Limite
Ho difficoltà a risolvere questo limite. $ lim_(x -> -oo) (x^4)^(e^(-3x)) $ . Non so proprio come procedere. Non vedo nessun limite notevole a cui ricondurmi. Ho letto in questo forum che $f(x)=e^ln[f(x)]$ ma ancora in classe non abbiamo mai usato tale procedimento anche se mi sembra l'unico modo per levare la x almeno dalla base cosi da averla solo all'esponente.
Ogni tipo di suggerimento sarebbe molto gradito. Buona domenica a tutti
Ogni tipo di suggerimento sarebbe molto gradito. Buona domenica a tutti
Risposte
Se fai la sostituzione $t=f(x)$, poi devi sostituire tutte le $x$ con $x=f^{-1}(t)$. Quindi non potrai più avere due variabili in gioco, ma sempre una, ora la $t$, e cambiare tutto di conseguenza
Il mio ragionamento è stato un po' diverso da quello di Raptorista, in quanto ho applicato il teorema "A meno che sia una forma indeterminata, il limite di una potenza è uguale al limite della base elevato al limite dell'esponente". Non l'ho mai trovato enunciato esplicitamente, ma si dimostra facilmente con i logaritmi e viene abitualmente usato (Raptorista, non l'hai per caso usato anche tu negli ultimi passaggi, quelli non postati?). Con questo teorema non ci sono problemi perché la sostituzione viene fatta solo nel calcolo del limite della base (con questo termine intendo quello che avevo messo nella parentesi quadra).
"giammaria":
Il mio ragionamento è stato un po' diverso da quello di Raptorista, in quanto ho applicato il teorema "A meno che sia una forma indeterminata, il limite di una potenza è uguale al limite della base elevato al limite dell'esponente". Non l'ho mai trovato enunciato esplicitamente, ma si dimostra facilmente con i logaritmi e viene abitualmente usato (Raptorista, non l'hai per caso usato anche tu negli ultimi passaggi, quelli non postati?). Con questo teorema non ci sono problemi perché la sostituzione viene fatta solo nel calcolo del limite della base (con questo termine intendo quello che avevo messo nella parentesi quadra).
Sì, il teorema è valido perché se ho $f(x)^{g(x)}$ lo posso sempre scrivere come $e^{g(x) \cdot \ln f(x)}$ e quindi ricondurlo al prodotto di limiti.
È anche il naturale completamento dei miei passaggi.
"Raptorista":
Se fai la sostituzione $t=f(x)$, poi devi sostituire tutte le $x$ con $x=f^{-1}(t)$. Quindi non potrai più avere due variabili in gioco, ma sempre una, ora la $t$, e cambiare tutto di conseguenza
In sostanza mi stai dicendo che devo scambiare le variabili? Cioè se $f(x)=t -> (1-x)/(x^2+x)=1/t$, $x=f^(-1)(t) -> 1/x=(1-t)/(t^2+t)$?
No, di sicuro Raptorista non intendeva questo, ma voleva dire che da $t=f(x)$ devi ricavare x e sostituirlo ovunque. Questo se lasci un unico limite; io l'ho spezzato in due. Ripartiamo da quello che avevo scritto e su cui non dovresti avere dubbi, cioè
$=lim_(x->oo)[(1+(1-x)/(x+x^2))^((x+x^2)/(1-x))]^(2x*(1-x)/(x+x^2))$
Applichiamo ora quel teorema; indico con $a$ il limite della base e con $b$ il limite dell'esponente; uso la tua stessa $t$. Si ha
$a=lim_(x->oo)(1+(1-x)/(x+x^2))^((x+x^2)/(1-x))=lim_(t->oo)(1+1/t)^t=e$
$b=lim_(x->oo)2x*(1-x)/(x+x^2)=lim_(x->oo)(2x-2x^2)/(x+x^2)=-2$
quindi il limite richiesto vale $e^(-2)$.
$=lim_(x->oo)[(1+(1-x)/(x+x^2))^((x+x^2)/(1-x))]^(2x*(1-x)/(x+x^2))$
Applichiamo ora quel teorema; indico con $a$ il limite della base e con $b$ il limite dell'esponente; uso la tua stessa $t$. Si ha
$a=lim_(x->oo)(1+(1-x)/(x+x^2))^((x+x^2)/(1-x))=lim_(t->oo)(1+1/t)^t=e$
$b=lim_(x->oo)2x*(1-x)/(x+x^2)=lim_(x->oo)(2x-2x^2)/(x+x^2)=-2$
quindi il limite richiesto vale $e^(-2)$.
Chiarissimo, grazie! Non ero a conoscenza del teorema da te citato.
La mia perplessità, emersa completamente in seguito al consiglio di Raptorista, consisteva appunto nello scrivere l'esponente in funzione di $t$. Ottenevo che se $1/t=(1-x)/(x+x^2) -> t=(x+x^2)/(1-x)$ da cui $x=(t-x^2)/(t+1)$, espressione in cui permane però ancora un termine in $x$. Per questo ho preso l'abbaglio dello scambio di variabili.
La mia perplessità, emersa completamente in seguito al consiglio di Raptorista, consisteva appunto nello scrivere l'esponente in funzione di $t$. Ottenevo che se $1/t=(1-x)/(x+x^2) -> t=(x+x^2)/(1-x)$ da cui $x=(t-x^2)/(t+1)$, espressione in cui permane però ancora un termine in $x$. Per questo ho preso l'abbaglio dello scambio di variabili.
Mi fa piacere che tu abbia capito. Comunque se tu avessi veramente voluto seguire il suggerimento di Raptorista (che sarebbe stato il primo a sconsigliartelo) i calcoli sarebbero stati questi:
$x+x^2=t-tx->x^2+x(1+t)-t=0->x=...$
Risparmiami la scrittura della formula risolvente. Il suo secondo membro sarebbe stato la funzione inversa, indicata con la formula $f^(-1)(t)$; la presenza del $+-$ dice però che ci sono due funzioni inverse.
$x+x^2=t-tx->x^2+x(1+t)-t=0->x=...$
Risparmiami la scrittura della formula risolvente. Il suo secondo membro sarebbe stato la funzione inversa, indicata con la formula $f^(-1)(t)$; la presenza del $+-$ dice però che ci sono due funzioni inverse.
"giammaria":
Comunque se tu avessi veramente voluto seguire il suggerimento di Raptorista (che sarebbe stato il primo a sconsigliartelo)
Non sono sicuro di aver capito il significato di questa frase. Comunque, la sostituzione scelta da Delirium era davvero scomoda; molto meglio il trucchetto del moltiplicare/dividere.
"Raptorista":
[quote="giammaria"]Comunque se tu avessi veramente voluto seguire il suggerimento di Raptorista (che sarebbe stato il primo a sconsigliartelo)
Non sono sicuro di aver capito il significato di questa frase. Comunque, la sostituzione scelta da Delirium era davvero scomoda; molto meglio il trucchetto del moltiplicare/dividere.[/quote]
Si, decisamente. Grazie a tutti e due per avermi illuminato!
"Raptorista":Significava: Anche se Raptorista ha scritto "se fai la sostituzione $t=f(x)$, poi devi sostituire tutte le $x$ con $x=f^(-1)(t)$", non intendeva suggerire di farlo con quella particolare e scomoda sostituzione.
Non sono sicuro di aver capito il significato di questa frase.
Mi scuso per l'oscurità della frase e ringrazio per la lode al mio trucchetto.
Mi rincresce di non aver detto subito a Delirium che aveva equivocato sul significato di $f^(-1)(t)$ e colgo l'occasione per farlo ora: non significa $1/(f(t))$ ma indica la funzione inversa di $f(x)$.
Ok, ok, non c'è problema e non è necessario che ti scusi: capita di equivocare, soprattutto in rete!
Riprendo questa vecchia discussione per chiedervi se ho svolto correttamente questo limite:
$ lim_(x -> 1) 1/(1-2^((x-1)/x)) $
Ho distinto i due casi $ lim_(x -> 1^-) 1/(1-2^((x-1)/x)) $ e $ lim_(x -> 1^+) 1/(1-2^((x-1)/x)) $. In realtà, dovendo studiare la discontinuità in $x=1$ della funzione $f(x)=1/(1-2^((x-1)/x))$, l'esercizio sarebbe finito essendoci in quel puntò una dicontinuità di seconda specie ma mi incuriosisce vedere come ci comporta la funzione a destra e a sinistra di $x=1$.
Non sono sicuro su questo passaggio: per dividere i due casi ho posto il denominatore $1-2^((x-1)/x)>0$ e la soluzione di tale disequazione è $0
PS. Buona domenica a tutti!
$ lim_(x -> 1) 1/(1-2^((x-1)/x)) $
Ho distinto i due casi $ lim_(x -> 1^-) 1/(1-2^((x-1)/x)) $ e $ lim_(x -> 1^+) 1/(1-2^((x-1)/x)) $. In realtà, dovendo studiare la discontinuità in $x=1$ della funzione $f(x)=1/(1-2^((x-1)/x))$, l'esercizio sarebbe finito essendoci in quel puntò una dicontinuità di seconda specie ma mi incuriosisce vedere come ci comporta la funzione a destra e a sinistra di $x=1$.
Non sono sicuro su questo passaggio: per dividere i due casi ho posto il denominatore $1-2^((x-1)/x)>0$ e la soluzione di tale disequazione è $0
PS. Buona domenica a tutti!
Il ragionamento è corretto e anche i limiti finali.
P.S. Ho aggiunto un paio di parentesi perché $1/(0^-)=-oo$ si leggeva $1/0^-=-oo$
P.S. Ho aggiunto un paio di parentesi perché $1/(0^-)=-oo$ si leggeva $1/0^-=-oo$
Perfetto! Grazie mille
Mi ha incuriosito il post di Lorin nel topic di quell'utente (se cosi possiamo chiamarlo...) che chiedeva della dimostrazione che $ lim_(x -> oo) (1+1/x)^x=e $. Lorin diceva appunto che tale dimostrazione non è cosi difficile anche se noi siamo al liceo e quindi ora non vedo l'ora di leggerla . Però non riesco a trovarla, avete un link?
. Però non riesco a trovarla, avete un link?
Non è una dimostrazione , cioè non si dimostra che $lim_(n rarr +oo ) (1+1/n ) ^ n = e $ ma piuttosto una definizione . Si definisce $ e $ come il limite di quella successione dopo aver dimostrato che la successione è monotona crescente e limitata.
Si può dimostrare che $2 =<(1+1/n ) ^n < 3 , AA n in NN $ .
Si può dimostrare che $2 =<(1+1/n ) ^n < 3 , AA n in NN $ .
"Albert Wesker 27":
Mi ha incuriosito il post di Lorin nel topic di quell'utente (se cosi possiamo chiamarlo...) che chiedeva della dimostrazione che $ lim_(x -> oo) (1+1/x)^x=e $. Lorin diceva appunto che tale dimostrazione non è cosi difficile anche se noi siamo al liceo e quindi ora non vedo l'ora di leggerla
Sul mio libro di testo del liceo è riportata; se ti interessa la posto (abbi pazienza perché è un po' lunga).
Se vuoi affrontare l'argomento, fossi in te, comincerei prima di ogni cosa a prendere dimestichezza con il Teorema di Newton e con i coefficienti binomiali.
Il resto è veramente semplice.
Il resto è veramente semplice.
@ Delirium: Grazie, sarebbe molto gradito
@ Seneca: mi informo subito! Wiki è ok per quelle cose?
@ Seneca: mi informo subito! Wiki è ok per quelle cose?
Allora:
Consideriamo la successione $a_n=(1+1/n)^n$ con $n in NN_0$ e dimostriamo che essa è crescente e limitata superiormente; pertanto, per il teorema delle successioni monotòne, è convergente.
Secondo la formula del binomio di Newton avremo che: $(1+1/n)^n=((n),(0))+((n),(1))1/n+((n),(2))1/n^2+...+((n),(k))1/n^k+...+((n),(n))1/n^n=1+1+(n(n-1))/(2!)*1/n^2+(n(n-1)(n-2))/(3!)*1/n^3+...+(n(n-1)...(n-k+1))/(k!)*1/n^k+...+(n(n-1)(n-2)...(n-n+1))/(n!)*1/n^n$
Ora, si può scrivere: $(n(n-1))/n^2=1-1/n$, $(n(n-1)(n-2))/n^3=(1-1/n)(1-2/n)$, $(n(n-1)...(n-k+1))/n^k=(1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n)$, $(n(n-1)...(n-n+1))/n^n=(1-1/n)(1-2/n)...(1-(n-1)/n)$
Pertanto si ha: $(1+1/n)^n=2+1/(2!)(1-1/n)+1/(3!)(1-1/n)(1-2/n)+...+1/(n!)(1-1/n)...(1-(n-1)/n)$. Osserviamo che, al crescere di $n$, il secondo membro cresce per due motivi: ogni termine della somma cresce, a eccezione del primo, che resta inalterato, e inoltre aumenta il numero degli addendi, che sono tutti positivi. Perciò: $(1+1/n)^n<(1+1/(n+1))^(n+1)$ e la successione è crescente; pertanto per il teorema delle successioni monotòne esiste il limite di $(1+1/n)^n$ per $n->+oo$, che potrebbe essere tuttavia $+oo$.
Osserviamo, però, che per $n>1$ si ottiene: $2<(1+1/n)^n<2+1/(2!)+1/(3!)+...+1/(n!)$ poiché i fattori: $1-1/n$; $1-2/n$; $1-3/n$; ...; $1-(n-1)/n$ sono tutti minori di 1.
Inoltre, poiché: $(3!)=3*2>2^2$; $(4!)=4*3*2>2^3$; ...; $n!>2^(n-1)$, si avrà: $2<(1+1/n)^n<2+1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n-1)$. Poiché quest'ultima è la somma dei termini di una progressione geometrica di ragione $q=1/2<1$, ed è, quindi, uguale a: $(1/2)*(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)=1-(1/2)^(n-1)$; perciò si otterrà: $2<(1+1/n)^n<3-(1/2)^(n-1)<3$.
Dunque $(1+1/n)^n$ è sempre compreso tra 2 e 3; possiamo perciò concludere che anche il suo estremo superiore è compreso tra 2 e 3 e quindi, sempre per il teorema delle successioni monotòne, che il limite di tale successione esiste, è finito e compreso tra 2 e 3. Tale limite viene indicato con la lettera $e$.
Spero di non aver fatto errori.
Consideriamo la successione $a_n=(1+1/n)^n$ con $n in NN_0$ e dimostriamo che essa è crescente e limitata superiormente; pertanto, per il teorema delle successioni monotòne, è convergente.
Secondo la formula del binomio di Newton avremo che: $(1+1/n)^n=((n),(0))+((n),(1))1/n+((n),(2))1/n^2+...+((n),(k))1/n^k+...+((n),(n))1/n^n=1+1+(n(n-1))/(2!)*1/n^2+(n(n-1)(n-2))/(3!)*1/n^3+...+(n(n-1)...(n-k+1))/(k!)*1/n^k+...+(n(n-1)(n-2)...(n-n+1))/(n!)*1/n^n$
Ora, si può scrivere: $(n(n-1))/n^2=1-1/n$, $(n(n-1)(n-2))/n^3=(1-1/n)(1-2/n)$, $(n(n-1)...(n-k+1))/n^k=(1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n)$, $(n(n-1)...(n-n+1))/n^n=(1-1/n)(1-2/n)...(1-(n-1)/n)$
Pertanto si ha: $(1+1/n)^n=2+1/(2!)(1-1/n)+1/(3!)(1-1/n)(1-2/n)+...+1/(n!)(1-1/n)...(1-(n-1)/n)$. Osserviamo che, al crescere di $n$, il secondo membro cresce per due motivi: ogni termine della somma cresce, a eccezione del primo, che resta inalterato, e inoltre aumenta il numero degli addendi, che sono tutti positivi. Perciò: $(1+1/n)^n<(1+1/(n+1))^(n+1)$ e la successione è crescente; pertanto per il teorema delle successioni monotòne esiste il limite di $(1+1/n)^n$ per $n->+oo$, che potrebbe essere tuttavia $+oo$.
Osserviamo, però, che per $n>1$ si ottiene: $2<(1+1/n)^n<2+1/(2!)+1/(3!)+...+1/(n!)$ poiché i fattori: $1-1/n$; $1-2/n$; $1-3/n$; ...; $1-(n-1)/n$ sono tutti minori di 1.
Inoltre, poiché: $(3!)=3*2>2^2$; $(4!)=4*3*2>2^3$; ...; $n!>2^(n-1)$, si avrà: $2<(1+1/n)^n<2+1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n-1)$. Poiché quest'ultima è la somma dei termini di una progressione geometrica di ragione $q=1/2<1$, ed è, quindi, uguale a: $(1/2)*(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)=1-(1/2)^(n-1)$; perciò si otterrà: $2<(1+1/n)^n<3-(1/2)^(n-1)<3$.
Dunque $(1+1/n)^n$ è sempre compreso tra 2 e 3; possiamo perciò concludere che anche il suo estremo superiore è compreso tra 2 e 3 e quindi, sempre per il teorema delle successioni monotòne, che il limite di tale successione esiste, è finito e compreso tra 2 e 3. Tale limite viene indicato con la lettera $e$.
Spero di non aver fatto errori.
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