Numeri complessi
Definizione 1. Nell’insieme $ mathbb(C = R × R) $ delle coppie ordinate di numeri reali definiamo una somma e
un prodotto ponendo:
$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
$(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)$
E’ immediato verificare che queste operazioni sono commutative e associative e vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
Poichè per ogni numero complesso $(a, b)$ si ha:
$(a, b) + (0, 0) = (a, b) e (a, b) · (1, 0) = (a, b)$
$(0, 0) $ è l’elemento neutro rispetto alla somma e $(1, 0)$ `e l’elemento neutro rispetto al prodotto. Inoltre si verifica subito che $(−a,−b)$ è l’opposto di $(a, b)$ e se $a$ e $b$ non sono entrambi nulli,
$(a, b) · ( a/(a2 + b2) ,− b/(a2 + b2)) = (1, 0)$
cioè $(a/(a2 + b2),−b/(a2 + b2))$ è l’inverso di $(a, b)$.
IO questa roba quì non l'ho proprio capita
1) Cominciando dall'inizio, che calcoli ha fatto quì? $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
2) E che calcoli ha fatto quì? $(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)$
Dopo metto in evidenza il resto che non mi è chiaro, ma prima vorrei capire questo
un prodotto ponendo:
$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
$(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)$
E’ immediato verificare che queste operazioni sono commutative e associative e vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
Poichè per ogni numero complesso $(a, b)$ si ha:
$(a, b) + (0, 0) = (a, b) e (a, b) · (1, 0) = (a, b)$
$(0, 0) $ è l’elemento neutro rispetto alla somma e $(1, 0)$ `e l’elemento neutro rispetto al prodotto. Inoltre si verifica subito che $(−a,−b)$ è l’opposto di $(a, b)$ e se $a$ e $b$ non sono entrambi nulli,
$(a, b) · ( a/(a2 + b2) ,− b/(a2 + b2)) = (1, 0)$
cioè $(a/(a2 + b2),−b/(a2 + b2))$ è l’inverso di $(a, b)$.
IO questa roba quì non l'ho proprio capita
1) Cominciando dall'inizio, che calcoli ha fatto quì? $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
2) E che calcoli ha fatto quì? $(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)$
Dopo metto in evidenza il resto che non mi è chiaro, ma prima vorrei capire questo
Risposte
Come facci a risolvere il seguebte numero complesso?
$(1/i)^4$
Helppppp!!!!
A me viene di risolverlo in questo modo:
$rho= sqrt((1/i)^2)= sqrt(-1)= i$
Allora senza troppe considerazioni, si arriva a dire che il numero conplesso equivale ad $1$.
Cosa ne dite?
$(1/i)^4$
Helppppp!!!!
A me viene di risolverlo in questo modo:
$rho= sqrt((1/i)^2)= sqrt(-1)= i$
Allora senza troppe considerazioni, si arriva a dire che il numero conplesso equivale ad $1$.
Cosa ne dite?
Moltiplicalo per se stesso quattro volte ricordando che $i^2=-1$ e arrivi facilmente alla soluzione.
Aiutami a capire............
Come dovrei risolverlo?
Come dovrei risolverlo?
Hai qualcosa elevato alla quarta, quindi moltiplica questo qualcosa per se stesso quattro volte.
"burm87":
Hai qualcosa elevato alla quarta, quindi moltiplica questo qualcosa per se stesso quattro volte.
Scusami, ma non si fanno tutti gli step risolutivi?
Quello che è proposto è il primo metodo che mi è venuto in mente, che è piuttosto intuitivo. Di sicuro ci saranno altre strade.
"Bad90":
$rho= sqrt((1/i)^2)= sqrt(-1)= i$
Attento: a parte ogni altra considerazione (e ce ne sarebbero molte), il risultato è assurdo perché, per definizione, $rho$ è un numero reale positivo (o nullo): non può certo valere $i$.
Non puoi semplicemente applicare le proprietà delle potenze e le regole sui numeri complessi, in questo caso basta conoscere quelle sull'unità immaginaria
\(\displaystyle \left(\frac{1}{i}\right)^4=\frac{1^4}{i^4}=\frac{1}{i^2 \cdot i^2}=\frac{1}{(-1) \cdot (-1)}=\frac{1}{1}=1 \)
\(\displaystyle \left(\frac{1}{i}\right)^4=\frac{1^4}{i^4}=\frac{1}{i^2 \cdot i^2}=\frac{1}{(-1) \cdot (-1)}=\frac{1}{1}=1 \)
Houn piccolo dubbio!
Se io ho il seguente coseno: $cos(pi/2)=0$ so perfettamente che e' uguale a zero, e se ho il seguente, $cos(21* pi/2)=..$ quanto varra'????
Io ho pensato che vale sempre zero, vero?
$cos(21* pi/2)=0$
Si tratta di moltiplicare per 21 volte l'angolo di 90 gradi e questo vuol dire che potremmo moltiplicare quante volte vogliamo, alla fine sara' sempre zero perche il coseno di 90 e' zero, vero?
Certo che se moltiplico per 20, il risultato sara 1 perche il coseno va a finire sull'angolo di zero gradi, vero?
Se io ho il seguente coseno: $cos(pi/2)=0$ so perfettamente che e' uguale a zero, e se ho il seguente, $cos(21* pi/2)=..$ quanto varra'????
Io ho pensato che vale sempre zero, vero?
$cos(21* pi/2)=0$
Si tratta di moltiplicare per 21 volte l'angolo di 90 gradi e questo vuol dire che potremmo moltiplicare quante volte vogliamo, alla fine sara' sempre zero perche il coseno di 90 e' zero, vero?
Certo che se moltiplico per 20, il risultato sara 1 perche il coseno va a finire sull'angolo di zero gradi, vero?
Moltiplicare per $n$ volte un angolo di $pi/2$ perchè dovrebbe far valere il coseno sempre zero? Per esempio se lo moltiplichi per due ottieni $pi$ e il coseno in $pi$ non vale $0$.
Detto questo, cosa centra la $i/2$ con l'angolo di $pi/2$?
Detto questo, cosa centra la $i/2$ con l'angolo di $pi/2$?
Ok hai modificato e chiarito un po' di cose quindi mi pare che tu ti sia schiarito le idee. Non capisco tuttora il nesso con i numeri complessi ma ok 
Ho corretto, ho fatto un errore di digitazione!
Sto dando una spulciata a tutto in modo rapidissimo, domani ho l'esame di analisi!
In bocca al lupo!
"Bad90":
se ho il seguente, $cos(21* pi/2)=..$ quanto varra'????
La regola generale è questa: se l'angolo è una grande frazione di $pi$, si calcola quoziente e resto della divisione e si usa la formula che li contiene; dal quoziente si sottraggono i multipli di $2pi$ (o di $pi$, se ho una tangente). Do qualche esempio, senza preoccuparmi del risultato finale:
$cos frac{25pi}2=cos(12pi+pi/2)=cos frac pi 2$ (ho tolto il multiplo di $2pi$)
$sin frac[29pi}3=sin(9pi+(2pi)/3)=sin(pi+(2pi)/3)$ (ho tolto $8pi$, multiplo di $2pi$)
$tgfrac{71pi}4=tg(17pi+(3pi)/4)=tg frac{3pi}4$ (la tangente ha periodicità $pi$)
In bocca al lupo anche da me.
Mostrare che l'equazione :
$z^3 - 3z^2 + (9+5i)z - 2-10i=0$
ammette una soluzione immaginaria pura e calcolarla.
Accipicchia, non mi è mai capitato di trovare un esercizio su numeri complessi del genere
Come devo risolverlo?
Potete aiutarmi a risolverlo
$z^3 - 3z^2 + (9+5i)z - 2-10i=0$
ammette una soluzione immaginaria pura e calcolarla.
Accipicchia, non mi è mai capitato di trovare un esercizio su numeri complessi del genere
Come devo risolverlo?
Potete aiutarmi a risolverlo
Ciao, sicuramente ci saranno metodi migliori per risolvere questo esercizio ma questo è il primo che mi è venuto in mente.
Poniamo $$z = a+bi$$ L'equazione che hai postato, dopo qualche calcolo, si traduce nel seguente sistema $$\begin{cases}
a^3-3a^2-3ab^2+9a+3b^2-5b-2=0\\
3a^2b-6ab+5a-b^3+9b-10=0
\end{cases}$$ Ora se c'è una soluzione immaginaria pura significa che $a=0$ deve essere parte della soluzione. Con questa informazione possiamo riscrivere il sistema come $$\begin{cases}
3b^2-5b-2=0\\
b^3-9b+10=0
\end{cases}$$ che ammette la soluzione $b=2$. Possiamo quindi concludere che l'equazione ammette la soluzione immaginaria pura $$z = 2i$$
Avresti ottenuto lo stesso risultato sostituendo nell'equazione di partenza $$z = b^* i$$ e verificando che c'è un valore \(b^*\) che rende possibile l'equazione ottenuta.
Poniamo $$z = a+bi$$ L'equazione che hai postato, dopo qualche calcolo, si traduce nel seguente sistema $$\begin{cases}
a^3-3a^2-3ab^2+9a+3b^2-5b-2=0\\
3a^2b-6ab+5a-b^3+9b-10=0
\end{cases}$$ Ora se c'è una soluzione immaginaria pura significa che $a=0$ deve essere parte della soluzione. Con questa informazione possiamo riscrivere il sistema come $$\begin{cases}
3b^2-5b-2=0\\
b^3-9b+10=0
\end{cases}$$ che ammette la soluzione $b=2$. Possiamo quindi concludere che l'equazione ammette la soluzione immaginaria pura $$z = 2i$$
Avresti ottenuto lo stesso risultato sostituendo nell'equazione di partenza $$z = b^* i$$ e verificando che c'è un valore \(b^*\) che rende possibile l'equazione ottenuta.
Non mi e' tanto chiaro come hai fatto e come sei arrivato a quel sistema.....
Puoi per favore farmi vedere i passaggi intermedi?
Puoi per favore farmi vedere i passaggi intermedi?
Prova a sostituire $$z = a+bi$$ e poi a uguagliare a zero sia la parte reale sia quella immaginaria.
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