Limite con equivalenze asintotiche
Devo risolvere questo limite usando il principio di sostituizione degli infinitesimi: $lim_(x->0)((1-cosx^2+2sinx)/(e^(2x)-1))$
Ho risolto in questo modo: $lim_(x->0)((1-cosx^2+2sinx)/(e^(2x)-1))=lim_(x->0)((x^2/2+2x)/x)$, però il risultato non viene giusto.
Potreste farmi capire dove ho sbagliato?
Ho risolto in questo modo: $lim_(x->0)((1-cosx^2+2sinx)/(e^(2x)-1))=lim_(x->0)((x^2/2+2x)/x)$, però il risultato non viene giusto.
Potreste farmi capire dove ho sbagliato?
Risposte
"olegfresi":
Ho risolto in questo modo: $lim_(x->0)((1-cosx^2+2sinx)/(e^(2x)-1))=lim_(x->0)((x^2/2+2x)/x)$, però il risultato non viene giusto.
Potreste farmi capire dove ho sbagliato?
Se ti si chiede di farlo con le sostituzioni asintotiche, avrei fatto come te, ma al denominatore non va $2x$?
Bene, il punto qui, è che non ho capito bene con cosa bisogna sostituire le funzioni. Per esempio nel caso $1-cosx$ so che bisogna sostituire $x^2/2$, ma non ho capito il perchè, perciò in casi leggermente diversi non sò come operare. Potresti spiegarmi come capire con cosa sostituire in esercizi del genere?
Il perché ti è già stato detto nelle altre tue discussioni come in "Limiti con seno e coseno" … in modo grossolano si può dire che due funzioni sono "asintotiche" se si "equivalgono" (approssimativamente) all'avvicinarsi ad un determinato punto come per esempio $sin(x)$ e $x$ quando si avvicinano a zero.
Se si "equivalgono" significa che $f(x)=g(x)$ che a sua volta equivale a dire $f(x)/g(x)=1$
Se si "equivalgono" significa che $f(x)=g(x)$ che a sua volta equivale a dire $f(x)/g(x)=1$
Ok, nel caso di $sinx$ si capisce che si può sostituire con $x$ perchè entrambi si avvicinano a zero similmente, ma nel caso di
$1-cosx$ come arrivo a capire che questo si avvicina a zero più o meno come $x^2/2$ ? Sono due cose abbastanza staccate.
$1-cosx$ come arrivo a capire che questo si avvicina a zero più o meno come $x^2/2$ ? Sono due cose abbastanza staccate.
Ma non devi arrivare a capire, qualcuno l'ha già capito prima di te, tu devi solo "usare" quello che altri hanno già scoperto ...
Ma se ci sono degli esercizi in cui compaiono quelle che nel libro non ci sono, se non è difficile, me lo dovrei trovare da solo.
Per esempio nell'esercizio c'è un $1-cosx^2$, se fosse stato un semplice $1-cosx$ avrei risolto facilmente.
Per esempio nell'esercizio c'è un $1-cosx^2$, se fosse stato un semplice $1-cosx$ avrei risolto facilmente.
"olegfresi":
... me lo dovrei trovare da solo. ...
Come spesso ti capita fai confusione … in questi esercizi non ti viene richiesto di trovare un "nuovo" limite notevole o una "nuova" equivalenza asintotica ma di riuscire a "usare" quelle che già esistono e la "bravura" consiste proprio nel capire come "trasformare" l'espressione che ti si presenta davanti in modo da evidenziare i limiti notevoli …
quindi quel $1-cosx^2$ dovrei farlo diventare in qualche modo un $1-cosx$ usando degli artifici algebrici.
Ma come posso fare in questo caso? Oppure posso dire che anche per $1-cosx^2$ va bene trasformare in $x^2/2$ ?
Ma come posso fare in questo caso? Oppure posso dire che anche per $1-cosx^2$ va bene trasformare in $x^2/2$ ?
Ma è il quadrato di $x$ o è il quadrato del coseno? Riguardati il testo esatto e poi facci sapere (riguardalo bene) ...
Scusate se intervengo, ma mi pare che la discussione sia viziata da un paio di errori iniziali.
$ lim_(x->0)(1-cosx^2+2sinx)/(e^(2x)-1) \ne lim_(x->0)(x^2/2+2x)/x $, perché dovrebbe essere
\( 1-cos x^2 \sim \frac {x^4} 2 \) e \( e^{2x}-1 \sim 2x \) in quanto
$ lim_(x->0) (1-cos x^2)/x^4= 1/2 $ e $ lim_(x->0) (e^(2x)-1)/x=2 $
Ciao
$ lim_(x->0)(1-cosx^2+2sinx)/(e^(2x)-1) \ne lim_(x->0)(x^2/2+2x)/x $, perché dovrebbe essere
\( 1-cos x^2 \sim \frac {x^4} 2 \) e \( e^{2x}-1 \sim 2x \) in quanto
$ lim_(x->0) (1-cos x^2)/x^4= 1/2 $ e $ lim_(x->0) (e^(2x)-1)/x=2 $
Ciao
Quindi tu interpreti quella scrittura come $x^2$ e non come $cos^2$; lo so che sarebbe un'interpretazione corretta ma vorrei avere una conferma da lui 
Se così fosse allora potrebbe andare in questo modo
$ lim_(x->0) (1-cosx^2+2sinx)/(e^(2x)-1)$
$ lim_(x->0) (2x)/(e^(2x)-1)*(1-cosx^2+2sinx)/(2x)$
$ lim_(x->0) (2x)/(e^(2x)-1)*x^4/(2x)*[(1-cosx^2)/x^4+(2sinx)/(x^4)]$
$ lim_(x->0) (2x)/(e^(2x)-1)*[x^3*(1-cosx^2)/x^4+sinx/x]=1$
Che ne dite?
Cordialmente, Alex
$ lim_(x->0) (1-cosx^2+2sinx)/(e^(2x)-1)$
$ lim_(x->0) (2x)/(e^(2x)-1)*(1-cosx^2+2sinx)/(2x)$
$ lim_(x->0) (2x)/(e^(2x)-1)*x^4/(2x)*[(1-cosx^2)/x^4+(2sinx)/(x^4)]$
$ lim_(x->0) (2x)/(e^(2x)-1)*[x^3*(1-cosx^2)/x^4+sinx/x]=1$
Che ne dite?
Cordialmente, Alex
Beh! Se fosse $ cos^2 x $ l'approssimazione asintotica iniziale sarebbe comunque sbagliata visto che $ 1-cos^2 x=sen^2 x $.
Il limite non cambierebbe.
Ciao
Il limite non cambierebbe.
Ciao
Il testo giusto è $1-cosx^2$ e non $1-cos^2x$
E quindi va bene il mio ultimo post ...
Non capiscouna cosa nell'ultimo passaggio: $x^4/(2x)$ diventa $x^3/2$, ma il due si semplifica con il $(2sinx)/x$ ma dove finisce quando si moltiplica $x^3/2$ per $(1-cosx^2)/x^4$ ?
Me lo sono perso 
ma non conta niente dato che $x^3/2$ va a zero ...
ma non conta niente dato che $x^3/2$ va a zero ...
Perfetto! Però la tua soluzione è adatta ad applicare i limiti notevoli, mentre avrei dovuto sostituire con valori asintoticamente equivalenti. Comunque mi sembra che quella che chiedo sia la risposta di orsoulx. In ogni caso grazie tante per i passaggi e le spiegazioni!
Ma sono la stessa cosa …
Si è vero, ma tu ci sei arrivato con una serie di passaggi che ho capito, mentre non ho capito come lui ci sia arrivato così.
Vedendo che orsoulx ha scritto poco, pensavo fosse immediato ricavarsi l'equivalente asintotico di una funzione.
Vedendo che orsoulx ha scritto poco, pensavo fosse immediato ricavarsi l'equivalente asintotico di una funzione.
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