Litigio con la calcolatrice per una scomposizione
Salve a tutti!
Esercitandomi nella scomposizione dei polinomi mi sono imbattuto in questo; 2b(x+1)^2-2bax-2ba+4bx+4b.
Scomponendolo, io do questo risultato: 2b(x+1)(x+3-a), tuttavia la mia calcolatrice (Che voglio specificare è photomath, la uso sempre per controllare gli esercizi) mi da questo risultato: 2b(x^2+4x+3-ax-a), la cosa divertente è che se io do come input la mia scomposizione, il risultato è il polinomio di partenza semplificato, ovvero senza (x+1)^2, che è comunque corretto, quindi, chi dei due sta sbagliando? Il fatto che Photomath sia una calcolatrice mi fa credere che sia io, ma in che modo? E sopratutto, perchè?
Grazie mille in anticipo.
Esercitandomi nella scomposizione dei polinomi mi sono imbattuto in questo; 2b(x+1)^2-2bax-2ba+4bx+4b.
Scomponendolo, io do questo risultato: 2b(x+1)(x+3-a), tuttavia la mia calcolatrice (Che voglio specificare è photomath, la uso sempre per controllare gli esercizi) mi da questo risultato: 2b(x^2+4x+3-ax-a), la cosa divertente è che se io do come input la mia scomposizione, il risultato è il polinomio di partenza semplificato, ovvero senza (x+1)^2, che è comunque corretto, quindi, chi dei due sta sbagliando? Il fatto che Photomath sia una calcolatrice mi fa credere che sia io, ma in che modo? E sopratutto, perchè?
Grazie mille in anticipo.
Risposte
Ma svilupparli no? Sono tutte e tre equivalenti cioè sono la stessa cosa 
Cosa intendi per tutte e tre?
Io sto cercando di capire se la mia scomposizione è corretta visto che se do come input la mia scomposizione mi da il polinomio di partenza, ma se do come input il polinomio di partenza me lo scompone in modo diverso, la fattorizzazione di un polinomio è unica no? Quindi perchè il mio risultato è corretto così come quello della calcolatrice? sto cercando di capire questo.
Io sto cercando di capire se la mia scomposizione è corretta visto che se do come input la mia scomposizione mi da il polinomio di partenza, ma se do come input il polinomio di partenza me lo scompone in modo diverso, la fattorizzazione di un polinomio è unica no? Quindi perchè il mio risultato è corretto così come quello della calcolatrice? sto cercando di capire questo.
Photomath non ha sbagliato, solo che non ha scomposto completamente il polinomio. Hai provato ad inserire solo
$x^2+4x+3-ax-a$ e vedere se, con un solo parametro, lo scompone correttamente?
$x^2+4x+3-ax-a$ e vedere se, con un solo parametro, lo scompone correttamente?
Ironicamente, Photomath dice che non è in grado di scomporre il polinomio, però non ho capito, mi stai dicendo che la mia scomposizione è corretta? Perchè se no, il mio desiderio è capire il perchè.
VarthDader, è ovvio che la tua scomposizione è corretta, non capisco perché hai bisogno di una calcolatrice per saperlo.
Ho provato a scaricare l'app, in effetti non riesce a scomporlo. Tuttavia se tolgo il fattore $2b$ e gli dò
$x^2+4x+3-ax-a$
appare un messaggio "we can't solve this problem just yet, but we will soon". Mi fa pensare che debbano aggiornare l'app per farle risolvere problemi con più di una variabile (questo mi fa pensare anche che non è che sia proprio un'app geniale, a dire il vero).
Ho provato a scaricare l'app, in effetti non riesce a scomporlo. Tuttavia se tolgo il fattore $2b$ e gli dò
$x^2+4x+3-ax-a$
appare un messaggio "we can't solve this problem just yet, but we will soon". Mi fa pensare che debbano aggiornare l'app per farle risolvere problemi con più di una variabile (questo mi fa pensare anche che non è che sia proprio un'app geniale, a dire il vero).
Concordo con te su Photomath, ma sembra un'applicazione buona nonostante a volte faccia degli errori elementari, se hai qualche consiglio su cosa usare per controllare gli esercizi sono aperto a suggerimenti, per quanto riguarda il perchè controllo, non ci crederai, ma io ero ad un livello di analisi 1, ma ho voluto ripassare tutto più profondamente, questo è successo perchè io ho la seconda media e sto studiando tutta la matematica per passione da solo per poi studiare meccatronica anch'essa la mia passione e voglio avere un livello di matematica molto alto essendo la base, puoi ben capire le difficoltà, stranamente con le scomposizioni ho sempre avuto un po' di problemi perchè non capisco a volte dove fermarmi, come per esempio in questa scomposizione dove Photomath si è fermata ad un punto in cui per me si poteva continuare, tutto qui, ecco perchè le controllo così da capire dove sbaglio e correggermi in futuro, in questa scomposizione però è partito un vero e proprio litigio con la calcolatrice per i motivi che ho spiegato all'inizio.
Allora la prossima volta fallo fare a Wolfram 
Parafrasando Alex, se usi Wolfram Alpha (disponibile online) è molto meglio, per esempio clicca qui.
Ok, quindi mi consigliate Wolfram Alpha, d'ora in poi uso quello, siamo tutti d'accordo comuqnue che la mia scomposizione è corretta? Perchè anche nel tuo link Martino è leggermente diversa (raccoglie -1).
Sì certo che la tua scomposizione è corretta.
Puoi essere così gentile allora da spiegarmi perchè wolfram raccoglie -1?
Non lo so, ma non ha importanza. Probabilmente è perché preferisce scrivere $x+3-a$ come $(-1)(a-x-3)$ perché $a$ viene prima di $x$ in ordine alfabetico e quindi preferisce che abbia lui il segno $+$ nel termine dentro la parentesi. Ma è solo un'ipotesi.
Lo chiedevo perchè viene spesso ripetuto come la scomposizione è unica quindi mi faceva strano vederle entrambe corrette
È unica a meno di moltiplicare per $pm 1$ (o più in generale elementi invertibili) e permutare i fattori. Per esempio
$1*7*2*(-1)=(-1)*2*(-1)*(-1)*7$.
$1*7*2*(-1)=(-1)*2*(-1)*(-1)*7$.
Per la permutazione ne ero a conoscenza, l'ordine non è importante, tuttavia scopro ora della moltiplicazione di più o meno 1, per elementi invertibili posso chiederti cosa intendi un po' più specificatamente? Grazie mille a tutti comunque della disponibilità
Un elemento \(p\) è invertibile o anche detto unità se possiede un inverso, ovvero se esiste un elemento \( q \) tale che \(p \cdot q = 1 \). Ora se il tuo insieme sono i polinomi a coefficienti interi \( \mathbb{Z}[X] \) hai che un polinomio è invertibile se e solo se è il polinomio costante \( p(x) = 1 \) oppure \( q(x) = -1 \) infatti sono gli unici due polinomi che possiedono un polinomio che è il suo inverso. L'inverso di \( p(x) \) è proprio \(p(x) \) così come l'inverso di \(q(x) \) è \(q(x) \) in questo caso.
Ora non è sempre questo il caso, ad esempio se prendi i polinomi a coefficienti razionali, ovvero \( \mathbb{Q}[X] \), hai che anche il polinomio \( p(x) = 2 \) è invertibile con inverso il polinomio costante \( q(x) = 1/2 \), e quindi è un unità. Quindi ad esempio \( (2x+2) \) è un polinomio irriducibile in \( \mathbb{Q}[X] \) e la scomposizione di \(2x+2 \) oppure \( 2(x+1) \) è la medesima perché \(2\) è un unità. Mentre in \( \mathbb{Z}[X] \) non è irriducibile perché hai come scomposizione \( 2(x+1) \), ma in \( \mathbb{Z}[X] \) il polinomio costante \(2\) non è un unità. Un'altra fattorizzazione possibile di \( 2x+2 \) in \( \mathbb{Z} \) è ad esempio \( (-2) \cdot (- x-1) \).
Ora non è sempre questo il caso, ad esempio se prendi i polinomi a coefficienti razionali, ovvero \( \mathbb{Q}[X] \), hai che anche il polinomio \( p(x) = 2 \) è invertibile con inverso il polinomio costante \( q(x) = 1/2 \), e quindi è un unità. Quindi ad esempio \( (2x+2) \) è un polinomio irriducibile in \( \mathbb{Q}[X] \) e la scomposizione di \(2x+2 \) oppure \( 2(x+1) \) è la medesima perché \(2\) è un unità. Mentre in \( \mathbb{Z}[X] \) non è irriducibile perché hai come scomposizione \( 2(x+1) \), ma in \( \mathbb{Z}[X] \) il polinomio costante \(2\) non è un unità. Un'altra fattorizzazione possibile di \( 2x+2 \) in \( \mathbb{Z} \) è ad esempio \( (-2) \cdot (- x-1) \).
"3m0o":
Un elemento \(p\) è invertibile o anche detto unità se possiede un inverso, ovvero se esiste un elemento \( q \) tale che \(p \cdot q = 1 \). Ora se il tuo insieme sono i polinomi a coefficienti interi \( \mathbb{Z}[X] \) hai che un polinomio è invertibile se e solo se è il polinomio costante \( p(x) = 1 \) oppure \( q(x) = -1 \) infatti sono gli unici due polinomi che possiedono un polinomio che è il suo inverso. L'inverso di \( p(x) \) è proprio \(p(x) \) così come l'inverso di \(q(x) \) è \(q(x) \) in questo caso.
Ora non è sempre questo il caso, ad esempio se prendi i polinomi a coefficienti razionali, ovvero \( \mathbb{Q}[X] \), hai che anche il polinomio \( p(x) = 2 \) è invertibile con inverso il polinomio costante \( q(x) = 1/2 \), e quindi è un unità. Quindi ad esempio \( (2x+2) \) è un polinomio irriducibile in \( \mathbb{Q}[X] \) e la scomposizione di \(2x+2 \) oppure \( 2(x+1) \) è la medesima perché \(2\) è un unità. Mentre in \( \mathbb{Z}[X] \) non è irriducibile perché hai come scomposizione \( 2(x+1) \), ma in \( \mathbb{Z}[X] \) il polinomio costante \(2\) non è un unità. Un'altra fattorizzazione possibile di \( 2x+2 \) in \( \mathbb{Z} \) è ad esempio \( (-2) \cdot (- x-1) \).
Ho capito la spiegazione degli inversi, è stata molto chiara e mi ha fatto capire cos'è un'unità tuttavia mi hai un po' mandato fuori strada quando hai fatto gli esempi di 2x+2, non ho capito il loro funzionamento "nel mondo reale" con quegli esempi purtroppo.
Mi spiace se ti ho mandato fuori strada. Se mi dici cosa esattamente non capisci provo a spiegartelo
Non mi hai mandato fuori strada, sei stato molto comprensibile con la spiegazione teorica degli invertibili, ma erano gli esempi che non mi hanno fatto capire come funzionano nel calcolo.
La fattorizzazione è essenzialmente unica. Dove per essenzialmente si intende quanto segue
Se \( p = p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \) e \( p= q_1 \cdot \ldots \cdot q_k \) sono due scomposizioni di \(p \) allora \( n=k \) inoltre a meno di riordinare gli elementi abbiamo che \(p_i \) e \(q_i \) sono associati, questo vuol dire che \( p_i = u_i q_{i} \) dove \( u_i \) è un unità.
Ora nei due esempi cosa vuol dire. Su \( p(x)= 2x+2 \) visto come polinomio su \( \mathbb{Z}[x] \) abbiamo che una scomposizione è la seguente
\[ p(x) = 2 (x+1) = p_1(x) p_2(x) \]
dove \(p_1(x) = 2 \) e \( p_2(x) = x+1 \). Un'altra scomposizione è la seguente
\[ p(x) = (-2) \cdot (-x-1) = q_1(x) q_2(x) \]
dove \( q_1(x) = -2 \) e \(q_2(x) = -x-1 \) ora come puoi vedere la fattorizzazione è essenzialmente la stessa perché per entrambi abbiamo lo stesso numero di fattori (ovvero 2), e \(p_1(x) \) è associato a \(q_1(x) \) infatti \( p_1(x) = 2 = (-1) \cdot (-2) = (-1) \cdot q_1(x) \) e l'unità \(u_1 = -1 \). Quindi \(p_1(x) = u_1 \cdot q_1(x) \). Allo stesso modo abbiamo \( p_2(x) = x+1 = (-1) \cdot (-x-1) = u_2 \cdot q_2(x) \) quindi anche qui abbiamo che le due fattorizzazioni sono essenzialmente la stessa.
Mentre nel caso in cui \( p(x)= 2x+2 \) visto come polinomio su \( \mathbb{Q}[x] \) abbiamo che una scomposizione è la seguente
\[ p(x) = 2x+2 = p_1(x) \]
e un'altra è
\[ p(x) = 2(x+1) = u_1 q_1(x) \]
infatti \( u_1 = 2 \) è un unità in \( \mathbb{Q}[X] \), quindi hai \( p_1(x) = 2x+2 = 2(x+1) = u_1 q_1(x) \) sono essenzialmente la stessa fattorizzazione. Nulla ti vieta di fattorizzare \(2x+2 \) in \( \mathbb{Q}[X] \) come
\[ p(x) = 100\left(\frac{x}{50}+\frac{1}{50}\right) \]
perché \(100 \) è un unità in \( \mathbb{Q}[X] \).
Spero sia più chiaro, se non fosse non esitare a chiedere.
Se \( p = p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \) e \( p= q_1 \cdot \ldots \cdot q_k \) sono due scomposizioni di \(p \) allora \( n=k \) inoltre a meno di riordinare gli elementi abbiamo che \(p_i \) e \(q_i \) sono associati, questo vuol dire che \( p_i = u_i q_{i} \) dove \( u_i \) è un unità.
Ora nei due esempi cosa vuol dire. Su \( p(x)= 2x+2 \) visto come polinomio su \( \mathbb{Z}[x] \) abbiamo che una scomposizione è la seguente
\[ p(x) = 2 (x+1) = p_1(x) p_2(x) \]
dove \(p_1(x) = 2 \) e \( p_2(x) = x+1 \). Un'altra scomposizione è la seguente
\[ p(x) = (-2) \cdot (-x-1) = q_1(x) q_2(x) \]
dove \( q_1(x) = -2 \) e \(q_2(x) = -x-1 \) ora come puoi vedere la fattorizzazione è essenzialmente la stessa perché per entrambi abbiamo lo stesso numero di fattori (ovvero 2), e \(p_1(x) \) è associato a \(q_1(x) \) infatti \( p_1(x) = 2 = (-1) \cdot (-2) = (-1) \cdot q_1(x) \) e l'unità \(u_1 = -1 \). Quindi \(p_1(x) = u_1 \cdot q_1(x) \). Allo stesso modo abbiamo \( p_2(x) = x+1 = (-1) \cdot (-x-1) = u_2 \cdot q_2(x) \) quindi anche qui abbiamo che le due fattorizzazioni sono essenzialmente la stessa.
Mentre nel caso in cui \( p(x)= 2x+2 \) visto come polinomio su \( \mathbb{Q}[x] \) abbiamo che una scomposizione è la seguente
\[ p(x) = 2x+2 = p_1(x) \]
e un'altra è
\[ p(x) = 2(x+1) = u_1 q_1(x) \]
infatti \( u_1 = 2 \) è un unità in \( \mathbb{Q}[X] \), quindi hai \( p_1(x) = 2x+2 = 2(x+1) = u_1 q_1(x) \) sono essenzialmente la stessa fattorizzazione. Nulla ti vieta di fattorizzare \(2x+2 \) in \( \mathbb{Q}[X] \) come
\[ p(x) = 100\left(\frac{x}{50}+\frac{1}{50}\right) \]
perché \(100 \) è un unità in \( \mathbb{Q}[X] \).
Spero sia più chiaro, se non fosse non esitare a chiedere.
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