Limiti
Ciao a tutti, ho alcuni dubbi su un paio di limiti:
$lim_(x->1^+) (x/(log_(1/2) x))$
Al numeratore viene un numero definitivamente maggiore di zero (1), che è moltiplicato per una funzione che tende a infinito, quindi il limite è infinito. Ma perchè il libro riporta $-00$? Cioè, non capisco come il limite destro possa influire in questo caso sul segno dell'infinito.
Altro:
$lim_(x->pi/2) (2x-pi)/(3cosx)$
Da questo non riesco proprio ad uscirne...
Mi sapete dire se le derivate sono programma di quarto liceo scientifico PNI?
E' una curiosità, il mio prof le ha iniziate ma vedo che molte classi le fanno in quinto (non è che mi dispiaccia, ovviamente).
Fabio
$lim_(x->1^+) (x/(log_(1/2) x))$
Al numeratore viene un numero definitivamente maggiore di zero (1), che è moltiplicato per una funzione che tende a infinito, quindi il limite è infinito. Ma perchè il libro riporta $-00$? Cioè, non capisco come il limite destro possa influire in questo caso sul segno dell'infinito.
Altro:
$lim_(x->pi/2) (2x-pi)/(3cosx)$
Da questo non riesco proprio ad uscirne...
Mi sapete dire se le derivate sono programma di quarto liceo scientifico PNI?
E' una curiosità, il mio prof le ha iniziate ma vedo che molte classi le fanno in quinto (non è che mi dispiaccia, ovviamente).
Fabio
Risposte
Le derivate sono programma di quinto, te lo posso
dire con sicurezza dato che anche io ho fatto il PNI.
Quanto al secondo limite ti basta porre $2x-pi=t$.
Per il primo limite, viene $-oo$ per il fatto che
$log_(1/2)x->0^-$ per $x->1^+$.
dire con sicurezza dato che anche io ho fatto il PNI.
Quanto al secondo limite ti basta porre $2x-pi=t$.
Per il primo limite, viene $-oo$ per il fatto che
$log_(1/2)x->0^-$ per $x->1^+$.
ciao a tutti... sono nuovo del forum.....grazie al pessimo insegnamento ke ho avuto gli ultimi 2 anni di scient. mi ritrovo 2 mesi dagli esami con grosse lacune nella mia materia preferita.. dove tra l'altro ho voti altissimi...Vedendo esami passati nn sono riuscito a fare qst limite:$lim_(x->oo) [(3^n)/(n!)]$
grazie a chi avrà la pazienza di aiutarmi....
...per favore scivetemi con chiarezza ogni passaggio xkè nn so quasi nulla di successioni
"matematicoestinto":
Vedendo esami passati nn sono riuscito a fare qst limite: $\lim_{x\to \infty} \frac{3^n}{n!}
Mostreremo di più! Mostreremo che, per ogni reale $a > 0$, vale $\lim_{x\to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$. Non è che sia una grossa generalizzazione, ma vabbè... Fissato $a \in \mathbb{R}^+$, sia infatti $k$ il massimo intero $\le a$. Allora $a^n < (k+1)(k+2)...(k+n) = \frac{(n+k)!}{k!}$, per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$. Ne seguita che $0 \le \lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = \lim_{n \to \infty}\frac{a^{n+k}}{(n+k)!} = a^{k+1} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n-1}}{(n+k)!} \le \frac{a^{k+1}}{k!} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+k} = 0$, di modo che $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$, per via dello squeeze principle (aka teorema dei due carabinieri).
Grazie mille per avermi risp...
per favore puoi spiegarmi xkè $(k+1)(k+2)(k+n-1)(k+n)=frac((k+n)!)(k!)$?
per favore puoi spiegarmi xkè $(k+1)(k+2)(k+n-1)(k+n)=frac((k+n)!)(k!)$?
"matematicoestinto":
Grazie mille per avermi risp...
per favore puoi spiegarmi xkè $(k+1)(k+2)(k+n-1)(k+n)=frac((k+n)!)(k!)$?
$(k+n)! = 1 * 2 *... * (k+n-1)(k+n)$
$k! = 1 * 2 *... * k$
Se dividi il termine di sopra per quello di sotto, avrai proprio $(k+1)(k+2)....(k+n-1)(k+n)$.
Graqzie per avermi risp Iore... scusa per l'ignoranza somma che mi affligge... sto cadendo in crisi... Come faccio a dividere i 2 termini? come si esegue la divisione fra fattoriali? nn c'è un metodo + semplice per giungere alla soluzione del quesito di qulache post prima. GRAZIE
ps: Vi ricordo che faccio il liceo scientifico ancora e nnn l'università!
ps: Vi ricordo che faccio il liceo scientifico ancora e nnn l'università!
"matematicoestinto":
ps: Vi ricordo che faccio il liceo scientifico ancora e nnn l'università!
...il punto è che le divisioni si apprendono alle scuole elementari!
Grazie DavidHiblert o come ***** ti chiami!
Mi sei stato davvero di grande aiuto!
Chissà dove hai imparato tu tutta qst gentilezza!!!
Mi sei stato davvero di grande aiuto!
Chissà dove hai imparato tu tutta qst gentilezza!!!
"matematicoestinto":
Grazie DavidHiblert o come ***** ti chiami!
Mi sei stato davvero di grande aiuto!
Chissà dove hai imparato tu tutta qst gentilezza!!!
Ehila bboni
...Quello di Hilbert era solo un rimprovero, forse ci è andato un pò pesante ma comunque non penso volesse offenderti.
Per quanto rigurada la divisione, prova a scrivere i due fattoriali in forma estesa, dividi quello di sopra per quello di sotto, cancellando i termini uguali, e gurada un pò cosa ti rimane...
"lore":
Per quanto rigurada la divisione, prova a scrivere i due fattoriali in forma estesa, dividi quello di sopra per quello di sotto, cancellando i termini uguali, e gurada un pò cosa ti rimane...
la divisione della discordia dovrebbe essere qs: $frac(1*2*3*4*5*...*(k+n-2)(k+n-1)(k+n))(1*2*3*4*5*...*(k-2)(k-1)*k)$
Sbaglio o a meno dei primi 5 termini nn vi sono altri termini da semplficare?
L'esercizio scatenante era qst:
$lim_(n->oo)frac(3^n)(n!)$
Qualcuno potrebbe dirmi se qst è un modo corretto di procedere?
$lim_(n->oo)frac(3^n)(n!)=lim_(x->oo)frac(3)(1)*lim_(x->oo)frac(3)(2)....lim_(x->oo)frac(3)(oo)$
e siccome l'ultimo limite tende a zero rende nullo l'intero prodotto.
Il procedimento illustato da David mi sembra affetto da uno studio mnemonico e vuoto di originalità
"matematicoestinto":
la divisione della discordia dovrebbe essere qs: $frac(1*2*3*4*5*...*(k+n-2)(k+n-1)(k+n))(1*2*3*4*5*...*(k-2)(k-1)*k)$
Sbaglio o a meno dei primi 5 termini nn vi siano altri termini da semplficare?
Occhio... ti lasci ingannare dai puntini.. in realtà immagina che sopra ci sono tutti i numeri da 1 a k+n moltiplicati tra di loro... uguale di sotto da 1 a k... prova a vedere ora quanti si semplificano.
"matematicoestinto":
L'esercizio scatenante era qst:
$lim_(n->oo)frac(3^n)(n!)$
Qualcuno potrebbe dirmi se qst è un modo corretto di procedere?
$lim_(n->oo)frac(3^n)(n!)=lim_(x->oo)frac(3)(1)*lim_(x->oo)frac(3)(2)....lim_(x->oo)frac(3)(oo)$
e siccome l'ultimo limite tende a zero rende nullo l'intero prodotto.
Devi vedere quale dei termini và "più velocemente" all'infinito... ti conviene usare il teorema del confronto...
P.S.: Anzi, ma quello non è un limite notevole?
Quello che hai scritto non ha senso.
Cioè, intuitivamente è ovvio ma non vale come dimostrazione.
Infatti n! è infinito solo se n tende a infinito.
Ma visto che hai applicato la proprietà di prodotto dei limiti, l'ultimo fattore è il limite di 3/n, che discende dalla definizione di fattoriale, per l'appunto.
Il procedimento corretto è quello di David.
Fabio
Cioè, intuitivamente è ovvio ma non vale come dimostrazione.
Infatti n! è infinito solo se n tende a infinito.
Ma visto che hai applicato la proprietà di prodotto dei limiti, l'ultimo fattore è il limite di 3/n, che discende dalla definizione di fattoriale, per l'appunto.
Il procedimento corretto è quello di David.
Fabio
UFFA.... MI ARRENDO!
Non rieco a capire le semplificazioni da fare...
x quanto riguarda il limite credo sia giusto il modo in cui l'ho svolto.. inoltre il risultato coincide....
...un limite notevole? nn lo so!
GRAZIE MILLE PER LA VOSTRA PAZIENZA
Non rieco a capire le semplificazioni da fare...
x quanto riguarda il limite credo sia giusto il modo in cui l'ho svolto.. inoltre il risultato coincide....
...un limite notevole? nn lo so!
GRAZIE MILLE PER LA VOSTRA PAZIENZA
"SaturnV":
Quello che hai scritto non ha senso.
Cioè, intuitivamente è ovvio ma non vale come dimostrazione.
Infatti n! è infinito solo se n tende a infinito.
Ma visto che hai applicato la proprietà di prodotto dei limiti, l'ultimo fattore è il limite di 3/n, che discende dalla definizione di fattoriale, per l'appunto.
Il procedimento corretto è quello di David.
Fabio
MA QUESTO E' PROPRIO IL CASO IN CUI N TENDE A INFINITO E QUINDI N! è INFINITO!!!!!!!!!!!!!!!1
Il procedimento di David è sicurament giusto anche se io nn lo capisco..... MA QST NN VUOL DIRE KE IL MIO SIA SBAGLIATO!!!!
"matematicoestinto":
$lim_(n->oo)frac(3^n)(n!)=lim_(x->oo)frac(3)(1)*lim_(x->oo)frac(3)(2)....lim_(x->oo)frac(3)(oo)$
Non solo è sbagliato! C'è di più: non ha alcun senso...
"matematicoestinto":
Il procedimento illustato da David mi sembra affetto da uno studio mnemonico e vuoto di originalità
Di certo hai ragione tu.
Calma.
Dunque, definizione di fattoriale:
$n! =n*(n-1)*(n-2)*...3*2$
Giusto?
Bene.
Il limite è $lim_(n->oo)frac(3^n)(n!)$
Hai applicato la proprietà per cui il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti? Allora:
Al numeratore hai un prodotto costituito da n fattori (3).
Al denominatore hai un $n!$ che appunto è costituito da n fattori.
Se distribuisci, alla fine ti viene $lim_(x->oo)frac(3)(n)$
Io dicevo soltanto, se lasci il segno di limite, non puoi sostituire il segno di infinito sotto, è quello che non ha senso.
Poi, è vero che n! tende a inifinito, ma anche $3^n$ tende a infinito.
Solo che $n!$ è un infinito di ordine superiore. Il punto da dimostrare è questo.
Cioè che la funzione fattoriale cresce "più velocemente" della funzione esponenziale.
E per fare ciò puoi usare il procedimento usato da David, o anche qualche altro in realtà.
Fabio
Dunque, definizione di fattoriale:
$n! =n*(n-1)*(n-2)*...3*2$
Giusto?
Bene.
Il limite è $lim_(n->oo)frac(3^n)(n!)$
Hai applicato la proprietà per cui il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti? Allora:
Al numeratore hai un prodotto costituito da n fattori (3).
Al denominatore hai un $n!$ che appunto è costituito da n fattori.
Se distribuisci, alla fine ti viene $lim_(x->oo)frac(3)(n)$
Io dicevo soltanto, se lasci il segno di limite, non puoi sostituire il segno di infinito sotto, è quello che non ha senso.
Poi, è vero che n! tende a inifinito, ma anche $3^n$ tende a infinito.
Solo che $n!$ è un infinito di ordine superiore. Il punto da dimostrare è questo.
Cioè che la funzione fattoriale cresce "più velocemente" della funzione esponenziale.
E per fare ciò puoi usare il procedimento usato da David, o anche qualche altro in realtà.
Fabio
"DavidHilbert":
[quote="matematicoestinto"]$lim_(n->oo)frac(3^n)(n!)=lim_(x->oo)frac(3)(1)*lim_(x->oo)frac(3)(2)....lim_(x->oo)frac(3)(oo)$
Non solo è sbagliato! C'è di più: non ha alcun senso...
"matematicoestinto":
Il procedimento illustato da David mi sembra affetto da uno studio mnemonico e vuoto di originalità
Di certo hai ragione tu.
[/quote]hai RAGIONE: nn ha senso il senso limite davanti a un'espressione senza incognita.
Ma in linea di principio nn credo sia errato il procedimento... Spiegami per favore xkè lo ritieni errato... e se hai tempo mi interesserebbe tanto capire come dimostri (ma cn proprio tutti i passaggi) la proprietà ke mi hai suggerito prima
"SaturnV":
Calma.
Dunque, definizione di fattoriale:
$n! =n*(n-1)*(n-2)*...3*2$
Giusto?
Bene.
Il limite è $lim_(n->oo)frac(3^n)(n!)$
Hai applicato la proprietà per cui il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti? Allora:
Al numeratore hai un prodotto costituito da n fattori (3).
Al denominatore hai un $n!$ che appunto è costituito da n fattori.
Se distribuisci, alla fine ti viene $lim_(x->oo)frac(3)(n)$
Io dicevo soltanto, se lasci il segno di limite, non puoi sostituire il segno di infinito sotto, è quello che non ha senso.
Poi, è vero che n! tende a inifinito, ma anche $3^n$ tende a infinito.
Solo che $n!$ è un infinito di ordine superiore. Il punto da dimostrare è questo.
Cioè che la funzione fattoriale cresce "più velocemente" della funzione esponenziale.
E per fare ciò puoi usare il procedimento usato da David, o anche qualche altro in realtà.
Fabio
Ah Fabio
Hai ragione...
scusa per il malinteso è stata una svista di scrittura
ma il modo da me usato nn è uan dimostrazione?
ciao
Ah Fabio
Hai ragione...
scusa per il malinteso è stata una svista di scrittura
ma il modo da me usato nn è uan dimostrazione?
ciao
No perchè tu hai messo infinito solo di sotto, ma va anche di sopra... appunto bisogna vedere "chi vince"...
Sicuramente ti conviene usare il confronto: cerca una funzione definitivamente maggiore di $lim_(n->oo)frac(3^n)(n!)$ che tenda a zero per n che va all'infinito, e il gioco è fatto....
comunque non ti scoraggiare, i limiti sono un pò rognosi ma a forza di sbatterci la testa li fai
(e poi ti servono per diverse altre cose dopo...)
Dopo molto tempo vorrei rispondere a me stesso.....
Premetto che questo è stato uno dei miei primi post, se non il primo; aggiungo che al prof è andata benissimo la mia "dimostrazione" (anche se, conoscendolo, non vuol dire che sia giusta);
Adesso che ho studiato analisi 1 posso dimostrarlo così:
usando il teorema del rapporto.
$(a_n)=(3^n)/(n!)$ che è a termini positivi
Siccome $lim (a_(n+1))/a_n=0$, il limite cercato è 0.
Premetto che questo è stato uno dei miei primi post, se non il primo; aggiungo che al prof è andata benissimo la mia "dimostrazione" (anche se, conoscendolo, non vuol dire che sia giusta);
Adesso che ho studiato analisi 1 posso dimostrarlo così:
usando il teorema del rapporto.
$(a_n)=(3^n)/(n!)$ che è a termini positivi
Siccome $lim (a_(n+1))/a_n=0$, il limite cercato è 0.
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