Limite impossibile
Nel mio compito in classe c'era da calcolare questo limite:
$lim_(x->0) (sinx+cosx)^(1/x)$
Ovviamente senza usare De l'Hopital che ancora non abbiamo studiato, ma solo per passaggi algebrici.
Non ci crederà nessuno, ma neanche la nostra insegnante è riuscita a risolverlo, al momento della correzione del compito.
C'è qualcuno così geniale che sa risolverlo?
$lim_(x->0) (sinx+cosx)^(1/x)$
Ovviamente senza usare De l'Hopital che ancora non abbiamo studiato, ma solo per passaggi algebrici.
Non ci crederà nessuno, ma neanche la nostra insegnante è riuscita a risolverlo, al momento della correzione del compito.
C'è qualcuno così geniale che sa risolverlo?
Risposte
Immagino che non puoi neanche usare gli sviluppi asintotici...
Hai provato a trasformarlo in $lim_(x rarr 0) e^[(1/x)ln(sinx+cosx)] $ ?
Hai provato a trasformarlo in $lim_(x rarr 0) e^[(1/x)ln(sinx+cosx)] $ ?
Dopo la trasformazione di Camillo, basta osservare che
$\sin x + \cos x = 1 + x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ... $
quindi possiamo approssimare così:
$\sin x + \cos x = 1 + x$
A questo punto:
$\frac{1}{x} \cdot \ln (\sin x + \cos x) = \frac{1}{x} \cdot \ln (1+x) \rightarrow 1$ per $x \rightarrow 0$.
Il limite dunque risulta essere uguale a $e^1 = e$.
Francesco Daddi
$\sin x + \cos x = 1 + x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ... $
quindi possiamo approssimare così:
$\sin x + \cos x = 1 + x$
A questo punto:
$\frac{1}{x} \cdot \ln (\sin x + \cos x) = \frac{1}{x} \cdot \ln (1+x) \rightarrow 1$ per $x \rightarrow 0$.
Il limite dunque risulta essere uguale a $e^1 = e$.
Francesco Daddi
Ma come vi fà il compito in classe e non lo sà risolvere...Poi una roba che si fà con due limiti notevoli ($\lim_(x\rightarrow 0)\frac(\ln(1+f(x)))(f(x))$ e $\lim_(x\rightarrow 0)\frac(\sin x)(x)$)..Stà proprio calando il livello degli insegnanti..
Mi sembra davvero impossibile senza sviluppi di Taylor o senza De l'Hopital...
Hai ragione sono stato un po' troppo frettoloso non riesco ad eliminare di mezzo il coseno 
comunque ribadisco la polemica 
comunque ribadisco la polemica
E' banale xD
e^[1/x * ln(senx + cosx)]
Prendiamo in considerazione solo l'esponente... sarà quindi
dividendo per x
ln[(senx/x + cosx/x)x]/x
[ln(1+1/x)x]/x
da cui xD
ln(x+1)/x = 1
e^1 = e xD
cmq mi francod mi deve spiegare perché ha fatto cosx + senx = a tutta quella roba vabbé che non l'ho ancora studiato però... vorrei capire xD
e^[1/x * ln(senx + cosx)]
Prendiamo in considerazione solo l'esponente... sarà quindi
dividendo per x
ln[(senx/x + cosx/x)x]/x
[ln(1+1/x)x]/x
da cui xD
ln(x+1)/x = 1
e^1 = e xD
cmq mi francod mi deve spiegare perché ha fatto cosx + senx = a tutta quella roba vabbé che non l'ho ancora studiato però... vorrei capire xD
"V3rgil":
$[ln(1+1/x)x]/x$
da cui xD
$ln(x+1)/x = 1$
$e^1 = e$ xD
Ciao scusa ma non capisco cos'hai fatto qui...
moltiplico e divido per x l'argomento del logaritmo:
$[1/x(ln((senx)/x+cosx/x)x] = ln[((senx)/x+cosx/x)x]$
$(senx)/x=1$ quando x tende a 0...tu hai fatto il limite notevole e il limite del coseno lasciando le altre x in giro?
Cioè:
$lim_(x->0) e^(1/xln[((senx)/x+cosx/x)x])= e^((ln[(1+1/x)x])/x)$
Il limite è per $x->0$, quindi 0 va sostituito ovunque nell'espressione della funzione trovi x...in questo caso da una forma indeterminata. A me sembra che tu abbia fatto questo passaggio, però magari hai fatto qualcos'altro che mi sfugge.
Secondo me l'unico modo è con gli sviluppi in serie.
"Volvox":
Nel mio compito in classe c'era da calcolare questo limite:
$lim_(x->0) (sinx+cosx)^(1/x)$
Ovviamente senza usare De l'Hopital che ancora non abbiamo studiato, ma solo per passaggi algebrici.
Non ci crederà nessuno, ma neanche la nostra insegnante è riuscita a risolverlo, al momento della correzione del compito.
C'è qualcuno così geniale che sa risolverlo?
Direi che è il caso di usare i limiti notevoli, quindi $lim_(x->0) (sinx+cosx)^(1/x) = lim_(x->0) (cos x)^(1/x) *(sinx/cosx +1)^(1/x)=lim_(x->0) (cos x)^(1/x) *((tanx +1)^(1/tanx))^(tanx/x) $
Risolviamo ora i vari pezzi
$lim_(x->0) (cos x)^(1/x)=1$ in effetti questa sarebbe ancora una forma indeterminata,
ma la "velocità" con cui $cosx$ tende a 1 è più forte di quella con cui $1/x$ tende a zero ( ricorda che $lim_(x->0) (1-cos x)/x=0$)
$lim_(x->0) (tanx +1)^(1/tanx)= e$ utilizzando la generalizzazione del secondo limite notevole
$lim_(x->0) (tanx/x)=1$ per il primo limite notevole
Da cui $lim_(x->0) (cos x)^(1/x) *((tanx +1)^(1/tanx))^(tanx/x) =1* e^1= e$
Ciao, e salutami anche la mia collega
"V3rgil":
E' banale xD
e^[1/x * ln(senx + cosx)]
Prendiamo in considerazione solo l'esponente... sarà quindi
dividendo per x
ln[(senx/x + cosx/x)x]/x
[ln(1+1/x)x]/x
da cui xD
ln(x+1)/x = 1
e^1 = e xD
cmq mi francod mi deve spiegare perché ha fatto cosx + senx = a tutta quella roba vabbé che non l'ho ancora studiato però... vorrei capire xD
Per i limiti spesso faccio Taylor, senza stare ad indovinare artifici vari..
Francesco Daddi
"franced":
Per i limiti spesso faccio Taylor, senza stare ad indovinare artifici vari..
Francesco Daddi
Anch'io, ma era stato espressamente richiesto di non usare l'Hopital, e ho immaginato che non sapesse ancora usare le derivate, figurati Taylor, di quello alle superiori se ne può parlare solamente verso febbraio...
"amelia":
[quote="franced"]
Per i limiti spesso faccio Taylor, senza stare ad indovinare artifici vari..
Francesco Daddi
Anch'io, ma era stato espressamente richiesto di non usare l'Hopital, e ho immaginato che non sapesse ancora usare le derivate, figurati Taylor, di quello alle superiori se ne può parlare solamente verso febbraio...[/quote]
Ecco, io la vedo così: ma perché si devono fare milioni di esercizi cercando di "azzeccare" la sostituzione giusta?
Così si scoraggiano i ragazzi, lasciando l'idea di una materia davvero arida, dove il più bravo rischia davvero di
essere il più secchione, colui che ha fatto tutti gli esercizi del libro..
Non sarebbe meglio insegnare Taylor?
Francesco Daddi
"oronte83":
[quote="V3rgil"]
$[ln(1+1/x)x]/x$
da cui xD
$ln(x+1)/x = 1$
$e^1 = e$ xD
Ciao scusa ma non capisco cos'hai fatto qui...
moltiplico e divido per x l'argomento del logaritmo:
$[1/x(ln((senx)/x+cosx/x)x] = ln[((senx)/x+cosx/x)x]$
$(senx)/x=1$ quando x tende a 0...tu hai fatto il limite notevole e il limite del coseno lasciando le altre x in giro?
Cioè:
$lim_(x->0) e^(1/xln[((senx)/x+cosx/x)x])= e^((ln[(1+1/x)x])/x)$
Il limite è per $x->0$, quindi 0 va sostituito ovunque nell'espressione della funzione trovi x...in questo caso da una forma indeterminata. A me sembra che tu abbia fatto questo passaggio, però magari hai fatto qualcos'altro che mi sfugge.
Secondo me l'unico modo è con gli sviluppi in serie.[/quote]
Si allora prima ho fatto il limite notevole senx/x = 1 per x->0, ora per x->0 il coseno tenderà 1 e quindi penso sia lecito sostituire al coseno 1 del resto è lo stesso procedimento che si attua quando si mette in evidenza la x in un limite per x->infinito, prendi lim di x->+infinito di [x(1+1/x)]/[x^2(1+1/x)] in questo caso rimarrebbe solo x/x^2 e semplificando 1/x... ma se avessimo portato tutto in infinito quando abbiamo eliminato 1/x->0 allora sarebbe rimasto cmq una forma indeterminata... Spero di essermi espresso bene xD non è una mia dote farmi capire xD quando spiego
"franced":
[quote="amelia"][quote="franced"]
Per i limiti spesso faccio Taylor, senza stare ad indovinare artifici vari..
Francesco Daddi
Anch'io, ma era stato espressamente richiesto di non usare l'Hopital, e ho immaginato che non sapesse ancora usare le derivate, figurati Taylor, di quello alle superiori se ne può parlare solamente verso febbraio...[/quote]
Ecco, io la vedo così: ma perché si devono fare milioni di esercizi cercando di "azzeccare" la sostituzione giusta?
Così si scoraggiano i ragazzi, lasciando l'idea di una materia davvero arida, dove il più bravo rischia davvero di
essere il più secchione, colui che ha fatto tutti gli esercizi del libro..
Non sarebbe meglio insegnare Taylor?
Francesco Daddi[/quote]
Io preferisco il buon vecchio De l'Hopital, ovviamente Taylor è alquanto più generale...
"amelia":
ma la "velocità" con cui $cosx$ tende a 1 è più forte di quella con cui $1/x$ tende a zero ( ricorda che $lim_(x->0) (1-cos x)/x=0$)
Ero arrivato anch'io al risultato di Amelia ma sono rimasto bloccato sul $(cosx)^(1/x)$.
Forse sbaglio ma non capisco la conclusione di Amelia riportata sopra, dato che 1/x non tende zero ma a infinito ( per x->0).
Che il limite sia 1 e' cosa certa ma che tale risultato debbe discendere dal fatto che la velocita'
con cui cosx tende a 1 sia piu' forte di quella con la quale 1/x tende ad infinito non la vedo scaturire
dal noto limite $lim_(x -> 0)(1-cosx)/x=0$ che esprime una cosa diversa e non tiene conto che 1/x
si trova ad esponente.
@ amelia
Non ho capito bene come sei arrivata a $lim_(x->0)(cosx)^(1/x)*(sinx/cosx+1)^(1/x)=lim_(x->0)cosx^(1/x)*((tanx+1)^(1/tanx))^(tanx/x)$
Soprattutto non hop capito come sei riuscita a separare $(sinx+cosx)^(1/x)$ nel prodotto tra $cosx^(1/x)*(sinx/cosx+1)^(1/x)$ e poi nn ho capito il modo in cui hai risolto singolarmente i vari limiti (che limiti notevoli hai applicato??).
Comunque grazie mille
Non ho capito bene come sei arrivata a $lim_(x->0)(cosx)^(1/x)*(sinx/cosx+1)^(1/x)=lim_(x->0)cosx^(1/x)*((tanx+1)^(1/tanx))^(tanx/x)$
Soprattutto non hop capito come sei riuscita a separare $(sinx+cosx)^(1/x)$ nel prodotto tra $cosx^(1/x)*(sinx/cosx+1)^(1/x)$ e poi nn ho capito il modo in cui hai risolto singolarmente i vari limiti (che limiti notevoli hai applicato??).
Comunque grazie mille
"licio":
Ero arrivato anch'io al risultato di Amelia ma sono rimasto bloccato sul $(cosx)^(1/x)$.
Forse sbaglio ma non capisco la conclusione di Amelia riportata sopra, dato che 1/x non tende zero ma a infinito ( per x->0).
Che il limite sia 1 e' cosa certa ma che tale risultato debbe discendere dal fatto che la velocita'
con cui cosx tende a 1 sia piu' forte di quella con la quale 1/x tende ad infinito non la vedo scaturire
dal noto limite $lim_(x -> 0)(1-cosx)/x=0$ che esprime una cosa diversa e non tiene conto che 1/x
si trova ad esponente.
E' vero ho scritto male volevo scrivere $x$ e non $1/x$
Il problema vero comunque è che
$(1+f(x))^(1/g(x))$ con $f(x)$ e $g(x)$ che tendono a zero vale
1 se $f(x)$ tende a zero più rapidamente di $g(x)$
$+oo$ se $f(x)$ tende a zero più lentamente di $g(x)$
un qualunque valore compreso tra $1$ e $+oo$ quando la velocità con $f(x)$ e $g(x)$ tendono a zero è la stessa
Basta guardare quello che succede con le funzioni $(1+x^2)^(1/x)$ e $(1+x)^(1/(x^2))$ quando x tende a $+oo$
"Volvox":
@ amelia
Non ho capito bene come sei arrivata a $lim_(x->0)(cosx)^(1/x)*(sinx/cosx+1)^(1/x)=lim_(x->0)cosx^(1/x)*((tanx+1)^(1/tanx))^(tanx/x)$
Scusate se mi intrometto e rubo la parola ad amelia. Spero che amelia non se la prenda.
il primo passaggio è una messa in evidenza del coseno, per cui viene $[cosx(sinx/cosx+cosx/cosx)]^(1/x)$
dopodiché ha separato i fattori cosx e la parentesi tonda:
$cosx^(1/x) * (sinx/cosx+1)^(1/x)$
dopodiché ha moltiplicato e diviso l'esponente per la tanx. $1/tanx*1/x*tanx$
"Volvox":
Soprattutto non hop capito come sei riuscita a separare $(sinx+cosx)^(1/x)$ nel prodotto tra $(1/x)*(sinx/cosx+1)^(1/x)$
Non è $(1/x)*(sinx/cosx+1)^(1/x)$, $1/x$ è l'espnente del coseno che c'è prima. E' $[cosx^(1/x)]*[(sinx/cosx+1)^(1/x)]$
e poi?
"raff5184":
Scusate se mi intrometto e rubo la parola ad amelia. Spero che amelia non se la prenda.
Assolutamente no! Matematica fatta sul serio si può fare solo se tutti contribuiscono ciascuno con quello che sa, o chiedendo quello che non ha capito.
Non amo i monologhi
"amelia":
[quote="raff5184"]
Scusate se mi intrometto e rubo la parola ad amelia. Spero che amelia non se la prenda.
Assolutamente no! Matematica fatta sul serio si può fare solo se tutti contribuiscono ciascuno con quello che sa, o chiedendo quello che non ha capito.
Non amo i monologhi
[/quote]meno male!
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