Limite
Ho difficoltà a risolvere questo limite. $ lim_(x -> -oo) (x^4)^(e^(-3x)) $ . Non so proprio come procedere. Non vedo nessun limite notevole a cui ricondurmi. Ho letto in questo forum che $f(x)=e^ln[f(x)]$ ma ancora in classe non abbiamo mai usato tale procedimento anche se mi sembra l'unico modo per levare la x almeno dalla base cosi da averla solo all'esponente.
Ogni tipo di suggerimento sarebbe molto gradito. Buona domenica a tutti
Ogni tipo di suggerimento sarebbe molto gradito. Buona domenica a tutti
Risposte
"cenzo":
[quote="Seneca"][tex]\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{k}{x-x_0}=\left[ \frac{k}{\infty} \right]=...?[/tex]
Cosa significa questa scrittura?
Penso volesse dire questo (ha scambiato il denominatore col risultato):
[tex]\displaystyle \lim_{x \to x_0^{\pm}} \frac{k}{x-x_0}=\left[ \frac{k}{0^{\pm}} \right]=\pm\infty \ \ (k>0)[/tex][/quote]
Caspita, ha ragione cenzo!
Scusatemi, correggo subito
Riprendo la discussione per due dubbi che ho:
$ lim_(x -> oo) (e^(-x)+2e^x)/(e^(-x)+3e^x) $ . Vanno distinti i due casi per x che tende a meno infinito e x che tende a più infinito. In qualche modo arrivo anche al risultato ma la mia domanda è la seguente: come giustifico rigorosamente i passaggi che faccio? Quando, ad esempio x tende a più infinito, $e^(-x)$ tende a 0 e quindi rimangono i termini con $e^x$. Essendo infiniti dello stesso ordine il risultato darà $2/3$ ma non so bene come formalizzare tali passaggi.
$ lim_(x -> oo) (e^(-x)+2e^x)/(e^(-x)+3e^x) $ . Vanno distinti i due casi per x che tende a meno infinito e x che tende a più infinito. In qualche modo arrivo anche al risultato ma la mia domanda è la seguente: come giustifico rigorosamente i passaggi che faccio? Quando, ad esempio x tende a più infinito, $e^(-x)$ tende a 0 e quindi rimangono i termini con $e^x$. Essendo infiniti dello stesso ordine il risultato darà $2/3$ ma non so bene come formalizzare tali passaggi.
"Albert Wesker 27":
Riprendo la discussione per due dubbi che ho:
$ lim_(x -> oo) (e^(-x)+2e^x)/(e^(-x)+3e^x) $ . Vanno distinti i due casi per x che tende a meno infinito e x che tende a più infinito. In qualche modo arrivo anche al risultato ma la mia domanda è la seguente: come giustifico rigorosamente i passaggi che faccio? Quando, ad esempio x tende a più infinito, $e^(-x)$ tende a 0 e quindi rimangono i termini con $e^x$. Essendo infiniti dello stesso ordine il risultato darà $2/3$ ma non so bene come formalizzare tali passaggi.
È molto più semplice di quanto pensi: raccoglimento a fattore comune!
$ lim_(x -> oo) (e^(-x)+2e^x)/(e^(-x)+3e^x) = lim_(x -> oo) ((e^x)(e^(-2x)+2))/((e^x)(e^(-2x)+3))= lim_(x -> oo) (e^(-2x)+2)/(e^(-2x)+3) $ ed ora posso distinguere i due casi $ xrarr +oo $ $ xrarr -oo $ . Grazie mille Non sopporto di scrivere le cose in maniera formalmente sbagliata!
Non sopporto di scrivere le cose in maniera formalmente sbagliata!
De nada, un dubbio legittimo e molto apprezzato 
Riprendo ancora il topic per l'ennesimo dubbio che ho!
Questa volta tocca a $ lim_(x -> oo) ((1+x^2)/(x+x^2))^(2x) $ . Provo a ricondurmi al limite notevole $ lim_(x -> oo) (1+1/x)^x=e $. Per farlo raccolgo sia a numeratore che a denominatore $x^2$ ed il limite diventa: $ lim_(x -> oo) (1+1/x^2)^(2x)/(1+1/x)^(2x) $. A questo punto il denominatore è già condotto a forma notevole, ma non riesco a risolvere il numeratore. Consigli? Grazie
Questa volta tocca a $ lim_(x -> oo) ((1+x^2)/(x+x^2))^(2x) $ . Provo a ricondurmi al limite notevole $ lim_(x -> oo) (1+1/x)^x=e $. Per farlo raccolgo sia a numeratore che a denominatore $x^2$ ed il limite diventa: $ lim_(x -> oo) (1+1/x^2)^(2x)/(1+1/x)^(2x) $. A questo punto il denominatore è già condotto a forma notevole, ma non riesco a risolvere il numeratore. Consigli? Grazie
Due indizi:
1) $\frac{x^2}{x^2}=1, \forall x \ne 0$
2) $x \cdot 1 = x, \forall x \in R$
Buon lavoro
1) $\frac{x^2}{x^2}=1, \forall x \ne 0$
2) $x \cdot 1 = x, \forall x \in R$
Buon lavoro
Mi piace questa cosa degli indizi 
, però non riesco ad andare avanti! 
, però non riesco ad andare avanti!
Ultimo indizio: se non ce la fai, penalità
$2x = 2x \cdot \frac{x}{x}$
$2x = 2x \cdot \frac{x}{x}$
Posso forse addurre a mia discolpa il fatto che non abbia mai visto un limite del genere e che ho provato a farlo solo perchè, finiti gli altri esercizi, mi andava di provarne altri Però davvero non riesco più a metterci le mani; nonostante i tuoi indizi, qualunque considerazione faccia, non riesco ad arrivare a niente di interessante!
Però davvero non riesco più a metterci le mani; nonostante i tuoi indizi, qualunque considerazione faccia, non riesco ad arrivare a niente di interessante!
Ci provo: potrebbe andare bene questo indizio? $2x=x^2*2/x$
Gli indizi di Raptorista sono oscuri anche per me; evidentemente lui vede una soluzione preclusa a noi poveri mortali. La mia soluzione è questa:
$=lim_(x->oo)[(1+(1-x)/(x+x^2))^((x+x^2)/(1-x))]^(2x*(1-x)/(x+x^2))=e^(-2)$
dove l'ultima eguaglianza deriva dal fatto che la quadra tende ad $e$ e il suo esponente a $-2$
$=lim_(x->oo)[(1+(1-x)/(x+x^2))^((x+x^2)/(1-x))]^(2x*(1-x)/(x+x^2))=e^(-2)$
dove l'ultima eguaglianza deriva dal fatto che la quadra tende ad $e$ e il suo esponente a $-2$
Sarà l'ora ma non capisco troppo bene come tu sia arrivato lì! Domani ci studierò un pò dietro
Allora: solo perché ti ho già visto scrivere buoni post e solo perché sono stanco e mi sento buono 
Do per scontato che il denominatore tenda ad $e^2$.
[abuso di notazione: ON]
$(1+\frac{1}{x^2})^{2x} = (1+\frac{1}{x^2})^{2x \cdot \frac{x}{x}} = (1+\frac{1}{x^2})^{x^2 \cdot \frac{2}{x}}$
Quindi il tuo limite si riduce a
$1/{e^2} \cdot \lim_{x \to +\infty} (1+\frac{1}{x^2})^{x^2 \cdot \frac{2}{x}}$
Da qui finisci da solo, altrimenti aspetta
Buona notte!
Do per scontato che il denominatore tenda ad $e^2$.
[abuso di notazione: ON]
$(1+\frac{1}{x^2})^{2x} = (1+\frac{1}{x^2})^{2x \cdot \frac{x}{x}} = (1+\frac{1}{x^2})^{x^2 \cdot \frac{2}{x}}$
Quindi il tuo limite si riduce a
$1/{e^2} \cdot \lim_{x \to +\infty} (1+\frac{1}{x^2})^{x^2 \cdot \frac{2}{x}}$
Da qui finisci da solo, altrimenti aspetta
Buona notte!
"giammaria":
Gli indizi di Raptorista sono oscuri anche per me; evidentemente lui vede una soluzione preclusa a noi poveri mortali.
Questa dovrebbe essere ironia?
"giammaria":
La mia soluzione è questa
Questo non si fa.
Non era ironia, ma semplice riconoscimento di incapacità. Cos'è che non si fa? Ho sbagliato nel risolvere o non dovevo mandare soluzioni? Comunque leggerò la tua risposta domani; ora vado a dormire.
Ringrazio entrambi. Non avevo mai visto un procedimento del genere (considerare l'uno in quel modo) e non ci sarei arrivato probabilmente... Ancora un grosso grazie per avermi levato questo dubbio!
PS. Buongiorno a tutti!
PS. Buongiorno a tutti!
"giammaria":
Cos'è che non si fa? Ho sbagliato nel risolvere o non dovevo mandare soluzioni?
La soluzione l'ho guardata velocemente e mi sembrava giusta: l 'errore è di dare la soluzione pronta a chi chiede aiuto. Avrei potuto farlo pure io, ma è molto meglio cercare di far spremere le meningi agli utenti, così imparano di più!
Se guardi i miei passati interventi noti che di solito cerco di far trovare le soluzioni a chi le chiede; faccio però presente che anche un esercizio svolto ha valore didattico. In questo caso, mi pareva che Albert Wesker 27 si fosse spremuto abbastanza le meningi (ha trovato più di metà della risposta) e che non si potesse dare aiuto se non con l'intero svolgimento. L'ultima affermazione trova una dimostrazione sperimentale proprio qui: non ho capito i tuoi indizi finché non hai mandato tutti i calcoli, e allora ho esclamato "Ma quella soluzione l'avevo vista anch'io!".
Comunque in futuro farò attenzione; se non vedo altre possibilità posterò la soluzione di un esercizio simile ma non uguale a quello in questione; spero che così vada bene.
Comunque in futuro farò attenzione; se non vedo altre possibilità posterò la soluzione di un esercizio simile ma non uguale a quello in questione; spero che così vada bene.
Una piccola intromissione: ho provato anche io a risolvere quest'ultimo limite proposto da Albert Wesker 27 ma, giunto oramai al termine, mi sono impantanato in un passaggio (forse, domando a voi, illegittimo). Ecco il mio ragionamento:
$lim_(x->oo)((1+x^2)/(x+x^2))^(2x)=lim_(x->oo)(1+(1-x)/(x+x^2))^(2x)$; il tal punto ho preso il partito di porre $(1-x)/(x+x^2)=1/t$, con $t->oo$. Perciò, dopo questa sostituzione, si avrebbe $lim_(x->oo)(1+1/t)^(2x)$; il mio problema sorge ora, nel momento in cui devo scrivere l'esponente mediante l'utilizzo della nuova variabile $t$.
Chiedo venia per le eventuali bestiate insite nel mio post.
$lim_(x->oo)((1+x^2)/(x+x^2))^(2x)=lim_(x->oo)(1+(1-x)/(x+x^2))^(2x)$; il tal punto ho preso il partito di porre $(1-x)/(x+x^2)=1/t$, con $t->oo$. Perciò, dopo questa sostituzione, si avrebbe $lim_(x->oo)(1+1/t)^(2x)$; il mio problema sorge ora, nel momento in cui devo scrivere l'esponente mediante l'utilizzo della nuova variabile $t$.
Chiedo venia per le eventuali bestiate insite nel mio post.
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