Numeri complessi
Definizione 1. Nell’insieme $ mathbb(C = R × R) $ delle coppie ordinate di numeri reali definiamo una somma e
un prodotto ponendo:
$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
$(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)$
E’ immediato verificare che queste operazioni sono commutative e associative e vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
Poichè per ogni numero complesso $(a, b)$ si ha:
$(a, b) + (0, 0) = (a, b) e (a, b) · (1, 0) = (a, b)$
$(0, 0) $ è l’elemento neutro rispetto alla somma e $(1, 0)$ `e l’elemento neutro rispetto al prodotto. Inoltre si verifica subito che $(−a,−b)$ è l’opposto di $(a, b)$ e se $a$ e $b$ non sono entrambi nulli,
$(a, b) · ( a/(a2 + b2) ,− b/(a2 + b2)) = (1, 0)$
cioè $(a/(a2 + b2),−b/(a2 + b2))$ è l’inverso di $(a, b)$.
IO questa roba quì non l'ho proprio capita
1) Cominciando dall'inizio, che calcoli ha fatto quì? $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
2) E che calcoli ha fatto quì? $(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)$
Dopo metto in evidenza il resto che non mi è chiaro, ma prima vorrei capire questo
un prodotto ponendo:
$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
$(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)$
E’ immediato verificare che queste operazioni sono commutative e associative e vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
Poichè per ogni numero complesso $(a, b)$ si ha:
$(a, b) + (0, 0) = (a, b) e (a, b) · (1, 0) = (a, b)$
$(0, 0) $ è l’elemento neutro rispetto alla somma e $(1, 0)$ `e l’elemento neutro rispetto al prodotto. Inoltre si verifica subito che $(−a,−b)$ è l’opposto di $(a, b)$ e se $a$ e $b$ non sono entrambi nulli,
$(a, b) · ( a/(a2 + b2) ,− b/(a2 + b2)) = (1, 0)$
cioè $(a/(a2 + b2),−b/(a2 + b2))$ è l’inverso di $(a, b)$.
IO questa roba quì non l'ho proprio capita
1) Cominciando dall'inizio, che calcoli ha fatto quì? $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
2) E che calcoli ha fatto quì? $(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)$
Dopo metto in evidenza il resto che non mi è chiaro, ma prima vorrei capire questo
Risposte
"Bad90":
1) Cominciando dall'inizio, che calcoli ha fatto quì? $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
2) E che calcoli ha fatto quì? $(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)$
Nessuno. Sta definendo somma e prodotto fra numeri in \(\mathbb{C}\) in quel modo. E' una costruzione.
Si potrebbe fare un esempio numerico? Con le lettere trovo difficolta' nel capire!
Poi ci sono quelle virgole che non so cosa vogliono dire?!?!??!
Poi ci sono quelle virgole che non so cosa vogliono dire?!?!??!
"Bad90":
Si potrebbe fare un esempio numerico? Con le lettere trovo difficolta' nel capire!
Poi ci sono quelle virgole che non so cosa vogliono dire?!?!??!
Rimani aderente alla definizione: definisci come numeri complessi l'insieme \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\). Quindi \((2,7)\) e' un oggetto dell'insieme numeri complessi, ad esempio (con \(2\) e \(7\) ciascuno in \(\mathbb{R}\)). Ti faccio notare che in modo naturale puoi visualizzare tutto l'insieme numeri complessi in termini di punti del piano (per essere colti, il piano cartesiano viene chiamato in questo caso piano di Argand-Gauss).
Nell'insieme numeri complessi, prendiamo due oggetti -i.e. due coppie di reali/due punti di \(\mathbb{R^2}\). Chiamiamoli \(z_1\) e \(z_2\). Voglio sommarli, perche' decidiamo che in questo insieme la somma abbia un senso; e chiamo operatore somma \(\clubsuit\) l'applicazione che mangia \(z_1\) e \(z_2\) e butta fuori un nuovo oggetto dell'insieme numeri complessi che batteziamo come \(\tilde{z}\).
Quindi:
\[ \clubsuit : (z_1, z_2) \mapsto \tilde{z} \]
Ti faccio notare che stiamo costruendo tutto noi, eh.
Com'e' fatto \(\tilde{z}\)? Lo decido io ... \(\clubsuit\) dovra' impastare in qualche modo gli ingredienti e metterli nelle due entrate
\[(\cdot, \cdot)\]
Nel primo foro \(\clubsuit\) mette \(\Re{z_1} + \Re{z_2}\) (dove \(+\) e' l'usuale somma fra numeri reali); nel secondo gli mette \(\Im{z_1} + \Im{z_2}\).
\(\Re\) e' un buffa applicazione che mangia una coppia \((a,b)\) dell'insieme numeri complessi (che, ormai che siamo grandi, chiamiamo \(\mathbb{C}\)) e sputa fuori \((a,0)\); mentre \(\Im\) e' sua sorella (mangia una coppia, e sputa fuori \((0,b)\)).
Se pensi al piano di A.Gauss -supponendo di rimanere nei punti del primo quadrante- \(\Re\) prende l'ombra che fa il vettore \((a,b)\) quando il sole e' allo zenit, \(\Im\) fa qualcosa di simile -proietta il vettore sull'asse delle ipsilon-, quando il sole tramonta sulla destra.
Rimettendo tutto insieme
\[\clubsuit \big( (z_1,z_2) \big) := \tilde{z} \stackrel{def}{=} (\Re{z_1} + \Re{z_2}, \Im{z_1} + \Im{z_2} )\]
Post scriptum: ah, a questo punto, invece di scrivere \(\clubsuit\), scrivi \(+_{\mathbb{C}}\) -o ancora piu' brevemente \(+\).
Nel paragrafo dei numeri complessi, non sto capendo i passaggi algebrici che a per passare dalla seguente disequazione:
$ ((sqrt(a^2 + b^2))-(sqrt(c^2 +d^2)))^2<=(a+c)^2 +(b+d)^2<=((sqrt(a^2 + b^2))+(sqrt(c^2 +d^2)))^2 $
Alla seguente:
$ -(sqrt(a^2 + b^2))*(sqrt(c^2 +d^2))<=ac + bd<=(sqrt(a^2 + b^2))*(sqrt(c^2 +d^2)) $
Ma cosa ha fatto
Insomma che passaggi ha fatto
Io sinceramente arrivo alla seguente:
$ -sqrt((ac)^2 + (bd)^2) <= ac + bd <= sqrt((ac)^2 + (bd)^2) $
Quale proprietà bisogna applicare per arrivare alla seguente
$ -(sqrt(a^2 + b^2))*(sqrt(c^2 +d^2))<=ac + bd<=(sqrt(a^2 + b^2))*(sqrt(c^2 +d^2)) $
$ ((sqrt(a^2 + b^2))-(sqrt(c^2 +d^2)))^2<=(a+c)^2 +(b+d)^2<=((sqrt(a^2 + b^2))+(sqrt(c^2 +d^2)))^2 $
Alla seguente:
$ -(sqrt(a^2 + b^2))*(sqrt(c^2 +d^2))<=ac + bd<=(sqrt(a^2 + b^2))*(sqrt(c^2 +d^2)) $
Ma cosa ha fatto
Insomma che passaggi ha fatto
Io sinceramente arrivo alla seguente:
$ -sqrt((ac)^2 + (bd)^2) <= ac + bd <= sqrt((ac)^2 + (bd)^2) $
Quale proprietà bisogna applicare per arrivare alla seguente
$ -(sqrt(a^2 + b^2))*(sqrt(c^2 +d^2))<=ac + bd<=(sqrt(a^2 + b^2))*(sqrt(c^2 +d^2)) $
Ha solo fatto i calcoli; per motivi di spazio e di chiarezza li scrivo separatamente per i tre membri.
I membro= $(sqrt(a^2+b^2))^2+(sqrt(c^2+d^2))^2-2sqrt(a^2+b^2)sqrt(c^2+d^2)=$
$=a^2+b^2+c^2+d^2-2sqrt(a^2+b^2)sqrt(c^2+d^2)$
II membro= $a^2+c^2+2ac+b^2+d^2+2bd$
III membro= $(sqrt(a^2+b^2))^2+(sqrt(c^2+d^2))^2+2sqrt(a^2+b^2)sqrt(c^2+d^2)=$
$=a^2+b^2+c^2+d^2+2sqrt(a^2+b^2)sqrt(c^2+d^2)$
Da tutti i tre membri ha poi sottratto $a^2+b^2+c^2+d^2$ ed ha diviso per 2 quello che rimaneva, ottenendo la formula finale.
I membro= $(sqrt(a^2+b^2))^2+(sqrt(c^2+d^2))^2-2sqrt(a^2+b^2)sqrt(c^2+d^2)=$
$=a^2+b^2+c^2+d^2-2sqrt(a^2+b^2)sqrt(c^2+d^2)$
II membro= $a^2+c^2+2ac+b^2+d^2+2bd$
III membro= $(sqrt(a^2+b^2))^2+(sqrt(c^2+d^2))^2+2sqrt(a^2+b^2)sqrt(c^2+d^2)=$
$=a^2+b^2+c^2+d^2+2sqrt(a^2+b^2)sqrt(c^2+d^2)$
Da tutti i tre membri ha poi sottratto $a^2+b^2+c^2+d^2$ ed ha diviso per 2 quello che rimaneva, ottenendo la formula finale.
Ok, ma perche' la formula finale ha un prodotto?????
$ -(sqrt(a^2 + b^2))*(sqrt(c^2 +d^2))<=ac + bd<=(sqrt(a^2 + b^2))*(sqrt(c^2 +d^2)) $
$ -(sqrt(a^2 + b^2))*(sqrt(c^2 +d^2))<=ac + bd<=(sqrt(a^2 + b^2))*(sqrt(c^2 +d^2)) $
Perché dopo aver sottratto i termini indicati restano appunto i doppi prodotti. Il tuo testo li mette fra parentesi, che io ho tralasciato perché non sono necessarie.
"giammaria":
Perché dopo aver sottratto i termini indicati restano appunto i doppi prodotti. Il tuo testo li mette fra parentesi, che io ho tralasciato perché non sono necessarie.
Mi merito una martellata in testa
Ti ringrazio!
Ma perchè quando si effettua una moltiplicazione nei numeri complessi, cioè tra:
$ z = (a,b) $ e $ w = (c,d) $
Compare un segno meno? Cioè questo:
$ z*w = (ac - bd, bc + ad) $
Perchè quel segno meno in $ ....(ac - bd.... $
$ z = (a,b) $ e $ w = (c,d) $
Compare un segno meno? Cioè questo:
$ z*w = (ac - bd, bc + ad) $
Perchè quel segno meno in $ ....(ac - bd.... $
Non ce un perché è matematica, viene fuori da svolgimento di calcoli, precisamente i seguenti.
Sai che un numero complesso in forma algebrica può essere rappresentato come segue
\(\displaystyle z=a+bi \)
Quindi prendendo un'altro numero complesso $w=c+di$ si può effettuare la moltiplicazione algebrica,ovvero
\(\displaystyle zw=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=ac-bd+i(ad+bc) \)
Da qui ottieni la tua rappresentazione.
Sai che un numero complesso in forma algebrica può essere rappresentato come segue
\(\displaystyle z=a+bi \)
Quindi prendendo un'altro numero complesso $w=c+di$ si può effettuare la moltiplicazione algebrica,ovvero
\(\displaystyle zw=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=ac-bd+i(ad+bc) \)
Da qui ottieni la tua rappresentazione.
"CaMpIoN":
Non ce un perché è matematica, .....
\(\displaystyle zw=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=ac-bd+i(ad+bc) \)
Da qui ottieni la tua rappresentazione.
Scusami, ma non è perchè quando si moltiplica $ bd $ si ha una unità immaginaria che è $ i = -1 $
Dando così vita a $-bd $
L'unità immaginaria è $i=\sqrt{-1}$ pertanto $i^2=-1$ che è cio' che noi applichiamo
"CaMpIoN":
L'unità immaginaria è $i=\sqrt{-1}$ pertanto $i^2=-1$ che è cioè che noi applichiamo
Ok, ma ancora non mi è chiaro il fatto che quando si effettua una moltiplicazione nei numeri complessi, cioè tra:
$ z = (a,b) $ e $ w = (c,d) $
Compare un segno meno? Cioè questo:
$ z*w = (ac - bd, bc + ad) $
Perchè quel segno meno in $ ....(ac - bd.... $
Guarda la dimostrazione sopra, viene fuori dai calcoli algebrici effettuati precisamente dal $bdi^2$ e prendi anche in considerazione che il numero complesso
\(\displaystyle z=(a,b) \)
E in una forma convenzionale, mentre nella forma reale, quella algebrica, può essere scritto equivalentemente come
\(\displaystyle z=a+bi \)
\(\displaystyle z=(a,b) \)
E in una forma convenzionale, mentre nella forma reale, quella algebrica, può essere scritto equivalentemente come
\(\displaystyle z=a+bi \)
"CaMpIoN":
Guarda la dimostrazione sopra, viene fuori dai calcoli algebrici effettuati e prendi anche in considerazione che il numero complesso
\(\displaystyle z=(a,b) \)
E in una forma convenzionale, mentre nella forma reale, quella algebrica, può essere scritto equivalentemente come
\(\displaystyle z=a+bi \)
Scusami, ma continuo a non capire
Allora, considera il prodotto
\(\displaystyle zw=(a,b)(c,d)\)
Che è il prodotto tra due numeri complessi $z$ e $w$, abbiamo detto che un numero complesso può essere scritto in forma algebrica, nel nostro caso i due numeri saranno
\(\displaystyle z=(a,b)=a+bi \qquad w=(c,d)=c+di \)
Quindi sostituendo si deve effettuare il prodotto algebrico
\(\displaystyle zw=(a+bi) \cdot (c+di)=ac+adi+bci+bdi^2 \)
Il termine $bdi^2$ ha l'unità immaginaria elevata al quadrato che sappiamo vale $i^2=-1$ sostituiamo ed otteniamo
\(\displaystyle zw=(a+bi) \cdot (c+di)=ac+adi+bci+bd(-1)=ac+adi+bci-bd \)
A questo punto raggruppiamo mettendo a sinistra la parte reale e a destra quella immaginaria raccogliendo anche la $i$ tra i due termini, otteniamo
\(\displaystyle zw=ac-bd+i(ad+bc) \)
Relazionando con la notazione vettoriale possiamo scrivere
\(\displaystyle ac-bd+i(ad+bc)=(ac-bd,ad+bc) \)
Otteniamo in conclusione
\(\displaystyle zw=(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc) \)
Questo è il massimo che posso fare xD
\(\displaystyle zw=(a,b)(c,d)\)
Che è il prodotto tra due numeri complessi $z$ e $w$, abbiamo detto che un numero complesso può essere scritto in forma algebrica, nel nostro caso i due numeri saranno
\(\displaystyle z=(a,b)=a+bi \qquad w=(c,d)=c+di \)
Quindi sostituendo si deve effettuare il prodotto algebrico
\(\displaystyle zw=(a+bi) \cdot (c+di)=ac+adi+bci+bdi^2 \)
Il termine $bdi^2$ ha l'unità immaginaria elevata al quadrato che sappiamo vale $i^2=-1$ sostituiamo ed otteniamo
\(\displaystyle zw=(a+bi) \cdot (c+di)=ac+adi+bci+bd(-1)=ac+adi+bci-bd \)
A questo punto raggruppiamo mettendo a sinistra la parte reale e a destra quella immaginaria raccogliendo anche la $i$ tra i due termini, otteniamo
\(\displaystyle zw=ac-bd+i(ad+bc) \)
Relazionando con la notazione vettoriale possiamo scrivere
\(\displaystyle ac-bd+i(ad+bc)=(ac-bd,ad+bc) \)
Otteniamo in conclusione
\(\displaystyle zw=(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc) \)
Questo è il massimo che posso fare xD
"CaMpIoN":
Questo è il massimo che posso fare xD
E non mi resta che dirti un grazie infinito
Adesso ho compreso il concetto
Ti ringrazio
Di nulla
E qui che cosa accade?
Non sto capendo alcuni passaggi...
Cominciando da questo che mi è tutto chiaro:
$ z_1 / z_2 = (rho_1)/(rho_2)(cosθ_1 + i sinθ_1)(cosθ_2 - i sinθ_2) $
Non capisco come fa ad arrivare a questo:
$ z_1 / z_2 = (rho_1)/(rho_2){cos (θ_1 -θ_2) + i sin(θ_1 -θ_2)} $
Ma cosa ha fatto???????
Non sto capendo alcuni passaggi...
Cominciando da questo che mi è tutto chiaro:
$ z_1 / z_2 = (rho_1)/(rho_2)(cosθ_1 + i sinθ_1)(cosθ_2 - i sinθ_2) $
Non capisco come fa ad arrivare a questo:
$ z_1 / z_2 = (rho_1)/(rho_2){cos (θ_1 -θ_2) + i sin(θ_1 -θ_2)} $
Ma cosa ha fatto???????
Dopo aver effettuato il prodotto (in modo algebrico) raccoglie ed applica la somma di coseno e seno.
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