 $
Le radici quadrate saranno date dalla seguente:
$ w_k = cos((theta+2kpi)/2) + i sen((theta+2kpi)/2) $ per $ k = 0,1 $ (perchè radice quadra ha due soluzioni)
Prima soluzione
$ w_0 = cos(0) + i sen(0) = 1 + 0 $
Seconda soluzione
$ w_2 = cos((0+2kpi)/2) + i sen((0+2kpi)/2) $
$ w_2 = cos(kpi) + i sen(kpi) $
$ w_2 = cos(pi) + i sen(pi) $
$ w_2 = cos(pi) + i sen(pi) = -1 + 0 $
Concludo che:
Le soluzioni sono $ s_1 = 1 $ e $ s_2 = -1 $
Cosa ne dite
Si, infatti se
\(\displaystyle \sqrt{z}=-1 \quad \to \quad z=(-1)^2=1\)
Così per ogni $w_i$ che hai trovato.
\(\displaystyle \sqrt{z}=-1 \quad \to \quad z=(-1)^2=1\)
Così per ogni $w_i$ che hai trovato.
"CaMpIoN":
Si, infatti se
\(\displaystyle \sqrt{z}=-1 \quad \to \quad z=(-1)^2=1\)
Così per ogni $w_i$ che hai trovato.
Scusate, ma se devo Determinare la radice quadrata del numero complesso $ -1 $ , come si deve fare
Correggetemi se sbaglio:
$ z = -1 $ e $ p= 1 $
La solita formula risolutiva è:
$ w_k = cos((theta+2kpi)/2) + i sen((theta+2kpi)/2) $ per $ k = 0,1 $
Prima soluzione:
$ w_k = cos(0) + i sen(0) = 1+0$
Seconda soluzione:
$ w_1 = cos((2kpi)/2) + i sen((2kpi)/2) $
$ w_ = cos(pi) + i sen(pi) = -1+0$
Ma il testo mi dice che deve essere $ +-i $!
Come faccio a sapere che si tratta del valore di $ b $
Correggetemi se sbaglio:
$ z = -1 $ e $ p= 1 $
La solita formula risolutiva è:
$ w_k = cos((theta+2kpi)/2) + i sen((theta+2kpi)/2) $ per $ k = 0,1 $
Prima soluzione:
$ w_k = cos(0) + i sen(0) = 1+0$
Seconda soluzione:
$ w_1 = cos((2kpi)/2) + i sen((2kpi)/2) $
$ w_ = cos(pi) + i sen(pi) = -1+0$
Ma il testo mi dice che deve essere $ +-i $!
Come faccio a sapere che si tratta del valore di $ b $
Ricordi che $i=\sqrt{-1}$? Ecco non occorre applicare quelle formule.
"CaMpIoN":
Ricordi che $i=\sqrt{-1}$? Ecco non occorre applicare quelle formule.
Quindi tutto quel casino che ho fatto non serve?????
Esatto, per $1$ è un caso speciale importante penso
"CaMpIoN":
Esatto, per $1$ è un caso speciale importante penso
Perfetto
Ti ringrazio!
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