Limite impossibile

[germany-votailprof]

Nel mio compito in classe c'era da calcolare questo limite:
$lim_(x->0) (sinx+cosx)^(1/x)$
Ovviamente senza usare De l'Hopital che ancora non abbiamo studiato, ma solo per passaggi algebrici.
Non ci crederà nessuno, ma neanche la nostra insegnante è riuscita a risolverlo, al momento della correzione del compito.
C'è qualcuno così geniale che sa risolverlo?

[Sk_Anonymous]

"amelia :....quando x tende a $+oo$

Probabilmente volevi dire per x->0.
Io avrei pensato ad una dimostrazione diretta.Si ha:
$lim_(x->0)(cosx)^(1/x)=e^(lim_(x->0)(ln(1-(1-cosx))/(1-cosx)*(1-cosx)/x))=e^[(-1)*0]=1$

[franced]

"amelia":[quote="Volvox"]Nel mio compito in classe c'era da calcolare questo limite:
$lim_(x->0) (sinx+cosx)^(1/x)$
Ovviamente senza usare De l'Hopital che ancora non abbiamo studiato, ma solo per passaggi algebrici.
Non ci crederà nessuno, ma neanche la nostra insegnante è riuscita a risolverlo, al momento della correzione del compito.
C'è qualcuno così geniale che sa risolverlo?

Direi che è il caso di usare i limiti notevoli, quindi $lim_(x->0) (sinx+cosx)^(1/x) = lim_(x->0) (cos x)^(1/x) *(sinx/cosx +1)^(1/x)=lim_(x->0) (cos x)^(1/x) *((tanx +1)^(1/tanx))^(tanx/x) $
[/quote]


Insomma, non credo che sia proprio il caso di usare i limiti notevoli..
Troppo artificioso questo procedimento, secondo me..
Sono per le cose dirette, usiamo Taylor che è meglio!

Francesco Daddi

[Sk_Anonymous]

[/quote]

Insomma, non credo che sia proprio il caso di usare i limiti notevoli..
Troppo artificioso questo procedimento, secondo me..
Sono per le cose dirette, usiamo Taylor che è meglio!

Francesco Daddi[/quote]

Sono d'accordo con te, ma, quando non hai ancora fatto le derivate e il professore ti propone un limite del genere, che cosa fai?
Certo che se hai qualche competenza in più è opportuno usarla.