Matrici teoriche
Inizio da due strane proprietà che ho trovato, di cui non ho capito il significato .
$|A^(-1)|=1/|A|$ ok. Ma perché mai dovrebbe valere 1?
$|A|=|-A|$ (riferita ad un caso sulle matrici quadrate di ordine pari..)
Grazie:)
$|A^(-1)|=1/|A|$ ok. Ma perché mai dovrebbe valere 1?
$|A|=|-A|$ (riferita ad un caso sulle matrici quadrate di ordine pari..)
Grazie:)
Risposte
Siano A,B,C tre matrici quadrate di ordine 3.
Come posso dimostrare che la.seguente asserzione è falsa?
Se $|ABC|=0$ e $C$ invertibile, allora l'inversa di $|A| $ non esiste
Grazie ancora ^^
Come posso dimostrare che la.seguente asserzione è falsa?
Se $|ABC|=0$ e $C$ invertibile, allora l'inversa di $|A| $ non esiste
Grazie ancora ^^
Qual è la domanda?
"G.D.":
Qual è la domanda?
Sono tre. Ora va meglio?
Sì: che fossero tre gli argomenti lo avevo capito.
Intendevo: da quale vuoi iniziare e di preciso cosa vuoi sapere.
Prendiamo per esempio la prima uguaglianza: suppongo che \( \displaystyle \left \lvert A^{-1} \right \rvert \) e \( \displaystyle \lvert A \rvert \) siano i determinanti di \( \displaystyle A^{-1} \) e \( \displaystyle A \); cosa vuoi sapere? Cosa intendi con
Intendevo: da quale vuoi iniziare e di preciso cosa vuoi sapere.
Prendiamo per esempio la prima uguaglianza: suppongo che \( \displaystyle \left \lvert A^{-1} \right \rvert \) e \( \displaystyle \lvert A \rvert \) siano i determinanti di \( \displaystyle A^{-1} \) e \( \displaystyle A \); cosa vuoi sapere? Cosa intendi con
"Myriam92":
Ma perché mai dovrebbe valere 1?
Esatto è il determinante. Nelle slide sulla parte teorica ho trovato questa uguaglianza $A^[−1]∣∣=1/|A| =1$ che nn capisco perché vale 1.
Il primo uguale è una proprietà dei determinanti. Il secondo credo dipenda dalla particolare matrice \( \displaystyle A \) trattata nelle slide. C'è per caso qualche particolare matrice \( \displaystyle A \)? Le slide in questione sono visionabili online?
C'è un motivo per cui il primo risulta 1?
No assolutamente, A è una matrice generica quadrata di ordine 4 nel secondo caso, e dovrebbe essere ho visto pure una proprietà delle matrici di ordine pari. Però vorrei sapere il motivo, se c'è , x evitare di imparare tutto a memoria
No assolutamente, A è una matrice generica quadrata di ordine 4 nel secondo caso, e dovrebbe essere ho visto pure una proprietà delle matrici di ordine pari. Però vorrei sapere il motivo, se c'è , x evitare di imparare tutto a memoria
"Myriam92":
C'è un motivo per cui il primo risulta 1?
C'è una dimostrazione ...
Per le matrici $2xx2$ possiamo dire che se $A=((a,b),(c,d))$ e il suo determinante $ad-bc$ è diverso da zero allora la sua inversa è $A^(-1)=1/(ad-bc)((d,-b),(-c,a))$.
Ora il determinante di $((d,-b),(-c,a))$ è uguale a quello di $A$ (verificare per credere) quindi se lo moltiplico per il suo reciproco, il risultato è $1$.
Cordialmente, Alex
Per quanto riguarda $|A|=|-A|$, una proprietà dei determinanti afferma che moltiplicare una riga per un numero $a$ equivale a moltiplicare tutto il determinante per $a$; quindi moltiplicare tutta la matrice per $-1$ significa moltiplicare tutte le righe per $-1$ ed essendo queste in numero pari il determinante viene in pratica moltiplicato per $1$.
Grazie mago 
Forse mi sto perdendo qualcosa ma se
\[
A =
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
1 & 5
\end{pmatrix}
\]
allora \( \displaystyle \det (A) = 2 \).
Inoltre
\[
A^{-1} =
\begin{pmatrix}
\frac{5}{2} & -\frac{3}{2} \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\]
e \( \displaystyle \det \left ( A^{-1} \right ) = \frac{1}{2} \).
Quindi è vero che \( \displaystyle \det (A) = \frac{1}{\det \left ( A^{-1} \right )} \) ma non è mica vero che poi queste quantità sono \( \displaystyle = 1 \)
\[
A =
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
1 & 5
\end{pmatrix}
\]
allora \( \displaystyle \det (A) = 2 \).
Inoltre
\[
A^{-1} =
\begin{pmatrix}
\frac{5}{2} & -\frac{3}{2} \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\]
e \( \displaystyle \det \left ( A^{-1} \right ) = \frac{1}{2} \).
Quindi è vero che \( \displaystyle \det (A) = \frac{1}{\det \left ( A^{-1} \right )} \) ma non è mica vero che poi queste quantità sono \( \displaystyle = 1 \)
Certamente ma il suo dubbio consisteva sul "perché" il prodotto dei determinanti di una matrice e della sua inversa fosse $1$ ... (almeno così ho capito io ...)
Direi di no:
"Myriam92":
Esatto è il determinante. Nelle slide sulla parte teorica ho trovato questa uguaglianza $A^[−1]∣∣=1/|A| =1$ che nn capisco perché vale 1.
in effetti la domanda potrebbe essere equivoca. E' che nelle slides sono "mescolate" teoria e pratica, e rileggendole per la 101° volta credo di aver capito che il caso di cui parlo non era di sola teoria come poteva sembrare, ma si riferiva ad un esercizio...mistero risolto grazia e tutti 
anche per l'ultima domanda il prof ci ha detto che è vera, ma il motivo resta ancora ignoto=)
anche per l'ultima domanda il prof ci ha detto che è vera, ma il motivo resta ancora ignoto=)
E questo esercizio cosa contiene? Una matrice \( \displaystyle A \) tale che \( \displaystyle \det (A) = 1 \)?
Per quanto riguarda quest'altro esercizio invece:
Il prodotto tra matrici è associativo, indi per cui \( \displaystyle \det (ABC) = \det ((AB)C) = 0 \). Per il Teorema di Binet, si ha che \( \displaystyle \det ((AB)C) = \det (AB) \cdot \det (C) \); poiché una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo, allora \( \displaystyle \det (C) \neq 0 \), quindi deve essere \( \displaystyle \det (AB) = 0 \): ancora per il Teorema di Binet, si ha \( \displaystyle \det (AB) = \det (A) \cdot \det (B) = 0 \) e a questo punto almeno uno tra \( \displaystyle \det (A) \) e \( \displaystyle \det (B) \) deve essere nullo. Con le informazioni a disposizione non è però possibile stabilire quale. Se dovesse risultare \( \displaystyle \det (A) = 0 \), allora \( \displaystyle A \) non sarebbe invertibile.
Per quanto riguarda quest'altro esercizio invece:
"Myriam92":
Siano A,B,C tre matrici quadrate di ordine 3.
Come posso dimostrare che la.seguente asserzione è falsa?
Se $|ABC|=0$ e $C$ invertibile, allora l'inversa di $|A| $ non esiste
Grazie ancora ^^
Il prodotto tra matrici è associativo, indi per cui \( \displaystyle \det (ABC) = \det ((AB)C) = 0 \). Per il Teorema di Binet, si ha che \( \displaystyle \det ((AB)C) = \det (AB) \cdot \det (C) \); poiché una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo, allora \( \displaystyle \det (C) \neq 0 \), quindi deve essere \( \displaystyle \det (AB) = 0 \): ancora per il Teorema di Binet, si ha \( \displaystyle \det (AB) = \det (A) \cdot \det (B) = 0 \) e a questo punto almeno uno tra \( \displaystyle \det (A) \) e \( \displaystyle \det (B) \) deve essere nullo. Con le informazioni a disposizione non è però possibile stabilire quale. Se dovesse risultare \( \displaystyle \det (A) = 0 \), allora \( \displaystyle A \) non sarebbe invertibile.
sul secondo ho già avuto una risposta 
no, è una matrice generica, non specifica altro l'esercizio...
no, è una matrice generica, non specifica altro l'esercizio...
Lo so che al secondo quesito ha già risposto axpgn: io infatti ho risposto al terzo a proposito del quale hai scritto che
"Myriam92":
anche per l'ultima domanda il prof ci ha detto che è vera, ma il motivo resta ancora ignoto=)
Ah sisi, non avevo capito.
Cmq ok, il terzo allora mi tocca impararlo a memoria, come mi hanno già fatto fare...così appena la domanda sarà leggermente diversa sn fregata grazie a tutti
Cmq ok, il terzo allora mi tocca impararlo a memoria, come mi hanno già fatto fare...così appena la domanda sarà leggermente diversa sn fregata
grazie a tutti
Correggo la dimostrazione del primo (perché quella che ho scritto prima è confusionaria alquanto ... 
)
$A=((a,b),(c,d))$
$|A|=ad-bc$
$A^(-1)=((d/(ad-bc),-b/(ad-bc)),(-c/(ad-bc),a/(ad-bc)))=1/(ad-bc)((d,-b),(-c,a))$
$B=((d,-b),(-c,a))$
$|A|=|B|=ad-bc$
$|A^(-1)|=1/(ad-bc)^2*(ad-bc)=1/(ad-bc)$
$|A|*|A^(-1)|=(ad-bc)*1/(ad-bc)=1$
Così dovrebbe andare ...
Cordialmente, Alex
)$A=((a,b),(c,d))$
$|A|=ad-bc$
$A^(-1)=((d/(ad-bc),-b/(ad-bc)),(-c/(ad-bc),a/(ad-bc)))=1/(ad-bc)((d,-b),(-c,a))$
$B=((d,-b),(-c,a))$
$|A|=|B|=ad-bc$
$|A^(-1)|=1/(ad-bc)^2*(ad-bc)=1/(ad-bc)$
$|A|*|A^(-1)|=(ad-bc)*1/(ad-bc)=1$
Così dovrebbe andare ...
Cordialmente, Alex
Alex grazie ma non ti dovevi preoccupare, la confusione in realtà l'avevo creata io 
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