Litigio con la calcolatrice per una scomposizione
Salve a tutti!
Esercitandomi nella scomposizione dei polinomi mi sono imbattuto in questo; 2b(x+1)^2-2bax-2ba+4bx+4b.
Scomponendolo, io do questo risultato: 2b(x+1)(x+3-a), tuttavia la mia calcolatrice (Che voglio specificare è photomath, la uso sempre per controllare gli esercizi) mi da questo risultato: 2b(x^2+4x+3-ax-a), la cosa divertente è che se io do come input la mia scomposizione, il risultato è il polinomio di partenza semplificato, ovvero senza (x+1)^2, che è comunque corretto, quindi, chi dei due sta sbagliando? Il fatto che Photomath sia una calcolatrice mi fa credere che sia io, ma in che modo? E sopratutto, perchè?
Grazie mille in anticipo.
Esercitandomi nella scomposizione dei polinomi mi sono imbattuto in questo; 2b(x+1)^2-2bax-2ba+4bx+4b.
Scomponendolo, io do questo risultato: 2b(x+1)(x+3-a), tuttavia la mia calcolatrice (Che voglio specificare è photomath, la uso sempre per controllare gli esercizi) mi da questo risultato: 2b(x^2+4x+3-ax-a), la cosa divertente è che se io do come input la mia scomposizione, il risultato è il polinomio di partenza semplificato, ovvero senza (x+1)^2, che è comunque corretto, quindi, chi dei due sta sbagliando? Il fatto che Photomath sia una calcolatrice mi fa credere che sia io, ma in che modo? E sopratutto, perchè?
Grazie mille in anticipo.
Risposte
"3m0o":
La fattorizzazione è essenzialmente unica. Dove per essenzialmente si intende quanto segue
Se \( p = p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \) e \( p= q_1 \cdot \ldots \cdot q_k \) sono due scomposizioni di \(p \) allora \( n=k \) inoltre a meno di riordinare gli elementi abbiamo che \(p_i \) e \(q_i \) sono associati, questo vuol dire che \( p_i = u_i q_{i} \) dove \( u_i \) è un unità.
Ora nei due esempi cosa vuol dire. Su \( p(x)= 2x+2 \) visto come polinomio su \( \mathbb{Z}[x] \) abbiamo che una scomposizione è la seguente
\[ p(x) = 2 (x+1) = p_1(x) p_2(x) \]
dove \(p_1(x) = 2 \) e \( p_2(x) = x+1 \). Un'altra scomposizione è la seguente
\[ p(x) = (-2) \cdot (-x-1) = q_1(x) q_2(x) \]
dove \( q_1(x) = -2 \) e \(q_2(x) = -x-1 \) ora come puoi vedere la fattorizzazione è essenzialmente la stessa perché per entrambi abbiamo lo stesso numero di fattori (ovvero 2), e \(p_1(x) \) è associato a \(q_1(x) \) infatti \( p_1(x) = 2 = (-1) \cdot (-2) = (-1) \cdot q_1(x) \) e l'unità \(u_1 = -1 \). Quindi \(p_1(x) = u_1 \cdot q_1(x) \). Allo stesso modo abbiamo \( p_2(x) = x+1 = (-1) \cdot (-x-1) = u_2 \cdot q_2(x) \) quindi anche qui abbiamo che le due fattorizzazioni sono essenzialmente la stessa.
Mentre nel caso in cui \( p(x)= 2x+2 \) visto come polinomio su \( \mathbb{Q}[x] \) abbiamo che una scomposizione è la seguente
\[ p(x) = 2x+2 = p_1(x) \]
e un'altra è
\[ p(x) = 2(x+1) = u_1 q_1(x) \]
infatti \( u_1 = 2 \) è un unità in \( \mathbb{Q}[X] \), quindi hai \( p_1(x) = 2x+2 = 2(x+1) = u_1 q_1(x) \) sono essenzialmente la stessa fattorizzazione. Nulla ti vieta di fattorizzare \(2x+2 \) in \( \mathbb{Q}[X] \) come
\[ p(x) = 100\left(\frac{x}{50}+\frac{1}{50}\right) \]
perché \(100 \) è un unità in \( \mathbb{Q}[X] \).
Spero sia più chiaro, se non fosse non esitare a chiedere.
Questa spiegazione mi ha chiarito ulteriormente le idee sulla scomposizione specialmente con l'esempio \[ p(x) = 100\left(\frac{x}{50}+\frac{1}{50}\right) \] tuttavia è ancora quella doppia scomposizione in Q di cui non ho capito la motivazione, intendo con questo che ho capito che sono la stessa scomposizione, ma non ho capito perchè tu dici: e un'altra è
\[ p(x) = 2(x+1) = u_1 q_1(x) \]
infatti \( u_1 = 2 \) è un unità in \( \mathbb{Q}[X] \), quindi hai \( p_1(x) = 2x+2 = 2(x+1) = u_1 q_1(x) \).
Quell'infatti è quello che per me non riesce a darmi davvero il perchè, per esempio, mi stai dicendo che posso fattorizzare 2x+2 come 1/2(4x+4) essendo 4 un'unità in Q? Anche se la risposta fosse positiva non mi riuscirebbe ancora a chiarire perchè 2x+2 è uguale 2(x+1), mi dispiace che ci siano delle incomprensioni, grazie dell'aiuto comunque.
Scusate se mi intrometto, VarthDader, stai chiedendo perché vale $2x+2 = 2(x+1)$ ?
"Martino":
Scusate se mi intrometto, VarthDader, stai chiedendo perché vale $2x+2 = 2(x+1)$ ?
No, sto chiedendo perchè vengono considerate scomposizioni identiche
Sono identiche in $QQ[X]$ perché $2$ è invertibile in $QQ$, non sono identiche in $ZZ[X]$ perché $2$ non è invertibile in $ZZ$.
Si, ok, ma vedi, ora provo a spiegarti cosa intendo per non ho capito: Mettiamo caso che io stia spiegando la stessa cosa su questo polinomio ad un'altra persona, a quel punto mi chiede (come ho fatto io) perchè mai esistono delle scomposizioni identiche se le scomposizioni dei polinomi in fattori sappiamo che sono uniche, a quel punto gli dico (come mi avete spiegato voi) che lo sono a meno di moltiplicare per 1 o -1 o nel caso di elementi invertibili, se lui mi chiedesse che cosa sono questi elementi invertibili io gli direi che un elemento p è invertibile quando esiste un elemento q tale che pq=1, lo capirebbe, a quel punto gli faccio notare che per l'appunto 2(x+1) è uguale a -2(-x-1), se gli facessi notare però che anche 2x+2 e 2(x+1) sono identici in Q e lui mi chiedesse il perchè, la mia unica risposta sarebbe che è perchè è un'elemento invertibile, non riuscirei ad andare oltre e se avesse il dubbio non riuscirei a levarglielo, la mia unica risposta sarebbe sempre la stessa: "Perchè è un elemento invertibile" ma non saprei dire altro, spero riusciate a capire il problema a cui faccio riferimento nella mia testa.
"VarthDader":
se gli facessi notare però che anche 2x+2 e 2(x+1) sono identici in Q e lui mi chiedesse il perchè
Il motivo per cui \(2x+2 \) e \(2(x+1) \) sono essenzialmente la stessa fattorizzazione è conseguenza del fatto che \(2\) è un unità. Cosa vuol dire "essenzialmente la stessa"? Quello che ti ho scritto prima. Ovvero che ciascun fattore della prima fattorizzazione è associata ad un fattore dell'altra e ci sono lo stesso numero di fattori. Due elementi \(p,q \) sono detti associati se esiste un unità \(u\) tale che \( p = u q \).
Ora \(p=2x+2 \) è associato a \( q=x+1 \) prendendo l'unità \(u=2\) e allora vedi anche te che \( 2x+2= 2(x+1) \) e voilà abbiamo che le tue fattorizzazioni sono essenzialmente la stessa fattorizzazione perché \( 2 \) è un unità in \( \mathbb{Q}[X] \). Infatti puoi fattorizzare il polinomio \(2x+2 \) sia così:
\( 2x+2 = p \) che così \( 2x+2 = uq \) ma sono essenzialmente la stessa fattorizzazione!
NB: La parola essenzialmente ha un significato ben preciso che ti ho detto prima!
Adesso ho capito!
Comunque (non so se si possa fare qui) c'è qualcuno tra voi che mi possa consigliare libri riguardo proprio al perchè della matematica? Perchè mi succedono spesso casi come questo e il mio desiderio più grande non è capire come funziona, ma perchè funziona e ho davvero tante difficoltà a trovare testi che riportino entrambi, sarebbe bello trovare dei libri che si concentrano di più sul perchè funziona la matematica (e come vengono anche pensate determinate cose) piuttosto che riportarmi una formula da usare.
Grazie mille dell'aiuto a tutti e della disponibilità
Comunque (non so se si possa fare qui) c'è qualcuno tra voi che mi possa consigliare libri riguardo proprio al perchè della matematica? Perchè mi succedono spesso casi come questo e il mio desiderio più grande non è capire come funziona, ma perchè funziona e ho davvero tante difficoltà a trovare testi che riportino entrambi, sarebbe bello trovare dei libri che si concentrano di più sul perchè funziona la matematica (e come vengono anche pensate determinate cose) piuttosto che riportarmi una formula da usare.
Grazie mille dell'aiuto a tutti e della disponibilità
Ma dietro ad ogni formula c'è un pensiero, e probabilmente quello che chiami "perché" è ciò che in matematica si chiama "dimostrazione". Ogni libro di matematica serio contiene le dimostrazioni dei suoi enunciati.
Lo so che sto facendo un discorso molto banale rispetto alla piega presa dalla discussione, comunque dò lo stesso il mio contributo.
Quando devo scomporre un polinomio in una sola variabile, considero LA scomposizione unica è quella in cui, in tutti i polinomi della scomposizione, il coefficiente del termine di grado massimo vale 1, poi alla bisogna si può modificare, ma raccogliendo tutti i coefficienti dei termini di grado massimo di ogni fattore della scomposizione, si deve ottenere la stessa scomposizione.
Quando devo scomporre un polinomio in una sola variabile, considero LA scomposizione unica è quella in cui, in tutti i polinomi della scomposizione, il coefficiente del termine di grado massimo vale 1, poi alla bisogna si può modificare, ma raccogliendo tutti i coefficienti dei termini di grado massimo di ogni fattore della scomposizione, si deve ottenere la stessa scomposizione.
"Martino":
Ma dietro ad ogni formula c'è un pensiero, e probabilmente quello che chiami "perché" è ciò che in matematica si chiama "dimostrazione". Ogni libro di matematica serio contiene le dimostrazioni dei suoi enunciati.
Non necessariamente, ti riporto una trascrizione che ho fatto di una lezione di Keith Devlin sull'algebra (matematico e professore alla Stanford) per farti capire esattamente cosa intendo: "Sono diventato un matematico quando ho iniziato a fare Analisi Matematica: prima pensavo alla matematica più come uno strumento e volevo andare all'università per diventare un fisico, non ero particolarmente brillante in matematica, ma ne avevo bisogno per fare fisica quindi mi sono impeganto molto per progredire nella materia.
Poi all'ultimo anno di liceo abbiamo iniziato a fare Analisi, cose base per scoprire un po' la materia, e mi viene fornito questo strumento che è decisamente incredibile; posso calcolare a che punto sarà la Luna tra tre settimane, calcolare cosa succede nel momento che una trottola inizia a smettere di girare, ti da l'opportunità di calcolare quest'immensità di cose con una precisione magnifica, eppure, non avevo idea di come funzionasse, e per me avere qualcosa davanti di così fenomenale e che funzionasse, e in essenza semplice perchè bastava che guardassi il mio libro, la spiegazione, ed ecco come funziona, per me non aveva semplicemente senso, io sono il tipo di persona che vuole sapere cosa succede sotto al cofano.
La cosa divertente è che tutti nella mia classe non ne erano interessati, e il professore era tipo; "Hey ecco la formula ed ecco come funziona" Ma io ero tipo: "Si ma... perchè quella formula funziona? Da dove viene quella formula e come è stata pensata?" Ed ero l'unico in classe, incluso il professore in realtà, interessato a comprenderlo realmente, volevo capire a cosa stava pensando Newton in quel momento per arrivare a certe conclusioni, quello è stato il motivo per cui ora sono un matematico"
Io sono come Keith, voglio scavare a fondo e non avendo a disposizione un professore, ho bisogno di libri che siano il più dettagliati possibile, quindi qualsiasi consiglio per allargare la libreria mi fa comodo, un esempio personale che ti posso fare è sull'insiemistica, la parte che più mi interessava (ragionamento e storia di Cantor) l'ho trovata in un video di Veritasium (è uno youtuber nel caso non lo conoscessi) che in un pdf di Algebra per il cdl in matematica.
"@melia":
ma raccogliendo tutti i coefficienti dei termini di grado massimo di ogni fattore della scomposizione, si deve ottenere la stessa scomposizione.
La prima parte è molto chiara, tuttavia non capisco se questa parte sia un consiglio, un'affermazione o ti agganci al nostro precedente discorso.
Appunto!
Il perché delle cose lo capisci capendo una dimostrazione. Cioè non che ai matematici arriva in testa la dimostrazione in modo formale come la leggi, anzi pensano anche in modo disordinato, si creano immagini, creano collegamenti tra quello che leggono e quello che già sanno, ma la dimostrazione è la trascrizione formale del perché una determinata cosa funziona. Ed è scritta così per permettere a qualcuno d'altro di capire il loro pensiero, sennò sarebbe un casino leggere le dimostrazioni senza un certo rigore.
Ora siccome in matematica c'è un modo di scrivere che è molto formale e preciso all'inizio non è facile capire il perché delle cose leggendo una dimostrazione, ma è proprio lì che capisci cosa succede sotto al cofano, puoi andare più o meno in profondità a dipendenza di quanto ti interessa. Imparare a leggere la matematica scritta è una cosa che arriva con l'esperienza.
Per portarla un po' all'estremo io non capisco cosa dice un teorema fin che non l'ho dimostrato (o capito veramente una dimostrazione che ho letto).
Per libro di matematica serio Martino penso intenda libri di matematica universitari, perché al liceo questo tipo di cose secondo me (chi più chi meno e anche giustamente aggiungerei) viene tralasciato un po'. Quello che intende Keith Devlin penso sia, parafrasando: "io volevo dissezionare una dimostrazione ciò che non viene fatto al liceo e quindi sono diventato matematico".
Il punto è che se riesci a dimostrare una cosa, sporcandoti le mani, allora significa che hai capito come funzionano gli oggetti e perché. È anche vero che spesso capisci come funziona e perché funziona una cosa mentre stai dimostrando qualcosa. Sei lì, sai dove vuoi arrivare, e dev'essere per forza di cose che una cosa funziona in un certo modo ma non capisci il perché e poi ad un certo punto ti dici "ahhh ma ecco perché funziona così..." e una frase che prima non riuscivi a capire cosa dicesse poi la vedi con occhi differenti perché hai capito. La frase non è cambiata ma è cambiata la tua comprensione del perché una cosa è vera/falsa o del suo funzionamento.
Il perché delle cose lo capisci capendo una dimostrazione. Cioè non che ai matematici arriva in testa la dimostrazione in modo formale come la leggi, anzi pensano anche in modo disordinato, si creano immagini, creano collegamenti tra quello che leggono e quello che già sanno, ma la dimostrazione è la trascrizione formale del perché una determinata cosa funziona. Ed è scritta così per permettere a qualcuno d'altro di capire il loro pensiero, sennò sarebbe un casino leggere le dimostrazioni senza un certo rigore.
Ora siccome in matematica c'è un modo di scrivere che è molto formale e preciso all'inizio non è facile capire il perché delle cose leggendo una dimostrazione, ma è proprio lì che capisci cosa succede sotto al cofano, puoi andare più o meno in profondità a dipendenza di quanto ti interessa. Imparare a leggere la matematica scritta è una cosa che arriva con l'esperienza.
Per portarla un po' all'estremo io non capisco cosa dice un teorema fin che non l'ho dimostrato (o capito veramente una dimostrazione che ho letto).
Per libro di matematica serio Martino penso intenda libri di matematica universitari, perché al liceo questo tipo di cose secondo me (chi più chi meno e anche giustamente aggiungerei) viene tralasciato un po'. Quello che intende Keith Devlin penso sia, parafrasando: "io volevo dissezionare una dimostrazione ciò che non viene fatto al liceo e quindi sono diventato matematico".
Il punto è che se riesci a dimostrare una cosa, sporcandoti le mani, allora significa che hai capito come funzionano gli oggetti e perché. È anche vero che spesso capisci come funziona e perché funziona una cosa mentre stai dimostrando qualcosa. Sei lì, sai dove vuoi arrivare, e dev'essere per forza di cose che una cosa funziona in un certo modo ma non capisci il perché e poi ad un certo punto ti dici "ahhh ma ecco perché funziona così..." e una frase che prima non riuscivi a capire cosa dicesse poi la vedi con occhi differenti perché hai capito. La frase non è cambiata ma è cambiata la tua comprensione del perché una cosa è vera/falsa o del suo funzionamento.
VarthDader, è semplice: smetti di leggere libri del liceo e comincia a leggere libri universitari 
"3m0o":
Appunto!
Il perché delle cose lo capisci capendo una dimostrazione. Cioè non che ai matematici arriva in testa la dimostrazione in modo formale come la leggi, anzi pensano anche in modo disordinato, si creano immagini, creano collegamenti tra quello che leggono e quello che già sanno, ma la dimostrazione è la trascrizione formale del perché una determinata cosa funziona. Ed è scritta così per permettere a qualcuno d'altro di capire il loro pensiero, sennò sarebbe un casino leggere le dimostrazioni senza un certo rigore.
Ora siccome in matematica c'è un modo di scrivere che è molto formale e preciso all'inizio non è facile capire il perché delle cose leggendo una dimostrazione, ma è proprio lì che capisci cosa succede sotto al cofano, puoi andare più o meno in profondità a dipendenza di quanto ti interessa. Imparare a leggere la matematica scritta è una cosa che arriva con l'esperienza.
Per portarla un po' all'estremo io non capisco cosa dice un teorema fin che non l'ho dimostrato (o capito veramente una dimostrazione che ho letto).
Per libro di matematica serio Martino penso intenda libri di matematica universitari, perché al liceo questo tipo di cose secondo me (chi più chi meno e anche giustamente aggiungerei) viene tralasciato un po'. Quello che intende Keith Devlin penso sia, parafrasando: "io volevo dissezionare una dimostrazione ciò che non viene fatto al liceo e quindi sono diventato matematico".
Il punto è che se riesci a dimostrare una cosa, sporcandoti le mani, allora significa che hai capito come funzionano gli oggetti e perché. È anche vero che spesso capisci come funziona e perché funziona una cosa mentre stai dimostrando qualcosa. Sei lì, sai dove vuoi arrivare, e dev'essere per forza di cose che una cosa funziona in un certo modo ma non capisci il perché e poi ad un certo punto ti dici "ahhh ma ecco perché funziona così..." e una frase che prima non riuscivi a capire cosa dicesse poi la vedi con occhi differenti perché hai capito. La frase non è cambiata ma è cambiata la tua comprensione del perché una cosa è vera/falsa o del suo funzionamento.
Quindi devo avere pazienza per il momento e seguire il mio percorso, mi sta bene, mi dispiace un po' però che si debba andare così lontano per avere risposte che magari cerchi da tempo.
"Martino":
VarthDader, è semplice: smetti di leggere libri del liceo e comincia a leggere libri universitari
E presto ci arrivo, Grazie
"VarthDader":
... mi dispiace un po' però che si debba andare così lontano per avere risposte che magari cerchi da tempo.
Cioè, fammi capire, tu vorresti guidare una Formula 1 dopo aver fatto dieci lezioni di scuola guida?
Estremizzo, chiaramente, ma la situazione è quella.
3m0o per "spiegarti" l'unicità, ha introdotto concetti che stanno anni-luce avanti al problema che hai posto, non so se mi spiego ...
Cordialmente, Alex
"VarthDader":
[quote="@melia"]ma raccogliendo tutti i coefficienti dei termini di grado massimo di ogni fattore della scomposizione, si deve ottenere la stessa scomposizione.
La prima parte è molto chiara, tuttavia non capisco se questa parte sia un consiglio, un'affermazione o ti agganci al nostro precedente discorso.[/quote]
Sto semplificando/banalizzando il discorso di 3m0o
Faccio un esempio, supponi di dover scomporre $6x^2-26x+24$, una scomposizione corretta è $(3x-4)(2x-6)$, ma anche $(3-x)(8-6x)$, se la vuoi con i coefficienti dei termini di grado massimo uguali a 1, allora è $6(x-4/3)(x-3)$ e con i coefficienti uguali a 1 c'è solo questa.
"axpgn":
[quote="VarthDader"]... mi dispiace un po' però che si debba andare così lontano per avere risposte che magari cerchi da tempo.
Cioè, fammi capire, tu vorresti guidare una Formula 1 dopo aver fatto dieci lezioni di scuola guida?
Estremizzo, chiaramente, ma la situazione è quella.
3m0o per "spiegarti" l'unicità, ha introdotto concetti che stanno anni-luce avanti al problema che hai posto, non so se mi spiego ...
Cordialmente, Alex[/quote]
No, non è assolutamente così, semmai so guidare senza sapere come funziona la macchina, questa è la giusta analogia, quindi la situazione non è quella, se ti riferisci agli argomenti che pensi siano troppo avanzati ho spiegato che il mio livello non è liceale, ma misto essendo arrivato ad Analisi 1, ma tornato indietro per ripasso e approfondimento, per questo ho chiesto una spiegazione più approfondita che mi è stata gentilmente concessa.
Beh, allora hai sbagliato sezione ... ... ovvero se volevi una spiegazione "avanzata" avresti dovuto postare direttamente nella sezione universitaria (anche perché, dal tuo post, hai dato l'impressione di essere alle prese con argomenti liceali, come confermato, indirettamente, anche da Martino)
Cordialmente, Alex
... ovvero se volevi una spiegazione "avanzata" avresti dovuto postare direttamente nella sezione universitaria (anche perché, dal tuo post, hai dato l'impressione di essere alle prese con argomenti liceali, come confermato, indirettamente, anche da Martino)Cordialmente, Alex
"axpgn":
Beh, allora hai sbagliato sezione ...
Cordialmente, Alex
No la sezione è giusta perchè l'argomento è stato rigettato in altre sezioni dai moderatori consigliandomi questa sezione (è la prima volta che posto) infatti l'argomento trattato è proprio liceale, tuttavia come ho detto è nato da Martino un dubbio in me che 3m0o mi ha cordialmente spiegato tutto qui.
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