Integrazione per sostituzione
Salve a tutti, sono in 5 ITI e siccome mi aspetta una verifica sugli integrali indefiniti mi sono messo a risolverne un po' senza successo, quindi spero in un vostro aiuto:
$\int(x+3)/(2x+5)$
io ho provato a sostituire 2x+5=t ricavando $x=(t-5)/2$ e poi derivando dx=1/2dt
A questo punto ottengo il seguente integrale:
$\int((x+3)/t)*(1/2)$ dt ma poi non so più come andare avanti...
$\int(x+3)/(2x+5)$
io ho provato a sostituire 2x+5=t ricavando $x=(t-5)/2$ e poi derivando dx=1/2dt
A questo punto ottengo il seguente integrale:
$\int((x+3)/t)*(1/2)$ dt ma poi non so più come andare avanti...
Risposte
per l'altro post, OK.
allora?
allora?
quindi diventa
$\intsqrt((cost)^2)*cost dt = \int cost * cost dt$
$\intsqrt((cost)^2)*cost dt = \int cost * cost dt$
a questo punto faccio l'integrazione per parti
ci puoi provare, ma temo che ti areneresti. qui intervengono le formule di duplicazione.
"adaBTTLS":
ci puoi provare, ma temo che ti areneresti. qui intervengono le formule di duplicazione.
difatti stavo provando a usare l'integrazione per parti ma mi sono bloccato...
non puoi dirmi la soluzione così poi ci ragiono che non ce la faccio più?
da $cos 2t = cos^2 t - sin^2 t = 2 cos^2 t -1$ segue $cos^2 t=(cos 2t +1)/2$
dunque hai $int 1/2 cos 2t dt + int 1/2 dt$
dunque hai $int 1/2 cos 2t dt + int 1/2 dt$
$1/2\intcos2tdt+1/2\intdt$
il secondo integrale diventa $1/2t$ ma il primo?
Nono, va bene anche per parti.
Se vuoi calcolare
$I=\intsqrt((cost)^2)*cost dt = \int cost * cost dt$
il trucco è proprio quello di considerare $cos^2t$ come prodotto di $cos t cost$ e prenderne uno come fattor finito l'altro come fattor differenziale.
Ovviamente, occorre applicare l'integrazione per parti due volte: a secondo membro poi rispunta l'integrale di partenza con il segno negativo, lo si porta a primo membro, si divide per due e hai finito.
Se vuoi calcolare
$I=\intsqrt((cost)^2)*cost dt = \int cost * cost dt$
il trucco è proprio quello di considerare $cos^2t$ come prodotto di $cos t cost$ e prenderne uno come fattor finito l'altro come fattor differenziale.
Ovviamente, occorre applicare l'integrazione per parti due volte: a secondo membro poi rispunta l'integrale di partenza con il segno negativo, lo si porta a primo membro, si divide per due e hai finito.
$intcos(2t)dt=1/2int2cos(2t)dt=1/2sin(2t)+c$
grazie di tutti i consigli e un'ultima domanda: come fare a riconoscere un integrale e a capire qual è il metodo per risolverlo? Ammetto che sono preoccupato perchè fino agli argomenti precedenti (derivate,limiti,studi di funzione) sono andato bene ma gli integrali proprio non li capisco
"Lecchesedoc":
grazie di tutti i consigli e un'ultima domanda: come fare a riconoscere un integrale e a capire qual è il metodo per risolverlo?
Esercizio, esercizio, esercizio, esercizio, esercizio, esercizio, esercizio, esercizio, esercizio, esercizio, esercizio, esercizio, esercizio, esercizio...
Prima o poi ci si fa la mano, ma l'unico modo è farne... più ne fai, più velocemente intuisci la strada "giusta"
Buon lavoro.
gli integrali richiedono intuito, non sono meccanici (pensa alle scomposizioni di polinomi, il procedimento è lo stesso, risalire al polinomio di partenza, nel caso degli integrali risalire alla funzione di partenza di cui si conosce la derivata...). è questione di allenamento, osservazione, questione di "abituare l'occhio a vedere".
intanto conviene imparare a risolvere con immediatezza le varie categorie di integrale immediato, per abituarsi a riconoscerli, poi imparare a risolvere gli esercizi sui vari tipi di integrale non immediato, con il suggerimento del libro, e poi prendere un po' di esercizi di riepilogo da cercare di risolvere senza suggerimenti.
poi è importante sapere che non c'è un metodo fisso, cosa che rende difficile ed interessante il percorso, ed inoltre la maggior parte degli integrali non si sanno risolvere per via elementare, e dunque non faranno parte dei tuoi compiti in classe...
intanto conviene imparare a risolvere con immediatezza le varie categorie di integrale immediato, per abituarsi a riconoscerli, poi imparare a risolvere gli esercizi sui vari tipi di integrale non immediato, con il suggerimento del libro, e poi prendere un po' di esercizi di riepilogo da cercare di risolvere senza suggerimenti.
poi è importante sapere che non c'è un metodo fisso, cosa che rende difficile ed interessante il percorso, ed inoltre la maggior parte degli integrali non si sanno risolvere per via elementare, e dunque non faranno parte dei tuoi compiti in classe...
ho provato a completare l'integrale utilizzando l'integrazione per parti ma il risultato non coincide:
$\intcost*costdt = cost*sent-\intsent*(-sent)dt$
a questo punto faccio ancora l'integrazione per parti
$cost*sent-(cost*sent-\int-cost*(-cost)dt = costsent - costsent - \intcostcost dt = -\intcostcostdt$
Ora lo uguaglio all'integrale iniziale e ottengo:
$\intcost*costdt = -\intcost*costdt$
$2\intcost*costdt = 0$
$\intcost*cost dt= 0$
Dove sbaglio??
$\intcost*costdt = cost*sent-\intsent*(-sent)dt$
a questo punto faccio ancora l'integrazione per parti
$cost*sent-(cost*sent-\int-cost*(-cost)dt = costsent - costsent - \intcostcost dt = -\intcostcostdt$
Ora lo uguaglio all'integrale iniziale e ottengo:
$\intcost*costdt = -\intcost*costdt$
$2\intcost*costdt = 0$
$\intcost*cost dt= 0$
Dove sbaglio??
No, è vero, non conviene integrare per parti due volte; basta che integri per parti una volta e poi, per calcolare $int sin^2xdx$ ricordi che $sin^2x=1-cos^2x$. Puoi facilmente spezzare l'integrale in due addendi di cui uno è proprio $-int cos^2xdx$: lo porti a primo membro, dividi per due e hai finito.
"Lecchesedoc":
ho provato a completare l'integrale utilizzando l'integrazione per parti ma il risultato non coincide:
$\intcost*costdt = cost*sent-\intsent*(-sent)dt$
a questo punto faccio ancora l'integrazione per parti
$cost*sent-(cost*sent-\int-cost*(-cost)dt = costsent - costsent - \intcostcost dt = -\intcostcostdt$
Ti sei mangiato un segno, per cui il risultato corretto viene
$cost*sent-(cost*sent-\int-cost*(-cost)dt = costsent - costsent + \intcostcost dt = +\intcostcostdt$, cioè sei tornato al punto di partenza. Questo dimostra che non puoi procedere in questo modo, ma devi considerare il consiglio che ti ha dato Paolo90.
Quindi il risultato finale sarà:
$cost*sent-\int-sen^2tdt = cost*sent+\intsen^2tdt = cost*sent + \int(1-cos^2t)dt = cost*sent + \intdt - \intcos^2tdt$
$cost*sent + t = 2\intcos^2tdt$
$\intcos^2tdt = (cost*sent + t)/2$
A questo punto devo solo sostituire a t il valore iniziale giusto?
$cost*sent-\int-sen^2tdt = cost*sent+\intsen^2tdt = cost*sent + \int(1-cos^2t)dt = cost*sent + \intdt - \intcos^2tdt$
$cost*sent + t = 2\intcos^2tdt$
$\intcos^2tdt = (cost*sent + t)/2$
A questo punto devo solo sostituire a t il valore iniziale giusto?
Quasi, manca il $+c$ visto che si tratta di un integrale indefinito
bene! Oggi ho fatto 6 esercizi e solo 1 non sono riuscito a farlo! Spero che sia un buon segno!
Volevo chiedervi solo il metodo per come procedere:
$\intarc cos x dx$
Allora io ho ragionato così: integrali semi immediati non ce ne sono, non è una razionale fratta e non si può fare l'integrazione per parti perchè non c'è un prodotto quindi l'unica via possibile è quella di sostituire la t. Ma a che cosa? All' arc cos x?
Volevo chiedervi solo il metodo per come procedere:
$\intarc cos x dx$
Allora io ho ragionato così: integrali semi immediati non ce ne sono, non è una razionale fratta e non si può fare l'integrazione per parti perchè non c'è un prodotto quindi l'unica via possibile è quella di sostituire la t. Ma a che cosa? All' arc cos x?
Se non mi ricordo male, si integra per parti: ovviamente un fattore lo si "inventa" con un trucco di magia 
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Basta scrivere $intarccosxdx$ come $int 1*arccosxdx$...
. Basta scrivere $intarccosxdx$ come $int 1*arccosxdx$...
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