Libro o professore?

[kioccolatino90]

Buona sera a tutti mentre stavo cercando di risolvere una disequazione irrazionale, mi è venuto un dubbio e sfogliando il libro e il quaderno con gli appunti del professore mi sono reso conto che essi riportano uno lo svoglimento opposto dell'altro, precisamente:

il libro dice che le disequazioni del tipo: $C(x)>root(n)(D(x))$ e $C(x)
la prima disequazione ( $C(x)>root(n)(D(x))$) è equivalente al sistema: ${(D(x)>=0),(C(x)>0),([C(x)]^n>D(x)):}$

mentre la seconda ($C(x)=0):} uu {(C(x)>=0),([C(x)]^n>D(x)):}$

il prof i nvece dice tutto il contrario:$C(x)>root(n)(D(x))$ e $C(x)
la prima disequazione ( $C(x)>root(n)(D(x))$) è equivalente ai due sistemi: $ {(C(x)<0),(D(x)>=0):} uu {(C(x)>=0),([C(x)]^n>D(x)):}$

mentre la seconda ($C(x)=0),(C(x)>0),([C(x)]^n>D(x)):}$

io non so chi dice il vero e chi il falso, io seguirei il professore, voi cosa dite è giusto???

[Steven11]

Ho chiuso l'altro topic in "Il nostro forum", quella sezione non è attinente.

Comunque ha ragione chiaramente il libro, nel tuo caso.
Sicuramente il prof ha invertito i due casi per disattenzione.

Lo vedi chiaramente perché la prima disequazione
[tex]$C(x)> \sqrt[n]{D(x)}$[/tex]
non è assolutamente soddisfatta se [tex]$C(x)<0$[/tex] e [tex]$D(x)\ge0$[/tex]
quindi quanto asserito dal tuo prof non può essere vero.

Ciao.

[giammaria2]

Ragioniamo: il secondo membro è sempre positivo, quindi se il primo gli è maggiore, questo primo membro deve per forza essere positivo ed è assurdo considerare il caso in cui è negativo. Ha quindi ragione il libro; mi sembra assurdo che un professore faccia errori simili e penso ad un errore di chi ha preso gli appunti.

[redlex91-votailprof]

Beh ma la risposta te la dà la tua testa.

Se $\root(n)(D(x))>C(x)$, $n$ pari, allora:
-$D(x)>=0$ di sicuro perché è la condizione di esistenza;
-$C(x)$ sarà maggiore o minore di $0$? Non possiamo saperlo, allora dobbiamo considerare entrambe i casi, per $C(x)>=0$ o per $C(x)<0$, quindi l'unione dei due sistemi. Se nel primo sistema consideriamo $C(x)>=0$ allora abbiamo sia a primo membro che a secondo membro delle quantità positive, dunque eleviamo. Nel secondo considereremo invece $C(x)<0$ ($C(x)$ assume valori negativi come $-3,-sqrt(2),-pi,...$) e allora $\root(n)(D(x))$, che è un valore sicuramente positivo, sarà maggiore di $C(x)$ per ogni $x\in RR$ (ovvio no?).
${(D(x)>=0),(C(x)>=0),(D(x)>(C(x))^n):}\vv{(D(x)>=0),(C(x)<0),(\root(n)(D(x))>C(x)\implies\forall x\in RR):}$


Se $\root(n)(D(x)) -$D(x)>=0$ è il dominio quindi non ci piove;
-$C(x)$ sarà maggiore o minore di $0$? Ha senso scrivere che $C(x)$, quantità negativa, è maggiore di $\root(n)(D(x))$, quantità positiva? No, allora questo caso assurdo non lo consideriamo. Ci preoccuperemo invece di vedere quando $\root(n)(D(x))$, quantità positiva, è minore di $C(x)$, quantità positiva.
${(D(x)>=0),(C(x)>=0),(D(x)<(C(x))^n):}$

[kioccolatino90]

non so se è stato un errore mio o del professore, magari mi confronto con qualche amico e vedo...

venendo al topic e a qualche esercizio, ad esempio io ho: $sqrt(6x-x^2)<3-2x$ in questo caso devo fare l'unione dei due sistemi....

[giammaria2]

Ragiona!!! $3-2x$ è maggiore di un numero positivo o nullo, quindi deve essere positivo, e questa è la tua prima condizione. La radice deve esistere, quindi $6x-x^2>=0$, seconda condizione. Con queste due condizioni, tutto è positivo ed è lecito elevare a quadrato, ottenendo $6x-x^2<(3-2x)^2$, terza condizione. Devi quindi mettere a sistema la tre condizioni.
Penso che ti abbia confuso il fatto che nel primo intervento hai messo la radice a secondo membro, mentre qui è al primo. Le regole a memoria e senza ragionare sono sempre condannabili, ma se proprio ne vuoi una, allora è "se la radice è dalla parte del minore, si fa il sistema di intersezione fra tre condizioni; se è dalla parte del maggiore si fa l'unione di due sistemi". Non ha nessuna importanza che sia al primo membro o al secondo.

[redlex91-votailprof]

Provo a farti qualche esempio, ma comunque come dice giammaria imparare a memoria non è la via (almeno per me che ho una pessima memoria ).

$\sqrt(x^2-4)-2x+1>4-x$

Prima di tutto il dominio (condizione di esistenza, condizione di realtà o qualunque altro nome abbia) della radice quadrata:
$x^2-4>=0\implies x<=-2 vv x>=2$
Ora andiamo a "isolare" la radice:
$sqrt(x^2-4)>x+3$
$x+3$ deve essere strettamente minore di $sqrt(x^2-4)$ pertanto:
-o è una quantità positiva ed allora possiamo elevare;
-o è una quantità negativa ed allora la disequazione è sempre verificata.
Riscriviamo l'affare in simboli e procediamo con la risoluzione:
${(x<=-2 vv x>=2\text{*}),(x+3>=0\implies x>= -3),(x^2-4>x^2+6x+9):}vv{(x<=-2 vv x>=2),(x+3<0\impliesx<-3),(\forall x\in RR):}
Il primo sistema ammette come soluzioni l'intervallo $-3<=x<-13/6$, il secondo ha come soluzioni l'intervallo $x<-3$; unendo i due intervalli otteniamo che l'insieme delle soluzioni della disequazione è $S={x|x\in RR, x<-13/6}$.
*questa condizione non è necessaria perché implicita nella terza equazione, infatti $x^2-4>(x+3)^2>=0$

$x>\sqrt(x^2+2x-3)$

Dominio della radice: $x^2+2x-3>=0\implies(x+3)(x-1)>=0\impliesx<=-3 vv x>=1
Ora diamo un'occhiata alla situazione: abbiamo che $x$ deve essere strettamente maggiore di $\sqrt(x^2+2x-3)$, quindi, dato che $\sqrt(x^2+2x-3)$ è positivo, $x$ non può che essere anch'esso positivo (se fosse $x<0$, $x$ potrebbe essere maggiore di $sqrt(x^2+2x-3)$?). Possiamo dunque elevare al quadrato entrambe i membri.
"Trascriviamo" in simboli il ragionamento:
${(dom),(x>=0),(x^2>x^2+2x-3\implies2x<3\impliesx<3/2):}
La disequazione ha pertanto come soluzioni gli elementi dell'insieme $S={x|x\in RR,1<=x<3/2}$.

Sapresti risolvere la seguente?

$sqrt(x-1)<-|x+2|

[kioccolatino90]

quindi il prof non ha sbagliato perchè mentre il libro porta la radice quadrata al secondo membro, il prof la porta al primo...

allora la disequazione: $sqrt(x-1)<-|x+2|$ si ha il dominio è: $D:{(x-1>=0),(x+2>=0):} rarr {(x>=1),(x>=-2):}$ $rArr$ $x>1$
risoluzione
${(x-1>=0),(|x+2|>=0),((sqrt(x-1))^2<(-|x+2|)^2):} rarr {(x>=1),(AA x in RR),((x-1)<(-|x+2|)^2):}$ ora il quadrto di un valore assoluto non so come si fa...

[redlex91-votailprof]

Il dominio è solo:

$x-1>=0\implies x>=1$

il valore assoluto è infatti definito su tutto $RR$, cioè puoi fare il valore assoluto di un qualunque numero reale.

Per quanto riguarda la risoluzione, prova a leggere ciò che ti ho scritto:

$sqrt(x-1)<-|x+2|$

ossia $sqrt(x-1)$ (quantità positiva) è minore di $-|x+2|$ (quantità positiva cambiata di segno $\implies$ quantità negativa), pertanto...

[kioccolatino90]

cioè il dominio del valore assoluto è $AA x in RR$ qualunque sia l'argomento del valore assoluto?

quindi l'esercizio è: quantità positiva $<$ di quantità negativa? $rarr$ $mai$ $\nexists x in RR$

[redlex91-votailprof]

L'argomento di un valore assoluto potrebbe non essere definito su tutto $RR$, vedi ad esempio:

$f(x)=|x/(x+1)|$

$dom_(f)=??$

La disequazione non ammette soluzioni; le altre risoluzioni andavano bene?

[kioccolatino90]

non ho capito, il dominio esiste se è positivo o nullo quindi per calcolare il dominio si deve imporre l'argomento maggiore o uguale a zero....
ora nel tuo esercizio il dominio non è $x<=-1 uuu x>=0$?

[redlex91-votailprof]

Il dominio di una funzione è l'insieme di tutti quei valori per cui è possibile calcolare l'immagine, siamo d'accordo?
Poiché possiamo fare il valore assoluto di qualunque numero reale, allora il dominio della funzione valore assoluto (stiamo parlando di quella elementare $f(a)=|a|$) è tutto $RR$. Ma se al posto di $a$ abbiamo $x/(x+1)$ dobbiamo escludere i valori che annullano il denominatore pertanto il dominio di $f(x)=|x/(x+1)|$ è $RR-{-1}$.

[kioccolatino90]

si però se al numeratore c'era un trinimio allora anche al numeratore si dovevano escludere i valori...

[redlex91-votailprof]

Fammi un esempio

[kioccolatino90]

boh non saprei: $|(x^2-2x+1)/(16x^2-8x+1)|$????

[redlex91-votailprof]

Allora $16x^2-8x+1ne0\implies (4x-1)^2ne0\implies x ne 1/4$ Quindi $dom_(f)=RR-{1/4}$. Il numeratore non dà problemi di esistenza, è il denominatore che non può annullarsi.

[kioccolatino90]

ammettiamo che non c'era il denominatore....

[redlex91-votailprof]

Ammettiamo che non ci siano denominatore, tangenti, logaritmi, radicali, etc. etc. e che sia una roba tipo:
$f(x)=|x^4-5x|$ allora il dominio è tutto $RR$.

[kioccolatino90]

ok...quindi da quello che ho capito è $RR$ basta che non c'è una fratta....

[G.D.5]

"friction":Il dominio di una funzione è l'insieme di tutti quei valori per cui è possibile calcolare l'immagine, siamo d'accordo?

Attenzione che questo non è corretto: è corretto invece dire che solitamente quando si chiede di trovare il dominio di una funzione o si sottointende la richiesta di idividuazione del dominio di una funzione, in barba alla correttezza delle definizioni, si richiede di trovare il più grande sottoinsieme di un preassegnato insieme numerico in cui abbia senso operare con l'espressione che definisce la legge di assegnazione della funzione.