Integrazione per sostituzione
Salve a tutti, sono in 5 ITI e siccome mi aspetta una verifica sugli integrali indefiniti mi sono messo a risolverne un po' senza successo, quindi spero in un vostro aiuto:
$\int(x+3)/(2x+5)$
io ho provato a sostituire 2x+5=t ricavando $x=(t-5)/2$ e poi derivando dx=1/2dt
A questo punto ottengo il seguente integrale:
$\int((x+3)/t)*(1/2)$ dt ma poi non so più come andare avanti...
$\int(x+3)/(2x+5)$
io ho provato a sostituire 2x+5=t ricavando $x=(t-5)/2$ e poi derivando dx=1/2dt
A questo punto ottengo il seguente integrale:
$\int((x+3)/t)*(1/2)$ dt ma poi non so più come andare avanti...
Risposte
sono sempre io...ho provato ad andare avanti ed ecco cosa ho fatto:
$\int((t-5+3)/(t+2))*1/2dt$ a questo punto porto fuori l' $1/2$ e ottengo $1/2\int(t-2)/(t+2)dt$
I passaggi fino ad adesso son giusti?
E se sì, non so pioù come andare avanti
$\int((t-5+3)/(t+2))*1/2dt$ a questo punto porto fuori l' $1/2$ e ottengo $1/2\int(t-2)/(t+2)dt$
I passaggi fino ad adesso son giusti?
E se sì, non so pioù come andare avanti
benvenuto nel forum.
immagino che tu non debba necessariamente procedere per sostituzione.
se è così, ti consiglio di eseguire la divisione tra polinomi: il quoziente è $1/2$, il resto $R(x)$ te lo puoi ricavare facilmente e pertanto il radicando diventa:
$1/2+(R(x))/(2x+5)$. prova e facci sapere. ciao.
immagino che tu non debba necessariamente procedere per sostituzione.
se è così, ti consiglio di eseguire la divisione tra polinomi: il quoziente è $1/2$, il resto $R(x)$ te lo puoi ricavare facilmente e pertanto il radicando diventa:
$1/2+(R(x))/(2x+5)$. prova e facci sapere. ciao.
"adaBTTLS":scusa ma mi sono perso, dove è finito l'integrale? Io ho 4 modi per risolverlo: sostituzione, integrali immediati, per parti o razionali fratti
benvenuto nel forum.
immagino che tu non debba necessariamente procedere per sostituzione.
se è così, ti consiglio di eseguire la divisione tra polinomi: il quoziente è $1/2$, il resto $R(x)$ te lo puoi ricavare facilmente e pertanto il radicando diventa:
$1/2+(R(x))/(2x+5)$. prova e facci sapere. ciao.
AdaBTTLS probabilmente intendeva l'"integrando" in luogo de "il radicando".
Comunque, il metodo che ti ha proposto lei è (credo) quello che tu chiami "razionali fratti": insomma, fai la divisione tra numeratore e denominatore etc...
Hai capito?
Comunque, il metodo che ti ha proposto lei è (credo) quello che tu chiami "razionali fratti": insomma, fai la divisione tra numeratore e denominatore etc...
Hai capito?
... ed io suggerivo per razionali fratti, solo che il grado del numeratore è uguale, e non minore, del grado del denominatore, per cui va prima eseguita la divisione per trovare quoziente e resto. quello che ho scritto su è la funzione integranda, quindi con questo metodo risolveresti l'integrale come somma di due integrali immediati. OK?
PS: sì, grazie Paolo, ovviamente intendevo "integrando".
PS: sì, grazie Paolo, ovviamente intendevo "integrando".
grazie ora ci provo
prego. facci sapere.
ma scusate se faccio la divisione $(t-2)/(t+2)$ il quoziente è 1, il resto è -4 e utilizzando la relazione che mi dice che il numeratore N=D*Q+R (denominatore per quoziente più resto) riottengo questo integrale
$1/2\int(t-2)/(t+2)$
Ho sbagliato io qualcosa?
$1/2\int(t-2)/(t+2)$
Ho sbagliato io qualcosa?
parti dal testo. se ti va di procedere per moltiplicazioni e somme e sottrazioni, senza eseguire di fatto la divisione in colonna, il procedimento dovrebbe essere questo:
$(x+3)/(2x+5)=1/2*(2x+6)/(2x+5)=1/2*(2x+5+1)/(2x+5)=1/2*(2x+5)/(2x+5)+1/2*1/(2x+5)=1/2+1/4*2/(2x+5)$
da cui
$int (x+3)/(2x+5) dx = 1/2 int dx + 1/4 int 2/(2x+5) dx = 1/2 x + 1/4 ln|2x+5| + c$
spero di non aver commesso errori e di aver chiarito il dubbio.
$(x+3)/(2x+5)=1/2*(2x+6)/(2x+5)=1/2*(2x+5+1)/(2x+5)=1/2*(2x+5)/(2x+5)+1/2*1/(2x+5)=1/2+1/4*2/(2x+5)$
da cui
$int (x+3)/(2x+5) dx = 1/2 int dx + 1/4 int 2/(2x+5) dx = 1/2 x + 1/4 ln|2x+5| + c$
spero di non aver commesso errori e di aver chiarito il dubbio.
il libro scrive così
testo: $\int(x+3)/(2x+5)dx$
suggerimento
sostituire 2x+5=t
e poi da il seguente risultato:
$1/4*(2x+5)+1/4ln|2x+5|+c$
testo: $\int(x+3)/(2x+5)dx$
suggerimento
sostituire 2x+5=t
e poi da il seguente risultato:
$1/4*(2x+5)+1/4ln|2x+5|+c$
anche se in effetti i tuoi passaggi riguardandoli mi sembrano giusti
Mi pare che i risultati siano concordi no?
Che cosa c'è che non ti va, Lecchesedoc? Se proprio vuoi procedere per sostituzione alla fine ti ritrovi a dover integrare $(t-2)/(t+2)$ e fai più o meno lo stesso giro di AdaBTTLS... Provaci se vuoi e poi posta i tuoi conti.
P.S. @Ada: prego, figurati.
Che cosa c'è che non ti va, Lecchesedoc? Se proprio vuoi procedere per sostituzione alla fine ti ritrovi a dover integrare $(t-2)/(t+2)$ e fai più o meno lo stesso giro di AdaBTTLS... Provaci se vuoi e poi posta i tuoi conti.
P.S. @Ada: prego, figurati.
no, il mio unico dubbio era se il risultato del libro e quello messo da AdaBTTLS sono uguali
e comunque volevo ringraziare AdaBTTLS che mi ha mostrato un metodo diverso per risolvere l'integrale visto che per sostituzione io mi sono bloccato qua:
$1/2\int(t-2)/(t+2)$ Volendo proseguire su questa strada il percorso è complicato?
e comunque volevo ringraziare AdaBTTLS che mi ha mostrato un metodo diverso per risolvere l'integrale visto che per sostituzione io mi sono bloccato qua:
$1/2\int(t-2)/(t+2)$ Volendo proseguire su questa strada il percorso è complicato?
Bene.
Posto [tex]2x+5=t[/tex] si trae che [tex]x=\text{qualche cosa con la } t[/tex] e differenziando ad ambo i membri si ottiene [tex]\tex{dx}=\text{qualche cosa }\cdot\text{dt}[/tex], sicché l'integrale iniziale si trasforma in [tex]\int\text{qualche cosa }\text{dt}[/tex]: l'integrando, te lo anticipo, ha un binomio al numeratore ed un monomio al denominatore, il monomio ha un fattore, che potrai portare fuori dall'integrale, quindi potrai spezzare la frazione, integrare i singoli addendi riconoscendo per essi degli integrali notevi, infine, farai la sostituzione al contrario per ottene il risultato.
P.S.
Il valore assoluto si ottiene con il codice
in MathML, o col codice
in TeX.
P.P.S.
Come sempre anticipato sul tempo
P.P.P.S.
Sarò molto probabilmente io a sbagliare i conti, ma a me l'integrale per sostituzione è diverso.
Posto [tex]2x+5=t[/tex] si trae che [tex]x=\text{qualche cosa con la } t[/tex] e differenziando ad ambo i membri si ottiene [tex]\tex{dx}=\text{qualche cosa }\cdot\text{dt}[/tex], sicché l'integrale iniziale si trasforma in [tex]\int\text{qualche cosa }\text{dt}[/tex]: l'integrando, te lo anticipo, ha un binomio al numeratore ed un monomio al denominatore, il monomio ha un fattore, che potrai portare fuori dall'integrale, quindi potrai spezzare la frazione, integrare i singoli addendi riconoscendo per essi degli integrali notevi, infine, farai la sostituzione al contrario per ottene il risultato.
P.S.
Il valore assoluto si ottiene con il codice
| (argomento) |
in MathML, o col codice
\lvert (argomento) \rvert
in TeX.
P.P.S.
Come sempre anticipato sul tempo
P.P.P.S.
Sarò molto probabilmente io a sbagliare i conti, ma a me l'integrale per sostituzione è diverso.
Sì, i risultati dovrebbero essere uguali perchè differiscono solo per una costante additiva ($5/4$)...
$1/4*2x=1/2x$, $1/4*5=5/4$ (ed è una costante), per cui i risultati coincidono (la $c$ del libro è la mia $c+5/4$).
proviamo dunque per sostituzione:
$t=2x+5$ -> $dt=2 dx$, $dx=1/2 dt$, $x+3=1/2(t+1)$
$int (x+3)/(2x+5) dx = int (1/2(t+1))/t * 1/2 dt = 1/4 int (t+1)/t dt =1/4 int t/t dt +1/4 int 1/t dt =1/4 t +1/4 ln|t| +c$ dove, poi, scrivere $2x+5$ al posto di $t$.
proviamo dunque per sostituzione:
$t=2x+5$ -> $dt=2 dx$, $dx=1/2 dt$, $x+3=1/2(t+1)$
$int (x+3)/(2x+5) dx = int (1/2(t+1))/t * 1/2 dt = 1/4 int (t+1)/t dt =1/4 int t/t dt +1/4 int 1/t dt =1/4 t +1/4 ln|t| +c$ dove, poi, scrivere $2x+5$ al posto di $t$.
Esattamente: a me veniva quello di adaBTTLS.
vedo che sono arrivati tanti messaggi contemporaneamente.
prego. facci sapere.
perché non provi ad eseguire direttamente la divisione? se il numeratore avesse grado maggiore del denominatore, sarebbe molto più semplice ricorrere alla divisione in colonna anziché a vari passaggi con manipolazione algebrica... almeno ripassi la divisione tra polinomi!
prego. facci sapere.
perché non provi ad eseguire direttamente la divisione? se il numeratore avesse grado maggiore del denominatore, sarebbe molto più semplice ricorrere alla divisione in colonna anziché a vari passaggi con manipolazione algebrica... almeno ripassi la divisione tra polinomi!
grazie a tutti per l'aiuto.
Ora volevo farvi vedere questo, visto che non ho idea di come si possa risolvere
$\intsqrt(1-x^2)dx$
Ora volevo farvi vedere questo, visto che non ho idea di come si possa risolvere
$\intsqrt(1-x^2)dx$
se non ricordo male, questo è il tipico integrale da risolvere con la sostituzione $x=sin t$.
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